Does 1+2+3… Tényleg egyenlő -1/12?

Egy, a hónap elején közzétett Numberphile videó azt állítja, hogy az összes pozitív egész szám összege -1/12.

Általában rajongok a Numberphile csapatáért, akik nagyszerű munkát végeznek a matematika izgalmassá és érthetővé tételében, de ez a videó csalódást okozott nekem. Van értelme a -1/12-es számot az 1+2+3+3+4… sorozathoz társítani, de szerintem félrevezető a sorozat összegének nevezni. Ráadásul a bemutatás módja hozzájárul ahhoz a tévhithez, amivel matematikaoktatóként gyakran találkozom, hogy a matematikusok minden látható ok nélkül önkényesen változtatják a szabályokat, és a diákoknak nincs reményük arra, hogy tudják, mi megengedett és mi nem egy adott helyzetben. Dr. Skyskull fizikus egy erről a videóról szóló bejegyzésében azt írja: “a lakosság lehangolóan nagy része automatikusan azt feltételezi, hogy a matematika valami nem intuitív, bizarr varázslat, amit csak a szuperintelligensek képesek megérteni. Egy ilyen őrült eredmény minősítés nélküli bemutatása csak megerősíti ezt a nézetet, és véleményem szerint rossz szolgálatot tesz a matematikának.”

Az összeadás egy bináris művelet. Két számot teszel be, és egy számot kapsz ki. De ki lehet terjeszteni több számra is. Ha van például három számod, amit össze akarsz adni, akkor először bármelyik kettőt összeadhatod közülük, majd az így kapott összeghez hozzáadhatod a harmadikat. Ezt bármilyen véges számú összeadandóra folytathatjuk (és az aritmetika törvényei szerint ugyanazt a választ kapjuk, függetlenül attól, hogy milyen sorrendben adjuk össze őket), de amikor végtelen számú tagot próbálunk összeadni, választanunk kell, hogy mit jelent az összeadás. A végtelen összeadás kezelésének leggyakoribb módja a határérték fogalmának használata.

Gyakorlatilag azt mondjuk, hogy egy végtelen sorozat összege egy L szám, ha ahogy egyre több és több tagot adunk hozzá, egyre közelebb kerülünk az L számhoz. Ha L véges, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük. Egy példa a konvergens sorozatra: 1/2+1/4+1/8+1/16…. Ez a sorozat az 1 számhoz konvergál. Könnyű belátni, hogy miért: az első tag után félúton vagyunk az 1 felé. A második tag után a hátralévő távolság felénél vagyunk az 1-hez, és így tovább.

Zeno paradoxona azt mondja, hogy valójában soha nem fogunk eljutni 1-ig, de a határérték szempontjából olyan közel kerülhetünk hozzá, amennyire csak akarunk. Ez az “összeg” definíciója, amire a matematikusok általában gondolnak, amikor végtelen sorozatokról beszélnek, és ez alapvetően megegyezik az “összeg” és az “egyenlő” szavak intuitív definíciójával.”

De nem minden sorozat konvergens ebben az értelemben (a nem konvergens sorozatokat divergensnek nevezzük). Néhány, mint például 1-1+1-1-1…, ugrálhat különböző értékek között, ahogy folyamatosan újabb tagokat adunk hozzá, és néhány, mint például 1+2+3+4…, tetszőlegesen nagyra nőhet. Elég egyértelmű tehát, hogy a sorozat konvergenciájának határérték definícióját használva az 1+2+3+3… összeg nem konvergál. Ha azt mondanám: “Azt hiszem, ennek a sorozatnak a határértéke valamilyen L véges szám”, akkor könnyen kitalálhatnám, hány tagot kell hozzáadni ahhoz, hogy az L szám fölé kerüljek, amennyire csak akarom.

A -1/12-es számot értelmes módon lehet társítani az 1+2+3… sorozathoz, de én inkább nem nevezném -1/12-t a pozitív egész számok “összegének”. A probléma megoldásának egyik módja az analitikus folytatás gondolata a komplex analízisben.

Tegyük fel, hogy van egy f(z) függvényünk, amely valahol a komplex síkban definiált. Nevezzük a tartományt, ahol a függvény definiált, U-nak. Kitalálhatjuk, hogyan konstruálhatunk egy másik függvényt F(z), amely egy nagyobb tartományban definiált, úgy, hogy f(z)=F(z) mindig akkor, amikor z az U-ban van. Tehát az új F(z) függvény mindenhol, ahol f(z) definiált, megegyezik az eredeti f(z) függvénnyel, és az f(z) tartományán kívüli pontokban is definiált. Az F(z) függvényt f(z) analitikus folytatásának nevezzük. (“A” a megfelelő szócikk, mert egy függvény analitikus folytatása egyedi.)

