MathBootCamps

Az egyváltozós lineáris egyenletek olyan egyenletek, ahol a változónak 1 az exponense, amit jellemzően nem jelenítünk meg (ez érthető). Egy példa erre valami \(12x = x – 5\) lenne. A lineáris egyenletek megoldásához egy fő célunk van: izolálni a változót. Ebben a leckében több példán keresztül megnézzük, hogyan történik ez.

Tartalomjegyzék

1. Példák az egylépéses egyenletek megoldására
2. Példák a kétlépéses egyenletek megoldására
3. Példák a kétlépéses egyenletek megoldására
4. .lépéses egyenletek
5. Példák olyan egyenletek megoldására, ahol először egyszerűsíteni kell
6. Végtelen sok vagy nincs megoldás
7. Összefoglaló

Példák egylépéses lineáris egyenletek megoldására

Az egyenlet megoldásának kemény munkája után, tudod, hogy olyan végső választ szeretnél, mint \(x=5\) vagy \(y=1\). Mindkét esetben a változó izolálva van, vagyis önmagában.

Azt kell tehát kitalálnunk, hogyan izoláljuk a változót. Hogy ezt hogyan tesszük, az magától az egyenlettől függ! Ha megszorozták valamivel, akkor osztani fogunk. Ha valami hozzá lett adva, akkor kivonjuk. Ezzel lassan megkapjuk a változót önmagában.

Mutatunk egy példát, hogy lássuk, hogyan működik ez.

Példa

Megoldjuk az egyenletet: \(4x = 8\)

Megoldás

Ebben a példában a 4 megszorozza az \(x\)-t. Ezért az \(x\) izolálásához el kell osztanod ezt az oldalt 4-gyel. Ennek során egy fontos szabályt kell észben tartanod: amit az egyenlet egyik oldalával teszel, azt kell tenned a másik oldalával is. Tehát mindkét oldalt elosztjuk 4-gyel.

\(\begin{align}4x &= 8 \\\ \dfrac{4x}{\color{red}{4}{4}}} &= \dfrac{8}{\color{red}{4}}}\end{align}\)

Egyszerűsítve:

\(x = \boxed{2}\)

Egy lépés és kész is vagyunk. (Ezért nevezik az ilyen egyenleteket gyakran “egylépéses” egyenleteknek)

Ellenőrzés

Amikor lineáris egyenleteket oldasz meg, mindig ellenőrizheted a válaszodat, ha visszahelyezed az egyenletbe. Ha igaz állítást kapsz, akkor a válasz helyes. Ez nem 100%-ban szükséges minden feladatnál, de jó szokás, ezért mi is ezt fogjuk tenni az egyenleteinknél.

Ebben a példában az eredeti egyenletünk \(4x = 8\) volt. Ennek ellenőrzéséhez ellenőrizzük, hogy igaz-e:

\(\begin{align}4x &= 8\\\ 4(2) &= 8 \\\ 8 &= 8\end{align}\)

Ez egy igaz állítás, tehát a válaszunk helyes.

Minden egyenlet esetében, bármilyen műveletet végzünk az egyik oldallal, azt a másik oldallal is meg kell tennünk

Próbáljunk még néhány példát, mielőtt továbblépünk a bonyolultabb egyenletekre.

Példa

Megoldjuk: \(3x=12\)

Megoldás

Mivel \(x\) szorozva van 3-mal, a terv az, hogy mindkét oldalon 3-mal osztunk:

\(\begin{align}3x &=12\\\ \dfrac{3x}{\color{red}{3}}}(3}}) &=\dfrac{12}{\color{red}{3}}\\ x&= \boxed{4}\end{align}\)

Check

A válaszunk ellenőrzéséhez hagyjuk, hogy \(x = 4\) és visszahelyezzük az egyenletbe:

\(\begin{align}3x &= 12\\\3(4) &= 12 \\\ 12 &= 12\end{align}\)

Mint korábban, mivel ez egy igaz állítás, tudjuk, hogy a válaszunk helyes.

A következő példában ahelyett, hogy a változót megszoroznánk egy értékkel, egy értéket vonunk ki a változóból. Hogy ezt “visszacsináljuk”, ezt az értéket hozzáadjuk mindkét oldalhoz.

Példa

Megoldás: \(y-9=21\)

Megoldás

Ezúttal 9-et vonunk ki y-ból, ezért ezt visszacsináljuk úgy, hogy mindkét oldalhoz hozzáadjuk a 9-et.

\(\begin{align}y-9&=21\\\ y-9 \color{red}{+9}&=21\color{red}{+9}\\\y&=30\end{align}\)

A következőkben az úgynevezett “kétlépéses” egyenleteket fogjuk megvizsgálni. Ezekben az egyenletekben két műveletet kell visszacsinálnunk ahhoz, hogy a változót elkülönítsük.

