Gompertz-függvény

Gompertz-görbeEdit

A népességbiológia különösen a Gompertz-függvénnyel foglalkozik. Ez a függvény különösen hasznos egy bizonyos populáció gyors növekedésének leírására, miközben képes számot adni az esetleges horizontális aszimptotáról is, miután a teherbíró képesség (plató sejt/populációszám) meghatározásra került.

Ez a következőképpen modellezhető:

N ( t ) = N 0 exp ( ln ( N I / N 0 ) ( 1 – exp ( – b t ) ) ) ) {\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}

hol:

• t az idő
• N0 a kezdeti sejtmennyiség
• NI a plató sejt/populáció száma
• b a daganat növekedésének kezdeti sebessége

Ez a függvény a plató sejtszám figyelembevétele miatt hasznos a valós populációdinamika pontos utánzására. A függvény a szigmoid függvényhez is ragaszkodik, amely a legszélesebb körben elfogadott konvenció egy populáció növekedésének általános részletezésére. Ezen túlmenően a függvény felhasználja a kezdeti növekedési sebességet, amely gyakran megfigyelhető a baktérium- és rákos sejtek populációiban, amelyek a log-fázison mennek keresztül, és gyorsan növekszik a számuk. Népszerűsége ellenére a tumor növekedésének kezdeti sebessége függvényt nehéz előre meghatározni, tekintettel a betegnél jelenlévő változó mikrokozmoszokra, vagy a populációbiológia esetében változó környezeti tényezőkre. A daganatos betegeknél olyan tényezők, mint az életkor, a táplálkozás, az etnikai hovatartozás, a genetikai hajlam, az anyagcsere, az életmód és az áttétképződés eredete szerepet játszanak a tumor növekedési sebességének meghatározásában. A teherbíró képesség is várhatóan változik e tényezők alapján, így az ilyen jelenségek leírása nehézségekbe ütközik.

Anyagcsere-görbeSzerkesztés

A metabolikus függvény elsősorban a szervezeten belüli anyagcsere sebességének számbavételével foglalkozik. Ez a függvény alkalmazható a daganatos sejtek megfigyelésére; az anyagcsere-ráta dinamikus és nagymértékben rugalmas, így pontosabbá teszi a rákos sejtek növekedésének részletezését. Az anyagcsere-görbe figyelembe veszi azt az energiát, amelyet a szervezet a szövetek fenntartása és létrehozása során biztosít. Ez az energia anyagcserének tekinthető, és egy meghatározott mintát követ a sejtosztódás során. Az energiamegőrzés felhasználható az ilyen növekedés modellezésére, függetlenül az eltérő tömegektől és fejlődési időktől. Minden taxon hasonló növekedési mintázatot mutat, és ez a modell ennek eredményeképpen figyelembe veszi a sejtosztódást, amely a daganat kialakulásának alapja.

B = ∑ C ( N C B C ) + ( E C d N C d t ) {\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)}

• B = a szervezet nyugalmi állapotban felhasznált energiája
• NC = az adott szervezetben lévő sejtek száma
• BC= az egyes sejtek anyagcseréje
• NCBC= a meglévő sejtek fenntartásához szükséges energia. szövetek fenntartásához
• EC= az egyedi sejtből új szövetek létrehozásához szükséges energia

A nyugalmi állapotban felhasznált energia és az anyagcsere-munka közötti különbségtétel lehetővé teszi, hogy a modell pontosabban meghatározza a növekedés ütemét. A nyugalmi állapotban lévő energia alacsonyabb, mint a szövet fenntartásához felhasznált energia, és együttesen jelentik a meglévő szövet fenntartásához szükséges energiát. E két tényező használata az új szövetek létrehozásához szükséges energiával együtt átfogóan feltérképezi a növekedés ütemét, és ráadásul a késleltetési fázis pontos ábrázolásához vezet.

Daganatok növekedéseSzerkesztés

Az 1960-as években A.K. Laird először használta sikeresen a Gompertz-görbét a daganatok növekedésére vonatkozó adatok illesztésére. A tumorok valójában olyan sejtpopulációk, amelyek egy olyan zárt térben növekednek, ahol a tápanyagok hozzáférhetősége korlátozott. A daganat méretét X(t)-ként jelölve a Gompertz-görbét célszerű a következőképpen felírni:

X ( t ) = K exp ( log ( X ( 0 ) K ) exp ( – α t ) ) ) {\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)}

hol:

• X(0) a daganat mérete a kezdő megfigyelési időpontban;
• K a teherbíró képesség, i.azaz a maximális méret, amelyet a rendelkezésre álló tápanyagokkal el lehet érni. Valójában ez a következő:
  lim t → + ∞ X ( t ) = K {\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}

  

függetlenül X(0)>0. Vegyük észre, hogy terápiák hiányában stb. általában X(0)<K, míg terápiák jelenlétében X(0)>K lehet;

• α a sejtek proliferációs képességével kapcsolatos konstans.
• log() a természetes logra utal.

