Função Gompertz

Curva de GompertzEditar

Biologia da população está especialmente preocupada com a função Gompertz. Esta função é especialmente útil na descrição do crescimento rápido de uma determinada população de organismos, sendo também capaz de contabilizar a eventual assímptota horizontal, uma vez que a capacidade de carga é determinada (número de células/população de platô).

É modelada da seguinte forma:

N ( t ) = N 0 exp ( ln ( N I / N 0 ) ( 1 – exp ( – b t ) ) ) {\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}

em qualquer lugar:

• t é o tempo
• N0 é a quantidade inicial de células
• NI é o número de células do planalto/população
• b é a taxa inicial de crescimento do tumor

Esta função consideração do número de células do planalto torna-o útil para imitar com precisão a dinâmica da população na vida real. A função também adere à função sigmóide, que é a convenção mais amplamente aceita de geralmente detalhar o crescimento de uma população. Além disso, a função faz uso da taxa de crescimento inicial, que é comumente observada em populações de células bacterianas e cancerígenas, que passam pela fase de registo e crescem rapidamente em número. Apesar da sua popularidade, a taxa de crescimento inicial da função tumoral é difícil de predeterminar, dada a variação dos microcosmos presentes no paciente, ou a variação dos factores ambientais, no caso da biologia da população. Em pacientes com câncer, fatores como idade, dieta, etnia, predisposição genética, metabolismo, estilo de vida e origem da metástase desempenham um papel na determinação da taxa de crescimento tumoral. Também se espera que a capacidade de carga mude com base nestes factores, pelo que é difícil descrever tais fenómenos.

Curva metabólicaEditar

A função metabólica está particularmente preocupada em contabilizar a taxa de metabolismo dentro de um organismo. Esta função pode ser aplicada para monitorar as células tumorais; a taxa metabólica é dinâmica e muito flexível, tornando-a mais precisa nos detalhes do crescimento do câncer. A curva metabólica leva em consideração a energia que o organismo fornece na manutenção e criação de tecidos. Esta energia pode ser considerada como metabolismo e segue um padrão específico na divisão celular. A conservação de energia pode ser usada para modelar esse crescimento, independentemente das diferentes massas e tempos de desenvolvimento. Todos os taxa compartilham um padrão de crescimento semelhante e este modelo, como resultado, considera a divisão celular, a base do desenvolvimento de um tumor.

B = ∑ C ( N C B C ) + ( E C d N C d t ) {\i1}displaystyle B==sum _{C}(N_{C}B_{C})+ esquerda(E_{C}{\i}{\i1}-operatorname {d}!N_{C} {\i}over {\i}operatorname

• B = energia que o organismo utiliza em repouso
• NC = número de células do organismo em questão
• BC= taxa metabólica de uma célula individual
• NCBC= energia necessária para manter a tecido
• EC= energia necessária para criar novo tecido a partir de uma célula individual

A diferenciação entre a energia utilizada em repouso e o trabalho metabólico permite ao modelo determinar com maior precisão a taxa de crescimento. A energia em repouso é inferior à energia utilizada para manter um tecido, e em conjunto representam a energia necessária para manter o tecido existente. A utilização destes dois fatores, juntamente com a energia necessária para criar um novo tecido, mapeia de forma abrangente a taxa de crescimento e, além disso, leva a uma representação precisa da fase de atraso.

Crescimento de tumoresEditar

Nos anos 60 A.K. Laird utilizou pela primeira vez com sucesso a curva de Gompertz para encaixar os dados de crescimento de tumores. Na verdade, os tumores são populações celulares crescendo em um espaço confinado onde a disponibilidade de nutrientes é limitada. Denotando o tamanho do tumor como X(t) é útil escrever a curva de Gompertz da seguinte forma:

X ( t ) = K exp ( log ( X ( 0 ) K ) exp ( – α t ) ) Estilo de exposição X(t)=Kexp Esquerda(-) Esquerda(-) Esquerda(-) Esquerda(-X(0)}{K}(Direita)-exp Esquerda(-alfa-direita)-Direita(-alfa-direita)-Direita(-8348>>

where:

