Orthonormális vektorok

Mi az orthonormális vektor?

A vektor akkor normális, ha hossza egy. Két vektort ortogonálisnak mondunk, ha derékszöget zárnak be egymással (pontproduktumuk nulla). Vektorok egy halmazát ortonormálisnak mondjuk, ha mindegyikük normális, és a halmaz minden egyes vektorpárja ortogonális.

Az ortonormális vektorokat általában egy vektortér alapjaként használják. Az adatok ortonormális bázisának megállapítása jelentősen megkönnyíti a számításokat; például egy vektor hossza egyszerűen az adott vektor koordinátái négyzeteinek összegének négyzetgyöke valamilyen ortonormális bázishoz viszonyítva.

QR-dekompozíció

Az A valós négyzetes mátrix QR-dekompozíciója két olyan Q és R mátrix megtalálásának folyamata, hogy:

• A = QR

• Q egy ortogonális mátrix

• R egy felső háromszögmátrix

(ha A egy komplex négyzetmátrix, vagy egy téglalapmátrix, akkor Q egy unitárius mátrix lesz.)

Egy mátrix QR-dekompozíciójának kiszámítására számos módszer létezik, többek között a Gram-Schmidt-eljárás, a Householder-transzformációk vagy a Givens-rotációk. Mindegyik módszernek megvannak az előnyei és hátrányai, ezért a megvalósítóknak alaposan meg kell tanulmányozniuk az egyes algoritmusokat az adott problémához.

A QR-dekompozíciót gyakran használják a lineáris legkisebb négyzetek problémájának megoldásánál. Ez az alapja egy sajátvektor-kereső algoritmusnak is, amelyet találóan QR-algoritmusnak neveznek (bár ironikus módon az algoritmus modern formája valójában nem tartalmazza a QR-dekompozíció kiszámítását!)