L’1+2+3… Really Equal -1/12?

Un video di Numberphile pubblicato all’inizio di questo mese sostiene che la somma di tutti i numeri interi positivi è -1/12.

Di solito sono un fan del gruppo Numberphile, che fa un ottimo lavoro rendendo la matematica eccitante e accessibile, ma questo video mi ha deluso. C’è un modo significativo per associare il numero -1/12 alla serie 1+2+3+4…, ma a mio parere, è fuorviante chiamarlo la somma delle serie. Inoltre, il modo in cui è presentato contribuisce a un’idea sbagliata che incontro spesso come educatore di matematica, che i matematici cambiano arbitrariamente le regole senza una ragione apparente, e gli studenti non hanno alcuna speranza di sapere cosa è o non è permesso in una data situazione. In un post su questo video, il fisico Dr. Skyskull dice, “una porzione deprimente della popolazione assume automaticamente che la matematica sia una qualche stregoneria non intuitiva e bizzarra che solo i super-intelligenti possono comprendere. Mostrare un risultato così assurdo senza qualifiche non fa che rafforzare questa opinione, e secondo me rende un cattivo servizio alla matematica.”

L’addizione è un’operazione binaria. Si mettono due numeri e si ottiene un numero. Ma si può estendere a più numeri. Se hai, per esempio, tre numeri che vuoi sommare, puoi sommare prima due qualsiasi di loro e poi aggiungere il terzo alla somma risultante. Possiamo continuare a fare questo per qualsiasi numero finito di addendi (e le leggi dell’aritmetica dicono che otterremo la stessa risposta indipendentemente dall’ordine in cui li aggiungiamo), ma quando proviamo a sommare un numero infinito di termini, dobbiamo fare una scelta su cosa significa addizione. Il modo più comune di trattare l’addizione infinita è usando il concetto di limite.

In parole povere, diciamo che la somma di una serie infinita è un numero L se, aggiungendo sempre più termini, ci avviciniamo sempre più al numero L. Se L è finito, chiamiamo la serie convergente. Un esempio di serie convergente è 1/2+1/4+1/8+1/16…. Questa serie converge al numero 1. È abbastanza facile capire perché: dopo il primo termine, siamo a metà strada verso 1. Dopo il secondo termine, siamo a metà della distanza rimanente da 1, e così via.

Il paradosso di Zenone dice che non arriveremo mai a 1, ma da un punto di vista di limite, possiamo avvicinarci quanto vogliamo. Questa è la definizione di “somma” che i matematici di solito intendono quando parlano di serie infinite, e fondamentalmente concorda con la nostra definizione intuitiva delle parole “somma” e “uguale.”

Ma non tutte le serie sono convergenti in questo senso (chiamiamo divergenti le serie non convergenti). Alcune, come 1-1+1-1…, possono rimbalzare tra diversi valori mentre continuiamo ad aggiungere altri termini, e alcune, come 1+2+3+4… possono diventare arbitrariamente grandi. È abbastanza chiaro, quindi, che usando la definizione di limite di convergenza per una serie, la somma 1+2+3… non converge. Se dicessi: “Penso che il limite di questa serie sia un qualche numero finito L”, potrei facilmente capire quanti termini aggiungere per arrivare al massimo sopra il numero L che voglio.

Ci sono modi significativi per associare il numero -1/12 alla serie 1+2+3…, ma preferisco non chiamare -1/12 la “somma” degli interi positivi. Un modo per affrontare il problema è l’idea della continuazione analitica nell’analisi complessa.

Diciamo di avere una funzione f(z) che è definita da qualche parte nel piano complesso. Chiameremo il dominio in cui la funzione è definita U. Potreste trovare un modo per costruire un’altra funzione F(z) che sia definita in una regione più grande tale che f(z)=F(z) ogni volta che z è in U. Così la nuova funzione F(z) concorda con la funzione originale f(z) ovunque sia definita f(z), ed è definita in alcuni punti fuori dal dominio di f(z). La funzione F(z) è chiamata la continuazione analitica di f(z). (“La” è l’articolo appropriato da usare perché la continuazione analitica di una funzione è unica.)