Példák kétlépéses egyenletekre

A fenti példák mindegyikében egyetlen lépést kellett végrehajtanunk, mielőtt megkaptuk volna a válaszunkat. A következő példákban látni fogod, hogyan dolgozhatsz olyan egyenletekkel, amelyek ehelyett két lépésből állnak. Ha egynél több művelet van, fontos megjegyezni a műveletek sorrendjét, PEMDAS. Mivel a \(x\) műveleteket visszacsinálod, “kívülről befelé” fogsz dolgozni. Ezt könnyebb megérteni, ha egy példán keresztül látod.

Példa

Solve: \(2x-7=13\)

Megoldás

Figyeljük meg, hogy az \(x\)-vel két művelet történik: megszorozzuk 2-vel, majd kivonjuk belőle a 7-et. Ezeket vissza kell vonnunk. De csak az \(x\)-t szorozzuk meg 2-vel, így az első lépés az lesz, hogy mindkét oldalhoz hozzáadunk 7-et. Ezután mindkét oldalt eloszthatjuk 2-vel.

Hozzáadva 7-et mindkét oldalhoz:

\(\begin{align} 2x-7 &= 13\\\\ 2x-7 \color{red}{+7} & =13 \color{vörös}{+7}\\\ 2x&=20\end{align}\)

Most osszuk el mindkét oldalt 2-vel:

\(\begin{align} 2x &=20 \\\ \dfrac{2x}{\color{red}{2}}&=\dfrac{20}{\color{red}{2}}\\ x&= \boxed{10}\end{align}\)

Próbáljuk

Mint az egyszerűbb feladatoknál, ellenőrizheted a válaszodat, ha az \(x\) értékét visszahelyezed az eredeti egyenletbe.

\(\begin{align}2x-7&=13\\\ 2(10) – 7 &= 13\\\ 13 &= 13\end{align}\)

Ez igaz, tehát megvan a helyes válasz.

Nézzünk még egy kétlépéses példát, mielőtt ismét feljebb ugranánk a nehézségben. Győződjünk meg róla, hogy minden egyes bemutatott lépést megértettünk, és dolgozzuk végig a feladatot is.

Példa

Megoldjuk: \(5w + 2 = 9\)

Megoldás

A fentiekhez hasonlóan itt is két műveletről van szó: \(w\) megszorozzuk 5-tel, majd hozzáadjuk a 2-t. Ezeket úgy vonjuk vissza, hogy először mindkét oldalból kivonunk 2-t, majd elosztjuk 5-tel.

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\\\ 5w + 2 \color{vörös}{-2} &= 9 \color{vörös}{-2}\\ 5w &= 7\\\ \dfrac{5w}{\color{vörös}{5}{5}} &=\dfrac{7}{\color{red}{5}}\\\w=\boxed{\dfrac{7}{5}}}\end{align}\)

A jobb oldali törtet nem lehet egyszerűsíteni, tehát ez a végső válaszunk.

Elszámolás

Legyen \(w = \dfrac{7}{5}\). Akkor:

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\\\ 5\\left(\dfrac{7}{5}\right) + 2 &= 9\\\ 7 + 2 &= 9\\\ 9 &= 9 \end{align}\)

Így ismét megvan a helyes válasz!

Egyszerűsítés a megoldás előtt

A következő példákban több változó kifejezés van, és esetleg némi egyszerűsítésre van szükség. A lépések minden esetben az lesznek, hogy először mindkét oldalt egyszerűsítjük, majd az eddigiek alapján izoláljuk a változót. Először egy példát fogunk alaposan megvizsgálni, hogy lássuk, hogyan működik mindez.

Azért, hogy megértsük ezt a részt, jól kell ismernünk a hasonló kifejezések kombinálását.

Példa

Megoldás: \(3x+2=4x-1\)

Megoldás

Mivel mindkét oldalt leegyszerűsítettük (nincsenek zárójelek, amiket ki kell találnunk, és nincsenek kombinálandó hasonló kifejezések), a következő lépés az, hogy az egyenlet egyik oldalán az összes x-et, a másik oldalán pedig az összes számot megkapjuk. Ugyanaz a szabály érvényes – amit az egyenlet egyik oldalával teszünk, azt kell tennünk a másik oldalával is!

