Funzione di Gompertz

Curva di GompertzModifica

La biologia delle popolazioni è particolarmente interessata alla funzione di Gompertz. Questa funzione è particolarmente utile per descrivere la rapida crescita di una certa popolazione di organismi, mentre è anche in grado di rendere conto dell’eventuale asintoto orizzontale, una volta che la capacità di carico è determinata (plateau numero di cellule/popolazione).

E’ modellata come segue:

N ( t ) = N 0 exp ( ln ( N I / N 0 ) ( 1 – exp ( – b t ) ) ) {\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}

dove:

• t è il tempo
• N0 è la quantità iniziale di cellule
• NI è il numero di cellule/popolazione di plateau
• b è il tasso iniziale di crescita del tumore

Questa considerazione del numero di cellule di plateau rende la funzione utile per imitare accuratamente le dinamiche di popolazione della vita reale. La funzione aderisce anche alla funzione sigmoide, che è la convenzione più ampiamente accettata per dettagliare in generale la crescita di una popolazione. Inoltre, la funzione fa uso del tasso di crescita iniziale, che è comunemente visto nelle popolazioni di cellule batteriche e tumorali, che subiscono la fase log e crescono rapidamente in numero. Nonostante la sua popolarità, la funzione tasso iniziale di crescita del tumore è difficile da predeterminare data la variazione dei microcosmi presenti con un paziente, o la variazione dei fattori ambientali nel caso della biologia della popolazione. Nei pazienti affetti da cancro, fattori come l’età, la dieta, l’etnia, le predisposizioni genetiche, il metabolismo, lo stile di vita e l’origine delle metastasi giocano un ruolo nel determinare il tasso di crescita del tumore. La capacità di carico dovrebbe anche cambiare in base a questi fattori, e quindi descrivere tali fenomeni è difficile.

Curva metabolicaModifica

La funzione metabolica si occupa in particolare di rendere conto del tasso di metabolismo all’interno di un organismo. Questa funzione può essere applicata per monitorare le cellule tumorali; il tasso metabolico è dinamico ed è molto flessibile, rendendolo più preciso nel dettagliare la crescita del cancro. La curva metabolica prende in considerazione l’energia che il corpo fornisce nel mantenimento e nella creazione dei tessuti. Questa energia può essere considerata come metabolismo e segue un modello specifico nella divisione cellulare. La conservazione dell’energia può essere usata per modellare tale crescita, indipendentemente dalle diverse masse e dai tempi di sviluppo. Tutti i taxa condividono un modello di crescita simile e questo modello, di conseguenza, considera la divisione cellulare, il fondamento dello sviluppo di un tumore.

B = ∑ C ( N C B C ) + ( E C d N C d t ) {displaystyle B=somma _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{operatorname {d} \!N_{C} over \operatorname {d} \!t}\right)}

• B = energia che l’organismo usa a riposo
• NC = numero di cellule in un dato organismo
• BC= tasso metabolico di una singola cellula
• NCBC= energia richiesta per mantenere il tessuto
• EC= energia richiesta per creare nuovo tessuto da una singola cellula

La differenziazione tra l’energia utilizzata a riposo e il tasso metabolico di lavoro permette al modello di determinare più precisamente il tasso di crescita. L’energia a riposo è inferiore all’energia utilizzata per mantenere un tessuto, e insieme rappresentano l’energia necessaria per mantenere il tessuto esistente. L’uso di questi due fattori, insieme all’energia richiesta per creare nuovo tessuto, mappano in modo completo il tasso di crescita, e inoltre, portano a una rappresentazione accurata della fase di ritardo.