• X(0) é o tamanho do tumor no tempo de observação inicial;
• K é a capacidade de carga, i.e. o tamanho máximo que pode ser alcançado com os nutrientes disponíveis. De facto, é:
  lim t → + ∞ X ( t ) = K {\displaystyle \lim _{\t\rightarrow +\infty }X(t)=K}

  

independentemente de X(0)>0. Note que, na ausência de terapias, etc. geralmente é X(0)<K, enquanto que, na presença de terapias, pode ser X(0)>K;

• α é uma constante relacionada com a capacidade proliferativa das células.
• log() refere-se ao log natural.

Pode ser mostrado que a dinâmica de X(t) é governada pela equação diferencial de Gompertz:

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) estilo X^{\prime ^(t)=alpha ^log ^esquerda(K}{X(t)}{X(t)}

i.e. é da forma quando decomposta:

X ′ ( t ) = F ( X ( t ) ) X ( t ) , com F ′ ( X ) ≤ 0 , {\i1}displaystyle X^{\i}(t)=F{\i1}esquerda(X(t){\i}direita)X(t),{\i}quad F^{\i}(X)leq 0,}

F(X) é a taxa de proliferação instantânea da população celular, cuja natureza decrescente se deve à competição pelos nutrientes, devido ao aumento da população celular, à semelhança da taxa de crescimento logístico. Entretanto, existe uma diferença fundamental: no caso logístico a taxa de proliferação para a pequena população celular é finita:

F ( X ) = α ( 1 – ( X K ) ν ) ⇒ F ( 0 ) = α < + ∞ F(X)=alfa F(X)=alfa esquerda(1-esquerda(1-esquerda(X}{K}}}direita)^{nu {nu }direita)^Rota F(0)=alfa <+infty }

onde no caso Gompertz a taxa de proliferação é ilimitada:

lim X → 0 + F ( X ) = lim X → 0 + α log ( K X ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)==lim _{X\rightarrow 0^{+}}}alpha \log {\frac {K}{X}} =+infty }

Como observado pelo Steel e pelo Wheldon, a taxa de proliferação da população celular é, em última instância, limitada pelo tempo de divisão celular. Assim, esta pode ser uma evidência de que a equação de Gompertz não é boa para modelar o crescimento de pequenos tumores. Além disso, mais recentemente tem sido observado que, incluindo a interação com o sistema imunológico, Gompertz e outras leis caracterizadas por F(0) sem limites excluiria a possibilidade de vigilância imunológica.

O estudo teórico de Fornalski et al. mostrou a base biofísica da curva de Gompertz para o crescimento do câncer, exceto em fase muito precoce onde a função parabólica é mais apropriada. Eles encontraram também que a curva de Gompertz descreve o caso mais típico entre a ampla família das funções da dinâmica do câncer.

Crescimento de Gompertz e crescimento logísticoEditar

A equação diferencial de Gompertz

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) estilo X^{\prime ^(t)=alpha ^log ^esquerda(K}{X(t)}{X(t)}

é o caso limite da equação diferencial logística generalizada

X ′ ( t ) = α ν ( 1 – ( X ( t ) K ) 1 ν ) X ( t ) estilo de jogo X ^prime ^(t)=alpha ^nu ^esquerda(1-esquerda(1-esquerda(1-frase) ^X(t){K}}right)^frac ^1 ^frac ^nu {1}right)X(t)}

(onde ν > 0 {\i1}displaystyle \i}nu >0}

é um número real positivo) desde

lim ν → + ∞ ν ( 1 – x 1 / ν ) = – log ( x ) {\i1}displaystyle {\i}lim _{\i}nu {\i1}rightarrow +\i}nu {\i}left(1-x^{\i}{\i}direita)=-log {\i {\i}left(x\i}direita

.

