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Le equazioni lineari in una variabile sono equazioni in cui la variabile ha un esponente di 1, che tipicamente non viene mostrato (è compreso). Un esempio sarebbe qualcosa come \(12x = x – 5\). Per risolvere le equazioni lineari, c’è un obiettivo principale: isolare la variabile. In questa lezione, vedremo come questo viene fatto attraverso diversi esempi.

Tabella del contenuto

1. Esempi di risoluzione di equazioni a un passo
2. Esempi di risoluzione di equazioni a duepasso
3. Esempi di equazioni in cui è necessario semplificare prima
4. Infinitamente molte o nessuna soluzione
5. Sommario

Esempi di risoluzione di equazioni lineari a un passo

Dopo tutto il tuo duro lavoro per risolvere l’equazione, sai che vuoi una risposta finale come \(x=5\) o \(y=1\). In entrambi questi casi la variabile è isolata, o da sola.

Quindi dobbiamo capire come isolare la variabile. Come lo facciamo dipende dall’equazione stessa! Se è stata moltiplicata per qualcosa, divideremo. Se è stata aggiunta a qualcosa, la sottraiamo. Facendo questo, lentamente otterremo la variabile da sola.

Utilizziamo un esempio per vedere come funziona.

Esempio

Solviamo l’equazione: \(4x = 8\)

Soluzione

In questo esempio, il 4 sta moltiplicando il \(x\). Quindi, per isolare \(x\), devi dividere quel lato per 4. Quando fai questo, devi ricordare una regola importante: qualsiasi cosa tu faccia a un lato dell’equazione, devi farla anche all’altro lato. Quindi divideremo entrambi i lati per 4.

\(\begin{align}4x &= 8 \dfrac{4x}{color{red}{4} &= \dfrac{8}{color{red}{4}} fine{align})

Semplificando:

(x = \boxed{2})

Ecco, un passo e abbiamo finito. (Ecco perché equazioni come queste sono spesso chiamate equazioni di un solo passo)

Verifica

Ogni volta che risolvi un’equazione lineare, puoi sempre controllare la tua risposta sostituendola all’equazione. Se ottieni un’affermazione vera, allora la risposta è corretta. Questo non è necessario al 100% per ogni problema, ma è una buona abitudine quindi lo faremo per le nostre equazioni.

In questo esempio, la nostra equazione originale era \(4x = 8\). Per controllare questo, verificate che sia vero quanto segue:

(\inizio{align}4x &= 8\\4(2) &= 8 \fine{align})

Questa è un’affermazione vera, quindi la nostra risposta è corretta.

Per qualsiasi equazione, qualsiasi operazione si faccia su un lato deve essere fatta anche sull’altro lato

Proviamo un altro paio di esempi prima di passare a equazioni più complesse.

Esempio

Solvere: \(3x=12\)

Soluzione

Siccome \(x\) viene moltiplicato per 3, il piano è quello di dividere per 3 su entrambi i lati:

\(\begin{align}3x &=12\\dfrac{3x}{color{red}{3}} &==dfrac{12}{colore{rosso}{3}}{372>= \boxed{4}{align}})

Verifica

Per verificare la nostra risposta, lasciamo \(x = 4\) e lo sostituiamo di nuovo nell’equazione:

(\inizio{align}3x &= 12\\3(4) &= 12 \\12 &= 12\fine{align})

Come prima, dato che questa è una frase vera, sappiamo che la nostra risposta è corretta.

Nel prossimo esempio, invece di moltiplicare la variabile per un valore, si sottrae un valore alla variabile. Per “annullare” questo, aggiungeremo quel valore ad entrambe le parti.

Esempio

Solvere: \(y-9=21\)

Soluzione

Questa volta, 9 è stato sottratto da y. Quindi, lo annulleremo aggiungendo 9 ad entrambe le parti.

(\inizio{align}y-9&=21\ y-9 \colore{rosso}{+9}&=21{colore{rosso}{+9}\y&=30{align})

Prossimo guarderemo quelle che sono comunemente chiamate equazioni “a due fasi”. In queste equazioni, avremo bisogno di annullare due operazioni per isolare la variabile.