Crescita dei tumoriModifica

Negli anni ’60 A.K. Laird ha usato per la prima volta con successo la curva di Gompertz per adattare i dati della crescita dei tumori. Infatti, i tumori sono popolazioni cellulari che crescono in uno spazio confinato dove la disponibilità di nutrienti è limitata. Denotando la dimensione del tumore come X(t) è utile scrivere la curva di Gompertz come segue:

X ( t ) = K exp ( log ( X ( 0 ) K ) exp ( – α t ) ) {\displaystyle X(t)=K \exp \left(\log \left(\frac {X(0)}{K}} a destra)\exp \left(-\alpha t\right)\right)}

dove:

• X(0) è la dimensione del tumore al momento dell’osservazione iniziale;
• K è la capacità di carico, cioè la dimensione massima che può essere raggiunta.cioè la dimensione massima che può essere raggiunta con i nutrienti disponibili. Infatti è:
  lim t → + ∞ X ( t ) = K {\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}

  

indipendentemente da X(0)>0. Si noti che, in assenza di terapie ecc. di solito è X(0)<K, mentre, in presenza di terapie, può essere X(0)>K;

• α è una costante legata alla capacità proliferativa delle cellule.
• log() si riferisce al log naturale.

Si può dimostrare che la dinamica di X(t) è governata dall’equazione differenziale di Gompertz:

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {displaystyle X^{{prime }(t)=\alfa \log \left({frac {K}{X(t)}}right)X(t)}

cioè è della forma scomposta:

X ′ ( t ) = F ( X ( t ) ) X ( t ) , con F ′ ( X ) ≤ 0 , {displaystyle X^{\primo }(t)=F\sinistra(X(t)\destra)X(t),\quadro {\mbox{con}quadro F^{\primo }(X)\leq 0,

F(X) è il tasso di proliferazione istantaneo della popolazione cellulare, la cui natura decrescente è dovuta alla competizione per i nutrienti dovuta all’aumento della popolazione cellulare, analogamente al tasso di crescita logistico. Tuttavia, c’è una differenza fondamentale: nel caso logistico il tasso di proliferazione per una piccola popolazione cellulare è finito:

F ( X ) = α ( 1 – ( X K ) ν ) ⇒ F ( 0 ) = α < + ∞ {\displaystyle F(X)= alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}} a destra)^{\nu} a destra)\freccia F(0)= alpha <+\infty }

dove nel caso di Gompertz il tasso di proliferazione non è limitato:

lim X → 0 + F ( X ) = lim X → 0 + α log ( K X ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty }

Come notato da Steel e da Wheldon, il tasso di proliferazione della popolazione cellulare è in definitiva limitato dal tempo di divisione cellulare. Così, questa potrebbe essere una prova che l’equazione di Gompertz non è buona per modellare la crescita dei piccoli tumori. Inoltre, più recentemente è stato notato che, includendo l’interazione con il sistema immunitario, Gompertz e altre leggi caratterizzate da F(0) senza limiti precluderebbero la possibilità della sorveglianza immunitaria.

Lo studio teorico di Fornalski et al. ha mostrato la base biofisica della curva di Gompertz per la crescita del cancro, tranne la fase molto iniziale in cui la funzione parabolica è più appropriata. Hanno trovato anche che la curva di Gompertz descrive il caso più tipico tra l’ampia famiglia delle funzioni della dinamica del cancro.

Crescita di Gompertz e crescita logisticaModifica

L’equazione differenziale di Gompertz

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {displaystyle X^{{prime }(t)=\alfa \log \left({frac {K}{X(t)}}right)X(t)}

è il caso limite dell’equazione differenziale logistica generalizzata

X ′ ( t ) = α ν ( 1 – ( X ( t ) K ) 1 ν ) X ( t ) {displaystyle X^{{prime }(t)=\alpha \nu \sinistra(1-\frac {X(t)}K}}destra)^{\frac {1}{\nu}}destra)X(t)}

(dove ν > 0 {\displaystyle \nu >0}

è un numero reale positivo) poiché

lim ν → + ∞ ν ( 1 – x 1 / ν ) = – log ( x ) {displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}

.

