Egyensúlyi pont

Az x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}\\in \mathbb {R} ^{n}}

a d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x}\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )} }

if f ( t , x ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }

minden t-re {\displaystyle t}

.

Hasonlóképpen, az x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}

a különbségegyenlet x k + 1 = f ( k , x k ) {\textstyle \mathbf {x} egyensúlyi pontja (vagy fixpontja). _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}

if f ( k , x ~ ) = x ~ {\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}

for k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots }

.

Az egyensúlyok osztályozhatók az egyensúlyok körüli egyenletek linearizálásának sajátértékeinek előjelét vizsgálva. Vagyis a Jacobi-mátrixnak a rendszer minden egyes egyensúlyi pontján történő kiértékelésével, majd az így kapott sajátértékek megtalálásával az egyensúlyok kategorizálhatók. Ezután a rendszer viselkedése az egyes egyensúlyi pontok szomszédságában minőségileg meghatározható (vagy bizonyos esetekben akár mennyiségileg is meghatározható) az egyes sajátértékekhez tartozó sajátvektor(ok) megkeresésével.

Egy egyensúlyi pont hiperbolikus, ha egyik sajátértéknek sincs nulla valós része. Ha minden sajátértéknek negatív valós része van, akkor az egyensúlyi pont egy stabil egyenlet. Ha legalább egynek pozitív reálrésze van, az egyensúlyi pont instabil csomópont. Ha legalább egy sajátértéknek negatív valós része van, és legalább egynek pozitív valós része, akkor az egyensúlyi helyzet egy nyeregpont.