Esempi di equazioni a due passi

In ognuno degli esempi precedenti, c’era un singolo passo da eseguire prima di avere la nostra risposta. In questi prossimi esempi, vedrete come lavorare con equazioni che hanno invece due passi. Se c’è più di un’operazione, è importante ricordare l’ordine delle operazioni, PEMDAS. Dato che stai annullando le operazioni a \(x\), lavorerai dall'”esterno verso l’interno”. Questo è più facile da capire quando lo vedi in un esempio.

Esempio

Solvere: \(2x-7=13\)

Soluzione

Nota le due operazioni che avvengono a \(x\): viene moltiplicato per 2 e poi gli viene sottratto 7. Avremo bisogno di annullare queste operazioni. Ma solo \(x\) viene moltiplicato per 2, quindi il primo passo sarà aggiungere 7 ad entrambe le parti. Poi possiamo dividere entrambe le parti per 2.

Aggiungendo 7 ad entrambe le parti:

(\begin{align} 2x-7 &= 13 \ 2x-7 \color{red}{+7} & =13 \colore{rosso}{+7}\ 2x&=20\fine{align})

Ora dividete entrambi i lati per 2:

\(\inizio{align} 2x &=20 \dfrac{2x}{color{red}{2}&=\dfrac{20}{color{red}{2}} x&= \boxed{10}{align})

Verifica

Proprio come nei problemi più semplici, puoi controllare la tua risposta sostituendo il tuo valore di \(x\) nell’equazione originale.

(\inizio{align}2x-7&=13\ 2(10) – 7 &= 13\13 &= 13\end{align})

Questo è vero, quindi abbiamo la risposta corretta.

Guardiamo un altro esempio in due passi prima di saltare di nuovo in difficoltà. Assicuratevi di capire ogni passo mostrato e di lavorare anche attraverso il problema.

Esempio

Solvere: \(5w + 2 = 9\)

Soluzione

Come sopra, ci sono due operazioni: \(w\) viene moltiplicato per 5 e poi gli viene aggiunto 2. Annulleremo queste operazioni sottraendo prima 2 da entrambe le parti e poi dividendo per 5.

(\begin{align}5w + 2 &= 9\\ 5w + 2 \color{red}{-2} &= 9 \color{red}{-2}\ 5w &= 7\dfrac{5w}{color{red}{5}} &==dfrac{7}{color{red}{5}}\code(0144)

La frazione a destra non può essere semplificata, quindi questa è la nostra risposta finale.

Verifica

Lascia che \(w = \dfrac{7}{5}}). Allora:

(\inizio{align}5w + 2 &= 9\ 5\sinistra(\dfrac{7}{5}destra) + 2 &= 9\ 7 + 2 &= 9\ 9 &= 9 \fine{align})

Quindi, abbiamo di nuovo la risposta corretta!

Semplificare prima di risolvere

Negli esempi seguenti, ci sono più termini variabili e forse qualche semplificazione che deve avvenire. In ogni caso, i passi saranno di semplificare prima entrambi i lati, poi usare quello che abbiamo fatto per isolare la variabile. Daremo prima un’occhiata approfondita a un esempio per vedere come funziona il tutto.

Per capire questa sezione, dovresti essere a tuo agio nel combinare termini simili.

Esempio

Solvere: \(3x+2=4x-1\)

Soluzione

Siccome entrambi i lati sono semplificati (non ci sono parentesi da capire e nessun termine simile da combinare), il prossimo passo è ottenere tutte le x su un lato dell’equazione e tutti i numeri sull’altro lato. Si applica la stessa regola – qualsiasi cosa si faccia a un lato dell’equazione, si deve fare anche all’altro lato!

