Analisi della complessità di un modello di gioco di duopolio di Cournot-Bertrand con informazioni limitate

Abstract

Si considera un modello di gioco di duopolio misto Cournot-Bertrand con informazioni limitate sul mercato e sull’avversario, dove il mercato ha una domanda lineare e due imprese hanno lo stesso costo marginale fisso. I principi del processo decisionale sono razionali limitati. Un’impresa sceglie la produzione e l’altra sceglie il prezzo come variabile di decisione, con l’ipotesi che ci sia un certo grado di differenziazione tra i prodotti offerti dalle imprese per evitare che l’intero mercato sia occupato da quella che applica un prezzo più basso. Si studia l’esistenza di un punto di equilibrio di Nash e la sua stabilità locale del gioco. Le dinamiche complesse, come gli scenari di biforcazione e il percorso verso il caos, sono visualizzati utilizzando i grafici del bacino dei parametri tramite esperimento numerico. Le influenze dei parametri sulle prestazioni del sistema sono discusse dal punto di vista dell’economia.

1. Introduzione

Un oligopolio è una struttura di mercato tra il monopolio e la concorrenza perfetta, in cui il mercato è completamente controllato solo da un numero limitato di imprese che producono la stessa produzione o produzioni omogenee. Se ci sono due imprese, si parla di duopolio, mentre se ci sono tre concorrenti, si parla di triopolio.

L’oligopolio di Cournot e l’oligopolio di Bertrand sono i due modelli più noti della teoria dell’oligopolio. Nel modello Cournot, le imprese controllano il loro livello di produzione, che influenza il prezzo di mercato, mentre nel modello Bertrand, le imprese scelgono il prezzo di un’unità di prodotto per influenzare la domanda del mercato.

Una grande quantità di letteratura si occupa della concorrenza di Cournot o di Bertrand nel mercato oligopolistico, ma ci sono solo un numero considerevolmente inferiore di lavori dedicati alla concorrenza di Cournot-Bertrand, che sono caratterizzati dal fatto che il mercato può essere suddiviso in due gruppi di imprese, il primo dei quali regola in modo ottimale i prezzi e l’altro regola in modo ottimale la sua produzione per assicurare il massimo profitto. Per esempio, nel mercato del duopolio, un’impresa compete in posizione dominante, e sceglie la produzione come variabile di decisione mentre l’altra è in svantaggio, e sceglie il prezzo come variabile di decisione per guadagnare più quote di mercato. Come abbiamo saputo finora, Bylka e Komar e Singh e Vives sono i primi autori ad analizzare i duopoli, dove un’impresa compete sulle quantità e l’altra sui prezzi. Häckner, Zanchettin e Arya et al. hanno sottolineato che in alcuni casi la concorrenza Cournot-Bertrand può essere ottimale. Recentemente, C. H. Tremblay e V. J. Tremblay hanno analizzato il ruolo della differenziazione del prodotto per le proprietà statiche dell’equilibrio Nash di un duopolio Cournot-Bertrand. Naimzada e Tramontana hanno considerato un modello di duopolio Cournot-Bertrand, che è caratterizzato da equazioni di differenza lineari. Hanno anche analizzato il ruolo della dinamica di risposta migliore e del meccanismo di aggiustamento adattivo per la stabilità dell’equilibrio.

In questo articolo, abbiamo creato un modello di duopolio Cournot-Bertrand, assumendo che due imprese scelgano rispettivamente la produzione e il prezzo come variabile di decisione, e che tutte abbiano aspettative razionali limitate. Il sistema di gioco può essere descritto da equazioni di differenza non lineari, il che modifica ed estende i risultati di Naimzada e Tramontana, che consideravano le imprese con aspettative statiche e descritte da equazioni di differenza lineari. La ricerca porterà ad una buona guida per i decisori aziendali per fare il miglior processo decisionale.

L’articolo è organizzato come segue il modello di gioco Cournot-Bertrand con aspettative razionali limitate è descritto nella Sezione 2. Nella Sezione 3, si studiano l’esistenza e la stabilità dei punti di equilibrio. I comportamenti dinamici sotto alcuni cambiamenti dei parametri di controllo del gioco sono studiati tramite simulazioni numeriche nella Sezione 4. Infine, una conclusione è tratta nella Sezione 5.

2. Il modello di gioco Cournot-Bertrand con aspettative razionali limitate

Consideriamo un mercato servito da due imprese e l’impresa produce il bene , . C’è un certo grado di differenziazione tra i prodotti e . L’impresa 1 compete nella produzione come in un duopolio di Cournot, mentre l’impresa 2 fissa il suo prezzo come nel caso di Bertrand. Supponiamo che le imprese facciano le loro scelte strategiche simultaneamente e che ogni impresa conosca la produzione e il prezzo di ogni altra impresa.

