Piano di Argand e Rappresentazione Polare

Prima abbiamo detto che i numeri complessi sono numeri che possono non cadere sulla linea dei numeri! Abbiamo anche visto che ogni numero reale è anche un numero complesso con parte immaginaria = 0. Come possiamo rappresentare graficamente questi numeri? Qual è l’argomento di un numero complesso? Rispondiamo in questa sezione.

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Piano di Arcadia

Nelle lezioni precedenti, avete letto della linea dei numeri. È un modo conveniente per rappresentare i numeri reali come punti su una linea. Allo stesso modo, hai letto del sistema di coordinate cartesiane. È un insieme di tre assi reciprocamente perpendicolari e un modo conveniente per rappresentare un insieme di numeri (due o tre) o un punto nello spazio.

Cominciamo con la linea dei numeri. Immaginate di essere una specie di dio della matematica e di aver appena creato i numeri reali. È successo che avete disegnato un’altra linea perpendicolare all’asse reale. Cosa sarà questa linea? Sicuramente non è reale. Quindi, deve essere immaginaria o la linea complessa.

Quindi abbiamo un modo per rappresentare graficamente qualsiasi numero immaginario. Tutto quello che dobbiamo fare è trovare la sua parte reale e una parte immaginaria. In secondo luogo, li rappresentiamo sulle due linee numeriche reciprocamente perpendicolari. Il punto di intersezione, come mostrato sopra, è l’origine del nostro piano.

Il piano così formato è noto come piano di Argand ed è un modo conveniente per rappresentare graficamente qualsiasi numero immaginario. Sia z = x + iy. Allora Re(z) = x e Im(z) = y.

• Fondamenti dei numeri complessi
• Operazioni sui numeri complessi
• Modulo e coniugato di un numero complesso
• Equazioni quadratiche complesse

La coppia ordinata (x,y) rappresentata sul piano di Argand rappresenta un punto. Questo punto corrisponde al nostro numero complesso z. Tracciamo una linea diretta da O al punto P(x,y) che rappresenta z. Sia θ l’angolo che questa linea fa con la direzione positiva dell'”asse reale”. Quindi, (90 – θ) è l’angolo che fa con l'”asse immaginario”. Questo è piuttosto importante, quindi tenetelo a portata di mano!

Argomento di z

Come già stabilito, ogni numero complesso può essere rappresentato da qualche parte sul piano di Argand. Ciò deriva dal fatto che sotto il funzionamento della nostra Algebra, i numeri complessi sono chiusi. Immaginiamo di rappresentare due numeri, z1 = 2 +3i e z2 = 2 – 3i. Possiamo vedere che |z1| = |z2|. Ops! Cosa abbiamo fatto? Se tracciate i due punti (2, 3) e (2, -3), troverete che sono simmetrici sopra e sotto gli assi reali. Li chiamiamo l’uno l’immagine speculare dell’altro.

Come facciamo a distinguerli? Introduciamo un’altra quantità che si chiama l’argomento di z1 e z2. Si definisce come l’angolo ‘θ’ che la linea che unisce il punto P (che rappresenta il nostro numero complesso) e l’origine O, fa con la direzione positiva degli “assi reali”. Questo dà ad ogni numero complesso un senso unico di direzione o orientamento sul piano di Argand. Quindi possiamo rappresentare in modo unico ogni punto sul piano di Argand.

Modulo di un numero complesso

In una sezione precedente abbiamo definito il modulo di un numero immaginario z = a + ib come |z| = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Qui vedremo che questa definizione si adatta perfettamente alla rappresentazione geometrica dei numeri complessi.

Nella figura precedente, supponiamo che la punta della freccia sia P (a, b), dove P rappresenta il numero z = a + ib. Allora la lunghezza di OP può essere trovata usando la formula della distanza come = \( \sqrt{(a – 0)^2 + (b-0)^2}

Dunque possiamo dire che OP = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Quindi il modulo è la lunghezza del segmento di linea che unisce il punto, corrispondente al nostro numero complesso, con l’origine del piano di Argand. Come potete vedere è sempre positivo, quindi lo chiamiamo modulo. Ora tutto torna, vero?

