Pi: A legfontosabb szám az univerzumban?

By Edward B. Burger, Ph.D, Southwestern University

A világegyetemünk egyik legfontosabb száma a pí vagy π. Fedezze fel az emberiség odüsszeiáját – a korszakok során tett, valóban kultúrákon átívelő kísérleteket – e rejtélyes szám kiszámítására, közelítésére és megértésére.

A definíció

Míg a π eredete nem ismert biztosan, azt tudjuk, hogy a babilóniaiak i. e. 1800 körül közelítették a π-t 60-as bázison. A π definíciójának középpontjában a körök állnak. Ez egy kör kerületének és átmérőjének hányadosa – egy szám, amely alig nagyobb, mint három.

A π állandó segít abban, hogy jobban megértsük a világegyetemünket. A π definíciója inspirálta a szögek mérésének új fogalmát, egy új mértékegységet. Ez a fontos szögmérték “radiánmérték” néven ismert, és fizikai világunk számos fontos felismeréséhez vezetett. Ami magát a π-t illeti, Johann Lambert 1761-ben kimutatta, hogy π irracionális szám, később, 1882-ben pedig Ferdinand von Lindemann bebizonyította, hogy π nem megoldása egyetlen egész számokat tartalmazó polinomegyenletnek sem. A π-vel kapcsolatos számos kérdés azonban továbbra is megválaszolatlan maradt.

Tudjon meg többet! Geometria-Poligonok és körök

Kísérletezés a pí-vel

A pi eredetének megvitatását egy olyan körökkel kapcsolatos kísérlettel kell kezdeni, amelyet mindannyian kipróbálhatunk. Vegyünk egy tetszőleges kört, és vegyük a kerület hosszát – ami a kör hosszát jelenti – és mérjük meg az átmérőhöz képest, ami a keresztirányú hossz. A végeredmény három átmérő lesz, és csak egy kicsivel több, és ha jól megnézzük, ez egy kicsivel több, mint 1/10-eddel több. Ez a kísérlet azt mutatja, hogy a kerület és az átmérő aránya egy 3,1 körüli, vagy annál egy kicsit nagyobb szám lesz. Nem számít, mekkora a kör mérete, a kerülete valamivel nagyobb, mint az átmérője háromszorosa.

Ez egy átirat a Nullától a végtelenségig című videósorozatból. Nézze meg most, a The Great Courses-on.

Ez a rögzített, állandó érték nevet kapott, és mi π-nek hívjuk. Hogyan mondjuk ki pontosabban? A π számot úgy definiáljuk, hogy egyenlő bármely kör kerületének és átmérőjének átmérőjének hányadosával. Ez az arány állandó. Mindegy, hogy milyen méretű körrel próbálkozunk, ez a szám mindig ugyanaz lesz. Úgy kezdődik, hogy 3,141592653589, és így folytatódik.”

A π szimbólum a görög π betűből származik, mert a görög “periféria” szó a görög π betűvel kezdődik. A kör perifériája volt az elődje a kör kerületének, amit ma kerületnek nevezünk. A π szimbólum először William Jones 1709-es A New Introduction to Mathematics című szövegében jelenik meg, és a szimbólumot később a nagy 18. századi svájci matematikus, Leonhard Euler tette népszerűvé 1737 körül.

Tudj meg többet! A számelmélet-prímszámok és osztószámok

Babilonból a Bibliába

A nevétől az értéke felé haladva, bizonyíték van arra, hogy a babiloniak a π-t i. e. 1800 körül a 60-as bázison közelítették meg, sőt, úgy vélték, hogy π = 25/8, azaz 3,125 – ez elképesztő közelítés az emberi történelem ilyen korai szakaszában. Az ókori egyiptomi írnok, Ahmes, akit a híres Rhind-papiruszhoz kapcsolnak, a 256/81-es közelítést ajánlotta, ami 3,16049-nek felel meg. Ismét egy lenyűgöző közelítést látunk ehhez az állandóhoz. A Bibliában még egy implicit π-értéket is megadnak. Az 1Királyok 7:23-ban egy kerek medence 30 köbcentiméteres kerülettel és 10 köbcentiméteres átmérővel rendelkezik. Így a Bibliában implicit módon az áll, hogy π egyenlő 3 (30/10).