Az analitikus folytatás azért hasznos, mert a komplex függvényeket gyakran definiálják végtelen sorozatként a z változót bevonva. A legtöbb végtelen sorozat azonban csak z bizonyos értékeire konvergál, és jó lenne, ha a függvényeket több helyen is definiálhatnánk. Egy függvény analitikus folytatása meghatározhatja a függvény értékeit azon a területen kívül, ahol a végtelen sorozat definíciója konvergál. Azt mondhatjuk, hogy 1+2+3…=-1/12, ha egy függvény analitikus folytatását utólagosan hozzáillesztjük az eredeti végtelen sorozat definíciójához, amihez egy Lucille Bluth-stílusú kacsintás kell.

A szóban forgó függvény a Riemann-féle zétafüggvény, amely a prímszámok eloszlásával kapcsolatos kérdésekkel való mély kapcsolatáról híres. Ha s valós része nagyobb, mint 1, a Riemann-zétafüggvény ζ(s) definíciója szerint Σ∞n=1n-s. (A komplex függvényben a változóra általában a z betűt használjuk. Ebben az esetben az s-t használjuk Riemann tiszteletére, aki egy 1859-es tanulmányában definiálta a zéta-függvényt). Ez a végtelen sorozat nem konvergál, ha s=-1, de láthatjuk, hogy ha s=-1-et teszünk be, akkor 1+2+3…. kapunk. A Riemann-féle zétafüggvény ennek a függvénynek az analitikus folytatása a teljes komplex síkra, mínusz az s=1 pont. Ha s=-1, akkor ζ(s)=-1/12. Ha egyenlőségjelet ragasztunk ζ(-1) és a függvényt a komplex sík néhány más részén meghatározó formális végtelen sorozat közé, akkor azt az állítást kapjuk, hogy 1+2+3…=-1/12.

Az analitikus folytatás nem az egyetlen módja annak, hogy a -1/12 számot az 1+2+3 sorozathoz társítsuk….. Egy nagyon jó, mélyreható magyarázatot találsz egy olyan módszerről, ami nem igényel bonyolult analízist – házi feladatokkal kiegészítve -, nézd meg Terry Tao bejegyzését a témában.

A Numberphile videó azért zavart, mert volt lehetőségük beszélni arról, hogy mit jelent értéket rendelni egy végtelen sorozathoz, és elmagyarázni ennek különböző módjait. Ha már tudsz egy kicsit a témáról, akkor megnézheted a videót és egy hosszabb kapcsolódó videót a témáról, és elkaphatsz ízelítőket arról, hogy miről is van szó valójában. De a videó “wow” faktorát az adja, hogy semmi értelme annak, hogy egy csomó pozitív szám összege egy negatív szám, ha a nézők azt feltételezik, hogy az “összeg” azt jelenti, amit ők gondolnak.”

Ha a Numberphiles kifejezőbben szólt volna a számok sorozathoz rendelésének alternatív módjairól, többet tehettek volna annál, hogy az emberek azt higgyék, a matematikusok állandóan változtatják a szabályokat. A videó végén Brady Haran producer megkérdezi Tony Padilla fizikust, hogy ha örökké egész számokat adnál össze a számológépeden, és a végén megnyomnád az “egyenlő” gombot, akkor -1/12-t kapnál. Padilla szemtelenül azt mondja: “A végtelenig kell menned, Brady!”. De a válasznak így kellett volna hangzania: “Nem!” Itt szerintem elszalasztották a lehetőséget, hogy tisztázzák, hogy a végtelen sorozathoz értéket rendelnek egy alternatív módon, ami sokkal kevésbé félrevezetővé tette volna a videót.

Mások is jó dolgokat írtak a videóban szereplő matematikáról. Egy túlságosan hiszékeny Slate blogbejegyzés után Phil Plait írt egy sokkal higgadtabb magyarázatot arról, hogy milyen különböző módokon lehet értéket rendelni egy sorozathoz. Ha szeretnéd magad kidolgozni a “bizonyítás” részleteit, John Baez megadja neked. Blake Stacey és Dr. Skyskull arról ír, hogyan lehet hasznos a fizikában, ha a pozitív egész számok összegét a -1/12 számmal helyettesítjük. Richard Elwes egy végtelen sorozatokra vonatkozó “egészségügyi és biztonsági figyelmeztetést” tesz közzé, amely régi kedvencemet, a harmonikus sorozatot érinti. Szerintem jó, hogy elszaporodtak a viták arról, hogy mit jelent ez a végtelen sorozat, még akkor is, ha bárcsak több ilyen vita lett volna a videóban, amelyet eddig több mint egymillióan néztek meg a YouTube-on!