Point d’équilibre

Le point x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x}}. }}\_in \mathbb {R} ^{n}}

est un point d’équilibre pour l’équation différentielle d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x}}. }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}

if f ( t , x ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }

pour tout t {\displaystyle t}

.

De même, le point x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x}}. }}\Ndans \mathbb {R} ^{n}}

est un point d’équilibre (ou point fixe) pour l’équation aux différences x k + 1 = f ( k , x k ) {\textstyle \mathbf {x}}. _{k+1}= \mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}

if f ( k , x ~ ) = x ~ {\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x}})={\tilde {\mathbf {x}} }}}

pour k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots }

.

Les équilibres peuvent être classés en regardant les signes des valeurs propres de la linéarisation des équations sur les équilibres. C’est-à-dire qu’en évaluant la matrice jacobienne à chacun des points d’équilibre du système, puis en trouvant les valeurs propres résultantes, les équilibres peuvent être catégorisés. Ensuite, le comportement du système dans le voisinage de chaque point d’équilibre peut être déterminé qualitativement, (ou même quantitativement, dans certains cas), en trouvant le ou les vecteurs propres associés à chaque valeur propre.

Un point d’équilibre est hyperbolique si aucune des valeurs propres n’a de partie réelle nulle. Si toutes les valeurs propres ont une partie réelle négative, l’équilibre est une équation stable. Si au moins une a une partie réelle positive, l’équilibre est un nœud instable. Si au moins une valeur propre a une partie réelle négative et au moins une a une partie réelle positive, l’équilibre est un point de selle.