Mutatható, hogy az X(t) dinamikáját a Gompertz-differenciálegyenlet szabályozza:

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}

azaz lebontva a következő alakú:

X ′ ( t ) = F ( X ( t ) ) ) X ( t ) , ahol F ′ ( X ) ≤ 0 , {\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,}

F(X) a sejtpopuláció pillanatnyi proliferációs rátája, amelynek csökkenő jellege a sejtpopuláció növekedése miatt a tápanyagokért folyó versengésnek köszönhető, hasonlóan a logisztikus növekedési ütemhez. Van azonban egy alapvető különbség: a logisztikus esetben kis sejtpopuláció esetén a szaporodási ráta véges:

F ( X ) = α ( 1 – ( X K ) ν ) ⇒ F ( 0 ) = α < + ∞ {\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }

mivel a Gompertz esetben a szaporodási ráta korlátlan:

lim X → 0 + F ( X ) = lim X → 0 + α log ( K X ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}}\right)=+\infty }

Amint Steel és Wheldon is észrevette, a sejtpopuláció proliferációs rátáját végső soron a sejtosztódási idő korlátozza. Ez tehát bizonyíték lehet arra, hogy a Gompertz-egyenlet nem alkalmas a kis tumorok növekedésének modellezésére. Sőt, újabban azt is észrevették, hogy az immunrendszerrel való kölcsönhatást is figyelembe véve a Gompertz és más, korlátlan F(0)-val jellemezhető törvények kizárnák az immunfelügyelet lehetőségét.

A Fornalski et al. elméleti tanulmánya megmutatta a Gompertz-görbe biofizikai alapjait a rák növekedésére, kivéve a nagyon korai fázist, ahol a parabolikus függvény megfelelőbb. Azt is megállapították, hogy a Gompertz-görbe írja le a legjellemzőbb esetet a rákdinamikai függvények széles családja közül.

Gompertz növekedés és logisztikus növekedésSzerkesztés

A Gompertz differenciálegyenlet

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}

az általánosított logisztikus differenciálegyenlet

X ′ ( t ) = α ν ( 1 – ( X ( t ) K ) 1 ν ) határesete. X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)}

(ahol ν > 0 {\displaystyle \nu >0}

egy pozitív valós szám), mivel

lim ν → + ∞ ν ( 1 – x 1 / ν ) = – log ( x ) {\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}

.

Ezeken kívül, van egy inflexiós pont az általánosított logisztikus függvény grafikonján, amikor

X ( t ) = ( ν ν + 1 ) ν K {\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K}

és egy a Gompertz-függvény grafikonján, amikor

X ( t ) = K e = K ⋅ lim ν → + ∞ ( ν ν ν + 1 ) ν {\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }}}

.

COVID-19 fertőzési pálya modellezéseSzerkesztés

Általánosított logisztikus függvény (Richards növekedési görbe) a járványügyi modellezésben

A COVID-19 fertőzési pályák modellezésében széles körben használják az általánosított logisztikus függvényt, más néven a Richards növekedési görbét. A fertőzési trajektória a fertőzött esetek kumulatív számának napi idősoros adatai egy tárgyra, például országra, városra, államra stb. vonatkozóan. A szakirodalomban vannak változatos átparaméterezések: az egyik gyakran használt forma a

f ( t ; θ 1 , θ 2 , θ 3 , ξ ) = θ 1 1 / ξ {\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{^{1/\xi }}}}

hol θ 1 , θ 2 , θ 3 {\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}}

valós számok, és ξ {\displaystyle \xi }

egy pozitív valós szám. Az f görbe rugalmassága {\displaystyle f}

a ξ {\displaystyle \xi } paraméternek köszönhető.

: i) ha ξ = 1 {\displaystyle \xi =1}

akkor a görbe a logisztikus függvényre redukálódik, és (ii) ha ξ {\displaystyle \xi }

nullához konvergál, akkor a görbe a Gompertz-függvényhez konvergál. A járványügyi modellezésben θ 1 {\displaystyle \theta _{1}}

, θ 2 {\displaystyle \theta _{2}}

, és θ 3 {\displaystyle \theta _{3}}

a járvány végső méretét, a fertőzési rátát, illetve a késleltetési fázist jelentik. Lásd a jobb oldali panelen egy példa a fertőzési pályát, amikor ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) {\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}

a ( 10 , 000 , 0.2 , 40 ) {\displaystyle (10,000,0.2,40)} jelöli.

.

A COVID-19 által súlyosan érintett 40 ország extrapolált fertőzési pályái és a nagy (populációs) átlag május 14-ig

A növekedési függvény, például az általánosított logisztikus függvény használatának egyik előnye a járványügyi modellezésben, hogy viszonylag könnyen kiterjeszthető a többszintű modell keretrendszerére azáltal, hogy a növekedési függvényt több alany (ország) fertőzési pályáinak leírására használják, városok, államok stb.). Lásd a fenti ábrát. Az ilyen modellezési keretet széles körben nevezhetjük nemlineáris vegyes hatású modellnek vagy hierarchikus nemlineáris modellnek is.

A növekedés Gomp-ex törvényeSzerkesztés

A fenti megfontolások alapján Wheldon a daganatok növekedésének matematikai modelljét, az úgynevezett Gomp-ex modellt javasolta, amely kissé módosítja a Gompertz-törvényt. A Gomp-Ex modellben feltételezik, hogy kezdetben nincs verseny az erőforrásokért, így a sejtpopuláció az exponenciális törvényt követve növekszik. Van azonban egy kritikus méretküszöb X C {\displaystyle X_{C}}

úgy, hogy X > esetén X C {\displaystyle X>X_{C}}

. Az a feltételezés, hogy nincs verseny az erőforrásokért, a legtöbb forgatókönyvben igaz. Ezt azonban befolyásolhatják korlátozó tényezők, ami szükségessé teszi az altényezők változóinak létrehozását.

a növekedés a Gompertz-törvényt követi:

F ( X ) = max ( a , α log ( K X ) ) ) {\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)}

tehát:

X C = K exp ( – a α ) . {\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).}

Itt van néhány numerikus becslés X C {\displaystyle X_{C}} számára.