Le funzioni di domanda inversa dei prodotti della varietà 1 e 2 derivano dalla massimizzazione da parte del consumatore rappresentativo della seguente funzione di utilità: soggetto al vincolo di bilancio e sono date dalle seguenti equazioni (per la dimostrazione dettagliata si veda ): dove il parametro denota l’indice di differenziazione o di sostituzione del prodotto. Il grado di differenziazione dei prodotti aumenta con . I prodotti e sono omogenei quando , e ogni impresa è un monopolista quando , mentre un negativo implica che i prodotti sono complementari. Supponiamo che le due imprese abbiano lo stesso costo marginale, e che la funzione di costo abbia la forma lineare: Possiamo scrivere il sistema di domanda nelle due variabili strategiche, e : Le funzioni di profitto dell’impresa 1 e 2 sono nella forma:

Assumiamo che le due imprese non abbiano una conoscenza completa del mercato e dell’altro giocatore, e costruiscono le decisioni sulla base del profitto marginale atteso. Se il profitto marginale è positivo (negativo), esse aumentano (diminuiscono) la loro produzione o il loro prezzo nel periodo successivo; cioè, sono giocatori razionali limitati. Allora il sistema dinamico misto Cournot-Bertrand può essere descritto dalle equazioni differenziali non lineari: dove e rappresentano la velocità di aggiustamento dei due giocatori in ogni relazione, rispettivamente.

3. Punti di equilibrio e stabilità locale

Il sistema (6) ha quattro punti di equilibrio: dove , . , , e sono i punti di equilibrio limite, ed è l’unico punto di equilibrio Nash a condizione che e , che richiede . Altrimenti, ci sarà un’impresa fuori dal mercato.

Per studiare la stabilità locale dei punti di equilibrio, sia la matrice Jacobiana del sistema (6) corrispondente alle variabili di stato , quindi dove , . La stabilità dei punti di equilibrio sarà determinata dalla natura degli autovalori di equilibrio della matrice Jacobian valutati nei punti di equilibrio corrispondenti.

Proposizione 1. Gli equilibri limite , , e del sistema (6) sono punti di equilibrio instabili quando .

Prova. Per l’equilibrio , la matrice Jacobiana del sistema (6) è uguale a Questi autovalori che corrispondono all’equilibrio sono i seguenti: Evidentemente , allora il punto di equilibrio è instabile.
Anche alla matrice Jacobian diventa una matrice triangolare Questi autovalori che corrispondono all’equilibrio sono i seguenti: Quando , evidentemente . Quindi, il punto di equilibrio è instabile. Allo stesso modo possiamo dimostrare che è anche instabile.

Da un punto di vista economico siamo più interessati allo studio delle proprietà di stabilità locale del punto di equilibrio di Nash, le cui proprietà sono state profondamente analizzate in

La matrice Jacobiana valutata nel punto di equilibrio di Nash è la seguente

La traccia e il determinante di sono denotati come e , rispettivamente. Rispetto al punto , , e , ora è più difficile calcolare esplicitamente gli autovalori, ma è ancora possibile valutare la stabilità del punto di equilibrio di Nash utilizzando le seguenti condizioni di stabilità, note come condizioni di Jury : Le disuguaglianze di cui sopra definiscono una regione in cui il punto di equilibrio di Nash è localmente stabile. Inoltre, possiamo imparare di più sulla regione di stabilità attraverso simulazioni numeriche. Per studiare la dinamica complessa del sistema (6), è conveniente prendere i valori dei parametri come segue: La figura 1 mostra nel piano dei parametri le regioni di stabilità e instabilità. Dalla figura, possiamo trovare che una velocità di regolazione troppo alta farà perdere stabilità al punto di equilibrio Nash. Troviamo anche che la velocità di aggiustamento del prezzo è più sensibile della velocità dell’output, e quando circa , il punto di equilibrio di Nash perderà la stabilità, mentre circa il punto di equilibrio di Nash lo farà.

Figura 1

La regione di stabilità e instabilità.

4. Gli effetti dei parametri sulla stabilità del sistema

I diagrammi del bacino dei parametri (chiamati anche diagrammi di biforcazione 2D) sono uno strumento più potente nell’analisi numerica delle dinamiche non lineari rispetto ai diagrammi di biforcazione 1D, che assegnano colori diversi in uno spazio dei parametri 2D a cicli stabili di periodi diversi. In questa sezione, i diagrammi del bacino dei parametri saranno utilizzati per analizzare gli effetti della velocità di aggiustamento dei giocatori e dell’indice di differenziazione del prodotto sulla stabilità del sistema. Abbiamo impostato e i valori iniziali sono scelti come .