Az \(3x\) vagy a \(4x\) elmozdítása lehetséges. Tegyük fel, hogy az \(4x\) elmozdul. Mivel pozitív, ezt úgy tennéd, hogy mindkét oldalból kivonod:

\(\begin{align}3x+2 &=4x-1\\\\ 3x+2\color{red}{-4x} &=4x-1\color{vörös}{-4x}\\\ -x+2 & =-1\end{align}\)

Most az egyenlet úgy néz ki, mint a korábban kidolgozottak. A következő lépés, hogy mindkét oldalból kivonjuk a 2-t:

\(\begin{align}-x+2\color{red}{-2} &= -1\color{red}{-2}\\\-x=-3\end{align}\)

Végül, mivel \(-x= -1x\) (ez mindig igaz), osszuk el mindkét oldalt \(-1\)-vel:

\(\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &=\dfrac{-3}{\color{red}{-1}}\\ x&=3\end{align}\)

Próbáljuk ki

Vegyünk egy pillanatot, és ellenőrizzük, hogy a következő állítás igaz-e:

\(3(3)+ 2 = 4(3) – 1\)

A következő példában a megoldás előtt a disztributív tulajdonságot kell használnunk. Itt könnyen hibázhatunk, ezért ügyeljünk arra, hogy a zárójelek előtt álló számot a zárójelben lévő összes tagra elosztjuk.

Példa

Megoldjuk: \(3(x+2)-1=x-3(x+1)\)

Megoldás

Először is oszd el a 3-at és a -3-at, és gyűjtsd össze a hasonló tagokat.

\(\begin{align}) 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)\\\ 3x+6-1&=x-3x-3 \\\ 3x+5&=-2x-3\end{align}\)

Most már mindkét oldalhoz hozzáadhatjuk a 2x-et. (Ne feledjük, hogy ugyanazt a választ kapjuk, ha ehelyett mindkét oldalból kivonjuk a 3x-ot)

\(\begin{align} 3x+5\color{vörös}{+2x} &=-2x-3\color{vörös}{+2x}\\ 5x+5& =-3\end{align}\)

Továbbra is megoldhatjuk, ahogy a többi kétlépéses egyenletnél tettük.

\(\begin{align}5x+5\color{vörös}{-5} &=-3\color{vörös}{-5}\\ 5x &=-8\\\ \dfrac{5x}{\color{vörös}{5}}}&=\dfrac{-8}{\color{vörös}{5}}\\ x &= \dfrac{-8}{5}{5} \\\ &=\boxed{-\dfrac{8}{5}}}\end{align}\)

Check

Ez egy nehéz feladat volt, ezért ne felejtsd el ellenőrizni a válaszodat, hogy nem követtél-e el hibát. Ehhez meg kell győződnöd arról, hogy a következő állítás igaz:

\(3\left(-\dfrac{8}{5}+2\right)-1=\left(-\dfrac{8}{5}\right)-3\left(-\dfrac{8}{5}+1\right)\)

(Megjegyzés: működik – de a zárójelekkel nagyon kell vigyázni!)

Végtelen sok megoldás és nincs megoldás

Vannak esetek, amikor követjük az összes fenti lépést, és egy nagyon furcsa megoldás jön ki. Például, ha a \(x+2=x+2\) egyenletet a fenti lépésekkel oldjuk meg, a végén \(0=0\) lesz. Ez bizonyára igaz, de mire jó ez?

Ha egy ilyen állítást kapsz, az azt jelenti, hogy az egyenletnek végtelen sok megoldása van. Bármelyik \(x\), amit csak el tudsz képzelni, kielégíti a \(x+2=x+2\) egyenletet. A megfelelő válasz ebben az esetben a “végtelen sok megoldás”.

A másik helyzet akkor áll elő, amikor egy egyenletet olyan állítássá egyszerűsítünk, amely soha nem igaz, például \(3=4\) vagy \(0=1\). Ez történik az \(x+5=x-7\) egyenlet esetében, ami \(5= -7\) egyenlethez vezet, ami biztosan soha nem igaz. Ez azt jelenti, hogy egyetlen \(x\) sem elégíti ki ezt az egyenletet. Más szóval “nincs megoldás”. Összefoglalva:

• Ha olyan állítást kapunk, amely mindig igaz, mint például \(5 = 5\) vagy \(0 = 0\), akkor végtelen sok megoldás létezik.
• Ha olyan állítást kapunk, amely mindig hamis, mint például \(10 = 11\) vagy \(1 = 5\), akkor nincs megoldás.

Összefoglaló

A lineáris egyenletek megoldása a változó elkülönítéséről szól. Az egyenlettől függően ez akár egyetlen lépést, akár több lépést is igénybe vehet. Mindig ellenőrizd, hogy először egyszerűsítened kell-e az egyenlet egyik vagy mindkét oldalát, és mindig ellenőrizd a válaszodat.

Iratkozz fel hírlevelünkre!

Folyamatosan új ingyenes leckéket teszünk közzé, és újabb tanulási útmutatókat, számológépes útmutatókat és feladatcsomagokat adunk hozzá.

Iratkozzon fel, hogy alkalmanként (pár-három hetente egyszer) e-mailben értesüljön az újdonságokról!