È possibile spostare il \(3x\) o il \(4x\). Supponiamo di aver spostato la \(4x\). Siccome è positivo, lo farete sottraendolo da entrambe le parti:

(\inizio{align}3x+2 &=4x-1\ 3x+2\color{red}{-4x} &=4x-1\colore{rosso}{-4x}\x+2 &=-1\fine{align})

Ora l’equazione assomiglia a quelle lavorate prima. Il prossimo passo è sottrarre 2 da entrambi i lati:

(\inizio{align}-x+2\color{red}{-2} &= -1\color{red}{-2}\x=-3\end{align})

Finalmente, dato che \(-x= -1x\) (questo è sempre vero), dividere entrambi i lati per \(-1\):

\(\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &=dfrac{-3}{{color{red}{-1}}{ x&=3\fine{align})

Verifica

Si dovrebbe prendere un momento e verificare che la seguente è un’affermazione vera:

\(3(3)+ 2 = 4(3) – 1\)

Nel prossimo esempio, avremo bisogno di usare la proprietà distributiva prima di risolvere. È facile fare un errore qui, quindi assicuratevi di distribuire il numero davanti alle parentesi a tutti i termini all’interno.

Esempio

Solvere: \(3(x+2)-1=x-3(x+1)\)

Soluzione

Prima di tutto, distribuisci il 3 e il -3, e raccogli i termini simili.

\(\begin{align} 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)\ 3x+6-1&=x-3x-3 \ 3x+5&=-2x-3\end{align})

Ora possiamo aggiungere 2x ad entrambe le parti. (Ricordate che otterrete la stessa risposta se invece sottraete 3x da entrambe le parti)

\(\inizio{align} 3x+5{colore{rosso}{+2x} &=-2x-3\colore{rosso}{+2x}\ 5x+5& =-3\fine{align})

Da qui, possiamo risolvere come abbiamo fatto con le altre equazioni in due fasi.

\(\begin{align}5x+5\colore{rosso}{-5} &=-3\color{red}{-5}\ 5x &=-8\dfrac{5x}{color{red}{5}&==dfrac{-8}{color{red}{5}} x &= \dfrac{-8}{5} &=={{dfrac{8}{5}}{align})

Check

Questa era una domanda difficile, quindi ricordati di controllare la tua risposta e assicurarti di non aver commesso errori. Per farlo, dovrai assicurarti che la seguente sia un’affermazione vera:

(3\sinistra(-dfrac{8}{5}+2\destra)-1==sinistra(-dfrac{8}{5}destra)-3\sinistra(-dfrac{5}+1\destra)\)

(Nota: funziona – ma devi stare molto attento alle parentesi!)

Infinitamente molte soluzioni e nessuna soluzione

Ci sono momenti in cui si seguono tutti questi passi e viene fuori una soluzione davvero strana. Per esempio, quando si risolve l’equazione \(x+2=x+2\) usando i passi precedenti, si finisce con \(0=0\). Questo è certamente vero, ma a cosa serve?

Se si ottiene un’affermazione come questa, significa che l’equazione ha infinite soluzioni. Qualsiasi \(x\) si possa pensare soddisferebbe l’equazione \(x+2=x+2\). La risposta appropriata in questo caso è “infinite soluzioni”.

L’altra situazione si presenta quando si semplifica un’equazione in un’affermazione che non è mai vera come \(3=4\) o \(0=1\). Questo succede con l’equazione \(x+5=x-7\) che porterà a \(5= -7\), qualcosa che certamente non è mai vero. Questo significa che nessun \(x) soddisferebbe questa equazione. In altre parole “nessuna soluzione”. In sintesi:

• Se si ottiene un’affermazione che è sempre vera come \(5 = 5\) o \(0 = 0\), allora ci sono infinite soluzioni.
• Se si ottiene un’affermazione che è sempre falsa come \(10 = 11\) o \(1 = 5\), allora non ci sono soluzioni.

Sommario

La soluzione delle equazioni lineari consiste nell’isolare la variabile. A seconda dell’equazione, questo può richiedere un solo passo o molti più passi. Controlla sempre se hai bisogno di semplificare uno o entrambi i lati dell’equazione prima, e controlla sempre la tua risposta.

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