4.1. Gli effetti della velocità di aggiustamento dei giocatori sulla stabilità del sistema

La figura 2 presenta il bacino dei parametri rispetto ai parametri quando e assegna colori diversi agli stati stabili (blu scuro); cicli stabili dei periodi 2 (azzurro), 4 (viola), e 8 (verde) (i primi quattro cicli in un percorso di biforcazione periodo-doppio verso il caos) e dei periodi 3 (rosso), 5 (arancione), e 7 (rosa) (cicli stabili di basso ordine di periodo dispari); caos (giallo); divergenza (bianco) (che significa che uno dei giocatori sarà fuori dal mercato in economia).

Figura 2

Il bacino dei parametri per .

Possiamo trovare che quando i parametri passano attraverso i confini come le frecce nere e , il sistema (6) perde la sua stabilità attraverso la biforcazione flip (chiamata biforcazione del periodo-doppio nel sistema continuo), come mostrato nelle figure 3 e 4. Ma quando i parametri attraversano i confini come la freccia, il comportamento dinamico del sistema è più complicato, e prima entra nel caos attraverso la biforcazione di Neimark-Sacker (chiamata biforcazione di Hopf nel sistema continuo), poi entra nel periodo 2, e poi evolve nel caos attraverso la biforcazione flip separatamente, come mostrato nella figura 5. Notiamo anche che nella regione gialla (caos) c’è una linea rossa e punti arancioni (ciclo dispari); cioè, c’è un ciclo dispari intermittente nel caos come mostrato nella Figura 3 alla Figura 5. È noto che, per le mappe continue 1D, un ciclo con periodo dispari implica un comportamento dinamico caotico (il cosiddetto caos topologico) secondo il famoso risultato “periodo 3 implica caos” di Li e Yorke.

Figura 3

Diametro di biforcazione per e varia da 1,5 a 3,5.

Figura 4

Diagramma di biforcazione per e varia da 1,5 a 2,8.

Figura 5

Diagramma di biforcazione per e varia da 1,8 a 2,8.

Dal punto di vista dell’economia, la velocità di aggiustamento delle imprese e dovrebbe essere in un certo intervallo; altrimenti, il sistema verrà fuori la fluttuazione del ciclo, e poi nel caos, che significa irregolare, sensibile ai valori iniziali, imprevedibile e cattivo per l’economia. Troviamo anche che la gamma regolabile di è più grande di quella di , il che significa che l’aggiustamento del prezzo è più sensibile di quello della produzione, e la guerra dei prezzi è più facile da ottenere il mercato nel caos.

4.2. Gli effetti dell’indice di differenziazione del prodotto sulla stabilità del sistema

Per trovare le influenze dell’indice di differenziazione del prodotto sulla stabilità del sistema, le figure 6, 7, 8 e 9 danno i bacini dei parametri per , , , e separatamente.

Figura 6

Il bacino dei parametri per .

Figura 7

Il bacino dei parametri per .

Figura 8

Il bacino dei parametri per .

Figura 9

Il bacino dei parametri per .

Dal confronto possiamo vedere che l’area blu scuro diventa più grande e l’area gialla diventa più piccola con l’aumento dell’indice di differenziazione del prodotto; cioè, il grado di differenziazione del prodotto è più piccolo, e la gamma regolabile di parametri e per far sì che il sistema rimanga stabile diventerà più grande, il che significa più concorrenza tra i prodotti delle due aziende.

5. Conclusioni

In questo articolo, proponiamo un modello di gioco misto Cournot-Bertrand, supponendo che le imprese non abbiano l’informazione completa del mercato e dell’avversario, e prendono le loro decisioni secondo il loro proprio profitto marginale. Si suppone che la funzione di domanda e di costo sia lineare e che il modello possa essere descritto da equazioni della differenza. L’equilibrio limite è sempre instabile e si analizzano l’esistenza e la stabilità locale dell’equilibrio Nash. Inoltre, analizziamo gli effetti dei parametri (la velocità di aggiustamento e l’indice di differenziazione del prodotto) sulla stabilità del sistema, e diverse biforcazioni e percorsi verso il caos sono analizzati usando i diagrammi del bacino dei parametri. I modelli di gioco Cournot-Bertrand sotto diversi ambienti di marketing devono essere considerati, e sarà un argomento interessante per lo studio futuro.

Riconoscimenti

Gli autori ringraziano i revisori per la loro attenta lettura e per aver fornito alcuni suggerimenti pertinenti. La ricerca è stata sostenuta dalla National Natural Science Foundation of China (n. 61273231).