La continuazione analitica è utile perché le funzioni complesse sono spesso definite come serie infinite che coinvolgono la variabile z. Tuttavia, la maggior parte delle serie infinite convergono solo per alcuni valori di z, e sarebbe bello se potessimo avere funzioni definite in più punti. La continuazione analitica di una funzione può definire valori per una funzione al di fuori dell’area in cui converge la sua definizione di serie infinita. Possiamo dire 1+2+3…=-1/12 adattando la continuazione analitica di una funzione alla sua definizione originale di serie infinita, una mossa che dovrebbe essere accompagnata da un occhiolino in stile Lucille Bluth.

La funzione in questione è la funzione zeta di Riemann, famosa per le sue profonde connessioni con le domande sulla distribuzione dei numeri primi. Quando la parte reale di s è maggiore di 1, la funzione zeta di Riemann ζ(s) è definita come Σ∞n=1n-s. (Di solito usiamo la lettera z per la variabile in una funzione complessa. In questo caso, usiamo s in ossequio a Riemann, che ha definito la funzione zeta in un articolo del 1859). Questa serie infinita non converge quando s=-1, ma potete vedere che quando mettiamo s=-1, otteniamo 1+2+3…. La funzione zeta di Riemann è la continuazione analitica di questa funzione a tutto il piano complesso meno il punto s=1. Quando s=-1, ζ(s)=-1/12. Mettendo un segno di uguale tra ζ(-1) e la serie formale infinita che definisce la funzione in alcune altre parti del piano complesso, otteniamo l’affermazione che 1+2+3…=-1/12.

La continuazione analitica non è l’unico modo per associare il numero -1/12 alla serie 1+2+3…. Per un’ottima e approfondita spiegazione di un modo che non richiede un’analisi complessa – completa di esercizi a casa – guardate il post di Terry Tao sull’argomento.

Il video di Numberphile mi ha infastidito perché hanno avuto l’opportunità di parlare di cosa significa assegnare un valore a una serie infinita e spiegare diversi modi di farlo. Se si conosce già un po’ l’argomento, si può guardare il video e un video correlato più lungo sull’argomento e cogliere frammenti di ciò che sta realmente accadendo. Ma il fattore “wow” del video deriva dal fatto che non ha senso che un gruppo di numeri positivi si sommi ad un numero negativo se il pubblico assume che “somma” significhi ciò che loro pensano significhi.

Se i Numberphiles fossero stati più espliciti sui modi alternativi di associare i numeri alle serie, avrebbero potuto fare più che far pensare alla gente che i matematici stanno sempre cambiando le regole. Alla fine del video, il produttore Brady Haran chiede al fisico Tony Padilla se, se si continua a sommare numeri interi all’infinito sulla calcolatrice e si preme il pulsante “uguale” alla fine, si ottiene -1/12. Padilla risponde sfacciatamente: “Devi andare all’infinito, Brady! Ma la risposta avrebbe dovuto essere “No!” Qui, penso che abbiano perso un’opportunità per chiarire che stanno usando un modo alternativo di assegnare un valore a una serie infinita che avrebbe reso il video molto meno fuorviante.

Altra gente ha scritto cose buone sulla matematica in questo video. Dopo un post troppo credulone sul blog di Slate, Phil Plait ha scritto una spiegazione molto più chiara dei diversi modi di assegnare un valore a una serie. Se volete lavorare ai dettagli della “prova” da soli, John Baez vi ha coperto. Blake Stacey e Dr. Skyskull scrivono su come sostituire il numero -1/12 alla somma dei numeri interi positivi può essere utile in fisica. Richard Elwes pubblica un “avvertimento sulla salute e la sicurezza” delle serie infinite che coinvolge la mia vecchia preferita, la serie armonica. Penso che la proliferazione della discussione sul significato di questa serie infinita sia buona, anche se avrei voluto che più di quella discussione fosse stata nel video, che ha più di un milione di visualizzazioni su YouTube fino ad ora!

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