Inoltre, c’è un punto di flesso nel grafico della funzione logistica generalizzata quando

X ( t ) = ( ν ν + 1 ) ν K {\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu+1}}}right)^{\nu }K}

e uno nel grafico della funzione di Gompertz quando

X ( t ) = K e = K ⋅ lim ν → + ∞ ( ν ν + 1 ) ν {displaystyle X(t)={{frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \destra freccia +\infty }{sinistra({\frac {\nu +1}}destra)^{\nu }}

.

Modellazione della traiettoria di infezione COVID-19Modifica

Funzione logistica generalizzata (curva di crescita Richards) nella modellazione epidemiologica

Una funzione logistica generalizzata, chiamata anche curva di crescita Richards, è ampiamente utilizzata nella modellazione delle traiettorie di infezione COVID-19. La traiettoria dell’infezione è una serie temporale di dati giornalieri per il numero cumulativo di casi infetti per un soggetto come il paese, la città, lo stato, ecc. Ci sono varianti di ri-parametrizzazione in letteratura: una delle forme frequentemente utilizzate è

f ( t ; θ 1 , θ 2 , θ 3 , ξ ) = θ 1 1 / ξ {displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={frac {\theta _{1}}{^{1/\xi }}}}

dove θ 1 , θ 2 , θ 3 {displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}

sono numeri reali, e ξ {displaystyle \xi }

è un numero reale positivo. La flessibilità della curva f {displaystyle f}

è dovuta al parametro ξ {displaystyle \xi }

: (i) se ξ = 1 {\displaystyle \xi =1}

allora la curva si riduce alla funzione logistica, e (ii) se ξ {\displaystyle \xi }

converge a zero, allora la curva converge alla funzione di Gompertz. Nella modellazione epidemiologica, θ 1 {displaystyle \theta _{1}}

, θ 2 {displaystyle \theta _{2}}

, e θ 3 {displaystyle \theta _{3}}

rappresentano rispettivamente la dimensione finale dell’epidemia, il tasso di infezione e la fase di ritardo. Vedi il pannello di destra per un esempio di traiettoria di infezione quando ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) {displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}

sono designati da ( 10 , 000 , 0.2 , 40 ) {\displaystyle (10,000,0.2,40)}

.

Traiettorie di infezione estrapolate di 40 paesi gravemente colpiti da COVID-19 e grande (popolazione) media fino al 14 maggio

Uno dei vantaggi di utilizzare la funzione di crescita come la funzione logistica generalizzata nella modellazione epidemiologica è la sua relativamente facile espansione alla struttura del modello multilivello utilizzando la funzione di crescita per descrivere le traiettorie di infezione da più soggetti (paesi, città, stati, ecc.). Vedi la figura sopra. Tale quadro di modellazione può essere anche ampiamente chiamato modello non lineare a effetti misti o modello gerarchico non lineare.

Legge Gomp-ex di crescitaModifica

In base alle considerazioni di cui sopra, Wheldon propose un modello matematico di crescita tumorale, chiamato modello Gomp-Ex, che modifica leggermente la legge di Gompertz. Nel modello Gomp-Ex si assume che inizialmente non ci sia competizione per le risorse, così che la popolazione cellulare si espande seguendo la legge esponenziale. Tuttavia, c’è una soglia critica di dimensione X C {displaystyle X_{C}}

tale che per X > X C {\displaystyle X>X_{C}}

. L’ipotesi che non ci sia competizione per le risorse è vera nella maggior parte degli scenari. Tuttavia può essere influenzata da fattori limitanti, il che richiede la creazione di variabili di sottofattori.

la crescita segue la legge di Gompertz:

F ( X ) = max ( a , α log ( K X ) ) {\displaystyle F(X)= \max \left(a,\alpha \log \left({frac {K}{X}{right)\right)}

così che:

X C = K exp ( – a α ) . {\displaystyle X_{C}=K\exp \sinistra(-{frac {a}{alpha}}destra).}

Qui ci sono alcune stime numeriche per X C {\displaystyle X_{C}}