Complexity Analysis of a Cournot-Bertrand Duopoly Game Model with Limited Information
On november 23, 2021 by adminAbstract
A Cournot-Bertrand vegyes duopoljáték modellje korlátozott információval a piacról és az ellenfélről, ahol a piac lineáris kereslettel rendelkezik, és a két cégnek ugyanaz a fix határköltsége. A döntéshozatali elvek korlátozottan racionálisak. Az egyik cég a kibocsátást, a másik pedig az árat választja döntési változónak, azzal a feltételezéssel, hogy a cégek által kínált termékek között bizonyos fokú differenciálódás van annak elkerülése érdekében, hogy az egész piacot az foglalja el, amelyik alacsonyabb árat alkalmaz. A Nash-egyensúlyi pont létezését és a játék helyi stabilitását vizsgáljuk. Az összetett dinamikát, például a bifurkációs forgatókönyveket és a káoszhoz vezető utat paramétermedencei ábrák segítségével, numerikus kísérletekkel mutatjuk be. A paramétereknek a rendszer teljesítményére gyakorolt hatását közgazdasági szempontból tárgyaljuk.
1. Bevezetés
Az oligopólium a monopólium és a tökéletes verseny közötti piaci struktúra, amelyben a piacot teljes mértékben csak néhány, azonos vagy homogén termékeket előállító cég ellenőrzi. Ha két cég van, akkor duopóliumnak, míg ha három versenytárs van, akkor triopóliumnak nevezzük.
Cournot oligopólium és Bertrand oligopólium az oligopóliumelmélet két legjelentősebb modellje. A Cournot-modellben a vállalatok ellenőrzik termelési szintjüket, ami befolyásolja a piaci árat, míg a Bertrand-modellben a vállalatok választják meg a termékegység árát, hogy befolyásolják a piaci keresletet.
A szakirodalom nagy része foglalkozik az oligopolisztikus piac Cournot vagy Bertrand versenyével , de csak lényegesen kevesebb munka foglalkozik a Cournot-Bertrand versennyel, amelyre jellemző, hogy a piac két cégcsoportra osztható, amelyek közül az első optimálisan állítja be az árakat, a másik pedig optimálisan állítja be a termelését a maximális profit biztosítása érdekében .
A Cournot-Bertrand modell létezik a reális gazdaságban. Például duopóliumos piacon az egyik cég erőfölényben van, és a kibocsátást választja döntési változónak, míg a másik cég hátrányban van, és az árat választja döntési változónak, hogy nagyobb piaci részesedést szerezzen. Mint eddig tudtuk, Bylka és Komar, valamint Singh és Vives az első szerzők, akik olyan duopóliumokat elemeztek, ahol az egyik vállalat a mennyiségek, a másik pedig az árak alapján versenyez. Häckner , Zanchettin és Arya et al. rámutatott, hogy bizonyos esetekben a Cournot-Bertrand verseny optimális lehet. A közelmúltban C. H. Tremblay és V. J. Tremblay elemezte a termékdifferenciálás szerepét a Cournot-Bertrand duopólium Nash-egyensúlyának statikus tulajdonságai szempontjából. Naimzada és Tramontana egy Cournot-Bertrand duopólium modellt vizsgált, amelyet lineáris differenciálegyenletek jellemeznek. Elemezték a legjobb válasz dinamikájának és az adaptív alkalmazkodási mechanizmusnak az egyensúly stabilitásában játszott szerepét is.
Ebben a dolgozatban egy Cournot-Bertrand duopólium modellt állítunk fel, feltételezve, hogy két cég választja a kibocsátást, illetve az árat döntési változónak, és mindannyian korlátozott racionális várakozásokkal rendelkeznek. A játékrendszer nemlineáris differenciálegyenletekkel írható le, ami módosítja és kiterjeszti Naimzada és Tramontana eredményeit, amelyek statikus várakozásokkal rendelkező és lineáris differenciálegyenletekkel leírt cégeket tekintettek. A kutatás jó útmutatást nyújt a vállalati döntéshozók számára a legjobb döntéshozatalhoz.
A dolgozat felépítése a következő: A 2. szakaszban a Cournot-Bertrand játékmodell korlátos racionális várakozásokkal kerül ismertetésre. A 3. szakaszban az egyensúlyi pontok létét és stabilitását vizsgáljuk. A 4. szakaszban numerikus szimulációkkal vizsgáljuk a dinamikus viselkedést a játék egyes irányítási paramétereinek változása esetén. Végül az 5. szakaszban következtetést vonunk le.
2. A Cournot-Bertrand játékmodell korlátolt racionális várakozásokkal
Tekintsünk egy piacot, amelyet két cég szolgál ki, és a cég a , árut termel. A termékek között bizonyos fokú differenciálódás van és . Az 1. cég a Cournot duopóliumhoz hasonlóan versenyez a kibocsátásban, míg a 2. cég a Bertrand-ügyhöz hasonlóan rögzíti az árát. Tegyük fel, hogy a vállalatok egyidejűleg hozzák meg stratégiai döntéseiket, és mindegyik vállalat ismeri a másik vállalat termelését és árát.