Acm disso, há um ponto de inflexão no gráfico da função logística generalizada quando

X ( t ) = ( ν ν + 1 ) ν K {\displaystyle X(t)==esquerda({\frac {\nu }{\nu +1}}} ^{\nu }K}

e uma no gráfico da função Gompertz quando

X ( t ) = K e = K ⋅ lim ν → + ∞ ( ν ν + 1 ) ν ν Tradução: Equipa PT-Subs

.

Modelagem da trajetória de infecção COVID-19Editar

Função logística generalizada (curva de crescimento Richards) na modelagem epidemiológica

Uma função logística generalizada, também chamada de curva de crescimento Richards, é amplamente utilizada na modelagem da trajetória de infecção COVID-19. A trajetória da infecção é uma série temporal diária de dados para o número cumulativo de casos infectados para um sujeito como país, cidade, estado, etc. Há re-parametrizações de variantes na literatura: uma das formas mais utilizadas é

f ( t ; θ 1 , θ 2 , θ 3 , ξ ) = θ 1 1 1 / ξ {\\\i1}f(t;}theta _{1},{\i}theta _{\i},{\i} ={\i}frac {\i}{\i}{^{1/\i }}}}

where θ 1 , θ 2 , θ 3 {\i1}theta _{\i},{\i}theta _{\i},{\i}theta _{\i}

são números reais, e ξ {\displaystyle \xi }

é um número real positivo. A flexibilidade da curva f {\i1}displaystyle f

deve-se ao parâmetro ξ {\i}displaystyle {\i}

: (i) if ξ = 1 {\i1}displaystyle \i =1}

então a curva se reduz à função logística, e (ii) se ξ {\i}displaystyle {\i}

converge para zero, depois a curva converge para a função Gompertz. Na modelagem epidemiológica, θ 1 {{\i1}displaystyle {\i}theta _{\i}}

, θ 2 {\i1}displaystyle {\i}theta _{\i}

, e θ 3 {{\i1}displaystyle {\i}theta _{\i}

representam o tamanho final da epidemia, a taxa de infecção e a fase de atraso, respectivamente. Veja o painel direito para uma trajetória de infecção no exame quando ( θ 1 , θ 2 , θ 3 )

são designados por ( 10 , 000 , 0.2 , 40 ) {\i1}displaystyle (10,000,0.2,40)}

.

Trajetórias de infecção extrapolada de 40 países severamente afetados pela COVID-19 e média (população) até 14 de maio

Um dos benefícios do uso da função de crescimento, como a função logística generalizada na modelagem epidemiológica, é sua expansão relativamente fácil para a estrutura do modelo multinível, usando a função de crescimento para descrever as trajetórias de infecção de múltiplos sujeitos (países, cidades, estados, etc.). Veja a figura acima. Tal estrutura de modelagem também pode ser amplamente chamada de modelo não-linear de efeitos mistos ou modelo hierárquico não-linear.

Gomp-ex lei de crescimentoEditar

Com base nas considerações acima, Wheldon propôs um modelo matemático de crescimento tumoral, chamado de modelo Gomp-Ex, que modifica ligeiramente a lei de Gompertz. No modelo Gomp-Ex assume-se que inicialmente não há competição por recursos, de modo que a população celular se expande seguindo a lei exponencial. Entretanto, existe um limiar de tamanho crítico X C {\displaystyle X_{C}}.

tal que para X > X C {\i1}displaystyle X>X_{C}}

. A suposição de que não há competição por recursos é válida na maioria dos cenários. Ela pode, no entanto, ser afetada por fatores limitantes, o que requer a criação de variáveis subfatores.

o crescimento segue a Lei Gompertz:

F ( X ) = max ( a , α log ( K X ) ) F(X)=max Esquerda(a,a,alfa |log Esquerda(K}{X}{X}{Direita)|direita)}

so que:

X C = K exp ( – a α ) . X_{{C}=K=exp {esquerda(-{frac }{a}{alfa }direita).}

Aqui estão algumas estimativas numéricas para X C {\i1}displaystyle X_{C}}