Nem meglepő, hogy ahogy az emberiség számokkal kapcsolatos ismeretei fejlődtek, úgy fejlődött az a képessége is, hogy magát a π-t jobban megértse és így megbecsülje. A 263. évben Liu Hui kínai matematikus úgy vélte, hogy π = 3,141014.

Majdnem 200 évvel később az indiai matematikus és csillagász Aryabhata a π-t a 62,832/20,000 törttel közelítette meg, ami 3,1416 – egy igazán elképesztő becslés. 1400 körül a perzsa csillagász, Kashani 16 számjegyig pontosan kiszámította a π-t.

Hogyan mérjünk szögeket pí-vel

Távolodjunk el a π számjegyeinek történelmi hajszájától, és tekintsük a π-t mint a világegyetemünkben fontos számot. Tekintettel a π-nek a körök kerületének mérésével való kapcsolatára, a tudósokat arra inspirálta, hogy a szögtávolság mérésére használják. Tekintsünk egy 1 sugarú kört. A sugár nem más, mint a középponttól az oldalig terjedő mértékegység. Ez az átmérő fele.

A szögek mértékegységének hagyományos egységei természetesen a fokok. A fokokkal egy teljes kör körbefordulás mértéke 360 fok, ami történetesen nagyjából megegyezik egy teljes év napjainak számával, és ami talán megmagyarázza, hogy miért gondolunk az egyszer körbefordultra úgy, hogy 360.

Ahelyett, hogy a 360 önkényes mértékegységgel egyszer körbefordultat jelölnénk, számoljuk ki, hogy ténylegesen mennyi ideig kell utazni ezen a bizonyos körön, egy 1 sugarú körön, egyszer körbefordulva. Mekkora ennek a hossza és a kerülete? Ha a sugarunk 1, akkor az átmérőnk ennek kétszerese, 2, és így tudjuk, hogy az egyszer körbejárás 2-szer π lesz, mert a kerület π-szerese az átmérőnek.

Egyszer körbejárás 2π lesz. Egy teljes körbefordulás, ami 360 fokos szöget jelent, 2π kerülethosszúsággal lenne kisöpörve ezen a bizonyos körön. A félkör 180 fok lenne, és a kerület felét söpörnénk ki, ami ebben az esetben π lenne. 90 fok a kör negyedét söpörné ki, és ennél a bizonyos körnél ez π/2, vagyis a π felének a hossza lenne.

Kezdjük látni, hogy minden szög megfelel egy részben vagy egészben mért távolságnak ezen a bizonyos 1 sugarú kör körül. Más szóval, bármely szög esetében meg tudjuk mérni ennek a körnek az adott szög által kisöpört ívének a hosszát.

Ez az ívhossz egy új módját adja egy szög mértékének ábrázolására, és a szögek ezen mértékét “radián mértéknek” nevezzük. Például 360 fok = 2π radián, ezek az egységek; 180 fok egyenlő π radiánnal, 90 fok pedig π/2 radiánnak felelne meg. Ne feledjük, hogy mindezek a mértékek mindig egy speciális körön alapulnak, amelynek sugara 1.

Tudj meg többet a geometriáról és a transzformációs taktikáról

Radiánmértékek és a Pi hatványa

Kiderült, hogy ez a radiánmérték sokkal hasznosabb a szögek mérésében a matematika és a fizika számára, mint az ismertebb fokmérték. Ez a tény nem meglepő. A radiánmérték a kerületi hosszon keresztül természetes módon kapcsolódik a szöghöz, nem pedig az önkényesebb fokmérték, amelynek nincs matematikai alapja. Egy teljes éven keresztül közelítést jelent.

A radián kifejezés először az 1870-es években jelent meg nyomtatásban, de addigra a nagy matematikusok, köztük a nagy matematikus Leonhard Euler, már több mint száz éve használták a radiánban mért szögeket.

A π szám szám számtalan fontos képletben és elméletben szerepel, köztük a Heisenberg-féle bizonytalansági elvben és Einstein általános relativitáselméletből származó mezőegyenletében. Az egész világon fontos képlet és szám.

Gyakori kérdések a pí számról