4.3: Összenyomhatóság és expanzivitás

Kifejezés származtatása egy részleges deriváltra (I. típus): A reciprok szabály

Tekintsünk egy olyan rendszert, amelyet három változó ír le, és amelyre a változókra matematikai korlátot írhatunk

\

Egy ilyen körülmények között a rendszer állapotát csak két paramétert egymástól függetlenül változtatva adhatjuk meg, mert a harmadik paraméter fix értékű lesz. Ily módon két függvényt definiálhatnánk: \(z(x, y)\) és \(y(x,z)\).

Ez lehetővé teszi, hogy az \(dz\) és \(dy\) teljes differenciálegyenleteit a következőképpen írjuk fel

\

és

\

Az \ref{eq6} egyenlet kifejezését behelyettesítve az \ref{eq5} egyenletbe:

\ \\\ &= \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_y dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial y} \right)_x y}{\partial x} \right)_z dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz \label{eq7} \end{align}\]

Ha a rendszer egy olyan utat követő változáson megy keresztül, ahol \(x\) állandó (\(dx = 0\)), akkor ez a kifejezés egyszerűsödik

\

Azokra a változásokra, amelyekre \(dz \neq 0\),

\

Ez a reciprok szabály nagyon kényelmes a parciális deriváltak kezelésében. De levezethető egyszerű, bár kevésbé szigorú módon is. Kezdjük a \(z(x,y)\) teljes differenciáljának felírásával. (\ref{eq5} egyenlet):

\

Most osszuk el mindkét oldalt \(dz\) és szorítsuk konstansra \(x\).

\

Megjegyezzük, hogy

\

\

és

\

Az \ref{eq10} egyenletből

\

vagy

\

Ez a “formális” módszer a parciális deriváltak kezeléséhez kényelmes és hasznos, bár matematikailag nem szigorú. A termodinamikában előforduló parciális deriváltak esetében azonban működik, mivel a változók állapotváltozók, a differenciálok pedig egzaktak.