Vecteurs orthonormaux

Qu’est-ce qu’un vecteur orthonormal?

Un vecteur est dit normal s’il a une longueur de un. Deux vecteurs sont dits orthogonaux s’ils sont à angle droit l’un par rapport à l’autre (leur produit scalaire est nul). Un ensemble de vecteurs est dit orthonormé s’ils sont tous normaux, et que chaque paire de vecteurs de l’ensemble est orthogonale.

Les vecteurs orthonormés sont généralement utilisés comme base sur un espace vectoriel. L’établissement d’une base orthonormale pour les données facilite considérablement les calculs ; par exemple, la longueur d’un vecteur est simplement la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées de ce vecteur par rapport à une certaine base orthonormale.

Décomposition QR

Une décomposition QR d’une matrice carrée réelle A est le processus consistant à trouver deux matrices Q et R telles que :

• A = QR

• Q est une matrice orthogonale

• R est une matrice triangulaire supérieure

(si A est une matrice carrée complexe, ou est une matrice rectangulaire, alors Q sera une matrice unitaire.)

Il existe un certain nombre de méthodes pour calculer la décomposition QR d’une matrice, notamment le processus de Gram-Schmidt, les transformations de Householder ou les rotations de Givens. Chaque méthode a des avantages et des inconvénients, de sorte que les implémenteurs devraient étudier attentivement chacun de ces algorithmes pour un problème donné.

La décomposition QR est souvent utilisée dans la solution du problème des moindres carrés linéaires. C’est également la base d’un algorithme de recherche de vecteurs propres, judicieusement nommé l’algorithme QR (bien qu’ironiquement, la forme moderne de l’algorithme n’implique pas réellement le calcul d’une décomposition QR !)

.