Az 1. és 2. fajtájú termékek inverz keresleti függvényei a következő hasznossági függvény reprezentatív fogyasztó általi maximalizálásából származnak: költségvetési korlát mellett és a következő egyenletek adják (a részletes bizonyítást lásd ): ahol a paraméter a termékdifferenciálás vagy termékhelyettesítés indexét jelöli. A termékdifferenciálás mértéke növekszik, ha . A termékek és homogének, ha , és minden vállalat monopolista, ha , míg a negatív érték azt jelenti, hogy a termékek kiegészítik egymást. Tegyük fel, hogy a két vállalat határköltsége megegyezik , és a költségfüggvény lineáris alakú: A keresleti rendszert felírhatjuk a két stratégiai változóban, és : Az 1. és 2. cég profitfüggvényei a következő formájúak:
Feltételezzük, hogy a két cég nem rendelkezik teljes ismerettel a piacról és a másik szereplőről, és döntéseiket a várható határnyereség alapján hozzák meg. Ha a határnyereség pozitív (negatív), akkor a következő időszakban növelik (csökkentik) termelésüket vagy árukat; vagyis korlátoltan racionális szereplők . Ekkor a Cournot-Bertrand vegyes dinamikus rendszer a nemlineáris differenciálegyenletekkel írható le: ahol és jelöli a két játékos alkalmazkodási sebességét az egyes kapcsolatokban.
3. Egyensúlyi pontok és lokális stabilitás
A (6) rendszernek négy egyensúlyi pontja van: ahol , . , , , és a peremegyensúlyi pontok, és az az egyetlen Nash-egyensúlyi pont, feltéve, hogy és , ami megköveteli . Ellenkező esetben egy cég kiszáll a piacról.
Az egyensúlyi pontok lokális stabilitásának vizsgálatához legyen a (6) rendszer Jacobi-mátrixa az állapotváltozóknak megfelelő , akkor ahol , . Az egyensúlyi pontok stabilitását a Jacobi-mátrix megfelelő egyensúlyi pontokban kiértékelt egyensúlyi sajátértékeinek jellege fogja meghatározni.
1. tétel. A (6) rendszer határegyenletpontjai , , és instabil egyensúlyi pontok, ha .
Bizonyítás. Egyensúlyi állapot esetén , a (6) rendszer Jacobi-mátrixa egyenlő Ezek az egyensúlyi állapotnak megfelelő sajátértékek a következők:
Ezeken kívül a Jacobi-mátrix háromszögmátrixszá válik Ezek a sajátértékek, amelyek megfelelnek az egyensúlyi pontnak, a következők: Nyilvánvalóan , akkor az egyensúlyi pont instabil.
Ezek a sajátértékek, amelyek megfelelnek az egyensúlyi pontnak, a következők: Ha , nyilvánvalóan . Tehát az egyensúlyi pont instabil. Hasonlóképpen bebizonyíthatjuk, hogy szintén instabil.
Gazdasági szempontból jobban érdekel bennünket a Nash-egyensúlyi pont helyi stabilitási tulajdonságainak vizsgálata , amelynek tulajdonságait mélyen elemezték a .
A Nash-egyensúlyi pontban kiértékelt Jacobi-mátrix a következő
A nyomvonalát és determinánsát a következőképpen jelöljük: és , illetve . A , , és , pont tekintetében most már nehezebb explicit módon kiszámítani a sajátértékeket, de a Nash-egyensúlyi pont stabilitását még mindig ki lehet értékelni a következő stabilitási feltételek, az úgynevezett Jury-feltételek segítségével : A fenti egyenlőtlenségek meghatározzák azt a területet, amelyben a Nash-egyensúlyi pont lokálisan stabil. A stabilitási régiót numerikus szimulációk segítségével is megismerhetjük. A (6) rendszer komplex dinamikájának tanulmányozásához célszerű a paraméterek értékeit az alábbiak szerint venni: Az 1. ábra a paraméterek síkjában mutatja a stabilitási és instabilitási régiókat. Az ábrából megállapíthatjuk, hogy a túl nagy beállítási sebesség miatt a Nash-egyensúlyi pont elveszíti stabilitását. Azt is megállapítjuk, hogy az ár kiigazítási sebessége érzékenyebb, mint a kibocsátás sebessége, és amikor körülbelül , a Nash-egyensúlyi pont elveszíti stabilitását, míg körülbelül a Nash-egyensúlyi pont ezt teszi.
A stabilitási és instabilitási régió.
4. ábra. A paraméterek hatása a rendszer stabilitására
A paramétermedencei ábrák (más néven 2D bifurkációs diagramok) hatékonyabb eszköz a nemlineáris dinamika numerikus elemzésében, mint az 1D bifurkációs diagramok , amely a 2D paramétertérben különböző színeket rendel a különböző periódusú stabil ciklusokhoz. Ebben a szakaszban a paramétermedence-ábrák segítségével elemezzük a játékosok alkalmazkodási sebességének és a termékdifferenciálási indexnek a rendszer stabilitására gyakorolt hatását. Beállítjuk, és a kezdeti értékeket .
