4.3: Compressibilità ed espansività

Derivare un’espressione per una derivata parziale (tipo I): La regola reciproca

Consideriamo un sistema che è descritto da tre variabili, e per il quale si può scrivere un vincolo matematico sulle variabili

\

In queste circostanze, si può specificare lo stato del sistema variando solo due parametri indipendentemente perché il terzo parametro avrà un valore fisso. Come tale si potrebbero definire due funzioni: \(z(x, y)\) e \(y(x,z)\).

Questo permette di scrivere i differenziali totali per \(dz\) e \(dy\) come segue

e

Sostituendo l’espressione dell’equazione \ref{eq6} nell’equazione \ref{eq5}:

\\7952>= \sinistra( \dfrac{\parziale z}{\parziale x} \destra)_y dx + \sinistra( \dfrac{\parziale z}{\parziale y} \destra)_x \sinistra( \dfrac{\parziale y}{\parziale x} \destra)_z dx + \sinistra( \dfrac{\parziale z}{\parziale y} \destra)_x \sinistra( \dfrac{\parziale y}{\parziale z} \destra)_x dz \label{eq7}

Se il sistema subisce un cambiamento seguendo un percorso in cui \(x\) è tenuto costante (\(dx = 0\)), questa espressione si semplifica in

E così per i cambiamenti per cui \(dz \neq 0\),

Questa regola reciproca è molto comoda nella manipolazione delle derivate parziali. Ma può anche essere derivata in modo semplice, anche se meno rigoroso. Si comincia scrivendo il differenziale totale per \(z(x,y)\) (Equazione \ref{eq5}):

Ora, dividere entrambi i lati per \(dz\) e vincolare alla costante \(x\).

Visto che

e

L’equazione \ref{eq10} diventa

o

Questo metodo “formale” di manipolazione della derivata parziale è comodo e utile, anche se non è matematicamente rigoroso. Tuttavia, funziona per il tipo di derivate parziali che si incontrano in termodinamica, perché le variabili sono variabili di stato e i differenziali sono esatti.