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Rappresentazione Polare

Abbiamo diversi tipi di sistemi di Coordinate. Uno di questi è il sistema di Coordinate Polari. È solo un insieme di linee reciprocamente perpendicolari. L’origine è chiamata Polo. Misuriamo la posizione di qualsiasi punto misurando la lunghezza della linea che lo collega all’origine e l’angolo che la linea fa con un asse specificato. Per esempio, se conosciamo il valore di φ e r possiamo localizzare P. Queste sono le coordinate polari, r e φ.

Similmente, se conosciamo l’argomento di un numero complesso nel piano di Argand e la lunghezza OP, possiamo localizzare il suddetto numero. Sia r = OP. Sappiamo anche che OP = |z| = r ; dove z = x + iy

Le coordinate di P sono (x, y). Nel triangolo rettangolo vediamo che x = r cos(θ) e y = r sin(θ). Quindi possiamo scrivere, z = r cos(θ) + r sin(θ) = r . Questa, miei cari amici è la rappresentazione polare del nostro numero complesso z = x + iy con:

Arg(z) = θ e |z| = r

Ora y/x = r sin(θ)/r cos(θ) = tan θ

Quindi, θ = tan-1(y/x)

Utilizzando questa relazione, possiamo trovare l’argomento di un numero complesso.

Esempi risolti per voi

Domanda 1: Se z = -2(1+2i)/(3 + i) dove i= \( \sqrt{-1} \), allora l’argomento θ(-π < θ ≤ π) di z è:

A) 3 \(\frac{π}{4} \ B) \(\frac{π}{4} \) C) 5 \(\frac{π}{6} \) D) -3 \(\frac{π}{4})

Risposta : D) Poiché z = -2(1+2i)/(3 + i)

Moltiplicando e dividendo per (3 – i), otteniamo

z = -2(1+2i)×(3 – i)/(3 + i)×(3 – i) = -1 – i

Confrontando questo con z = x + iy, abbiamo x = -1 e y = -1

Quindi, θ = tan-1(y/x) = tan-1(1) = -3 \(\frac{π}{4})

Perché non \( \frac{π}{4})? Beh, perché sia x che y sono negativi. Questo significa che il punto P si trova ora nel terzo quadrante. Quindi, θ = -3 \( \frac{π}{4} \) .

Domanda 2: Qual è la struttura di base di un argomento?

Risposta: Un’argomentazione consiste in almeno una premessa che non porta ad una conclusione. Inoltre, consiste di almeno una premessa e una fallacia che usiamo per sostenere una conclusione. Inoltre, un argomento consiste di premesse che sono usate per sostenere una conclusione.

Domanda 3: Cos’è la lista degli argomenti? L’argomento si riferisce a una lista che esprimiamo nella lista separata da virgole delimitata dalle parentesi in un’espressione di chiamata di funzione, o è una sequenza di token di elaborazione nella lista separata da virgole racchiusa dalle interpolazioni in un’invocazione macro di tipo funzione.

Domanda 4: Qual è la differenza tra argomento principale e argomento?

Risposta: Il valore che sta tra -pi e pi greco si chiama argomento principale di un numero complesso. Inoltre, il valore è tale che -π < θ = π. Inoltre, θ è una funzione periodica con un periodo di 2π, quindi possiamo rappresentare questo argomento come (2nπ + θ), dove n è un intero e questo è un argomento generale.

Questione 5: Qual è l’argomento di un numero reale? È l’angolo che il vettore e il numero complesso fanno con l’asse reale positivo. Inoltre, quando il numero reale è positivo allora la risposta è la misura del tuo angolo.