4,1-nek választjuk. A játékosok alkalmazkodási sebességének hatása a rendszer stabilitására
A 2. ábra a paramétermedencét mutatja be a paraméterek tekintetében, amikor és különböző színeket rendel a stabil állandósult állapotokhoz (sötétkék); a 2. (világoskék), 4. (lila) és 8. (zöld) periódusú stabil ciklusok (az első négy ciklus a káoszhoz vezető periódusduplázódási bifurkációs úton) és a 3. (piros), 5. (narancs) és 7. (rózsaszín) periódusok (páratlan periódusú alacsony rendű stabil ciklusok); a káosz (sárga); a divergencia (fehér) (ami azt jelenti, hogy az egyik játékos kiesik a piacról a közgazdaságtanban).
A paramétermedence a .
Megállapíthatjuk, hogy amikor a paraméterek áthaladnak a fekete nyilakkal jelölt határokon és , a (6) rendszer elveszíti stabilitását flip bifurkáción keresztül (folytonos rendszerben perióduskettős bifurkációnak nevezik), amint azt a 3. és 4. ábra mutatja. De amikor a paraméterek átlépik a határokat, mint a nyíl , a rendszer dinamikus viselkedése bonyolultabb, és először Neimark-Sacker bifurkáción keresztül káoszba kerül (folyamatos rendszerben Hopf-bifurkációnak nevezik) , másodszor belép a 2. periódusba, majd külön-külön flip-bifurkáción keresztül káoszba fejlődik, ahogy az 5. ábrán látható. Azt is észrevesszük, hogy a sárga régióban (káosz) piros vonal és narancssárga pontok (páratlan ciklus) vannak; vagyis a káoszban szakaszos páratlan ciklus van, amint az a 3. ábrától az 5. ábrán látható. Jól ismert, hogy 1D folytonos térképek esetében a páratlan periódusú ciklus kaotikus dinamikai viselkedést (az úgynevezett topológiai káoszt) feltételez Li és Yorke híres “a 3 periódus káoszt feltételez” eredménye szerint.
Bifurkációs diagram és esetén 1,5 és 3,5 között változik.
Bifurkációs diagram az és 1,5 és 2,8 között változik.
Bifurkációs diagram az és változik 1,8-tól 2,8-ig.
A közgazdaságtan szempontjából a cégek alkalmazkodási sebességének és egy bizonyos tartományban kell lennie, különben a rendszerből előjön a ciklusingadozás, majd a káosz, ami szabálytalan, a kezdeti értékekre érzékeny, kiszámíthatatlan és rossz a gazdaság számára. Azt is megállapítjuk, hogy az állítható tartománya nagyobb, mint a , ami azt jelenti, hogy az ár kiigazítása érzékenyebb, mint a kibocsátásé, és az árháború könnyebben káoszba sodorja a piacot.
4.2. Az árháború a káoszhoz vezet. A termékdifferenciálási index hatása a rendszer stabilitására
Annak érdekében, hogy megtaláljuk a termékdifferenciálási indexnek a rendszer stabilitására gyakorolt hatását, a 6., 7., 8. és 9. ábra a , , , és külön-külön adja meg a paramétermedencéket.
A paramétermedence a .
A paramétermedence a .
A paramétermedence a .
A paramétermedence a .
Az összehasonlításból látható, hogy a sötétkék terület nagyobb lesz, a sárga terület pedig kisebb lesz a termékdifferenciálódás indexének növekedésével ; vagyis a termékdifferenciálódás mértéke kisebb lesz, és a paraméterek állítható tartománya és a rendszer stabil maradása érdekében nagyobb lesz, ami nagyobb versenyt jelent a két cég termékei között.
5 . Következtetések
Ebben a tanulmányban egy Cournot-Bertrand vegyes játékmodellt javasolunk, feltételezve, hogy a cégek nem rendelkeznek teljes információval a piacról és az ellenfélről, és a döntéseiket a saját határnyereségük alapján hozzák meg. A keresleti és költségfüggvényt lineárisnak feltételezzük, és a modell differenciálegyenletekkel írható le. A peremegyensúly mindig instabil, és elemezzük a Nash-egyensúly létezését és lokális stabilitását. Emellett elemezzük a paraméterek (az alkalmazkodási sebesség és a termékdifferenciálás indexe) hatását a rendszer stabilitására, és a különböző bifurkációkat és a káoszba vezető utakat elemezzük a paramétermedence-ábrák segítségével. A Cournot-Bertrand játékmodelleket különböző marketingkörnyezetben is figyelembe kell venni, és ez a jövőbeni tanulmányok érdekes témája lesz.
Köszönet
A szerzők köszönetet mondanak a bírálóknak a gondos olvasásért és néhány idevágó javaslatért. A kutatást a Kínai Nemzeti Természettudományi Alapítvány támogatta (no. 61273231).
Vélemény, hozzászólás?