Plan d’Argand et représentation polaire

On a dit plus haut que les nombres complexes sont des nombres qui peuvent ne pas tomber sur la droite numérique ! Nous avons aussi vu que tout nombre réel est aussi un nombre complexe avec la partie imaginaire = 0. Comment représenter graphiquement ces nombres ? Quel est l’argument d’un nombre complexe ? Répondons dans cette section.

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Plan argon

Dans les cours précédents, vous avez lu des choses sur la droite numérique. C’est un moyen pratique de représenter les nombres réels comme des points sur une ligne. De même, vous avez lu sur le système de coordonnées cartésiennes. C’est un ensemble de trois axes mutuellement perpendiculaires et un moyen pratique de représenter un ensemble de nombres (deux ou trois) ou un point dans l’espace.

Commençons par la droite numérique. Imaginez que vous êtes une sorte de dieu des mathématiques et que vous venez de créer les nombres réels. Il se trouve que vous avez tracé une autre ligne perpendiculaire à l’axe des réels. Quelle sera cette ligne ? Elle n’est certainement pas réelle. Par conséquent, elle doit être imaginaire ou la ligne complexe.

Nous avons donc un moyen de représenter graphiquement tout nombre imaginaire. Tout ce que nous devons faire est de trouver sa partie réelle et une partie imaginaire. Ensuite, nous les représentons sur les deux lignes de nombres mutuellement perpendiculaires. Le point d’intersection, comme indiqué ci-dessus, est l’origine de notre plan.

Le plan ainsi formé est connu sous le nom de plan d’Argand et constitue un moyen pratique de représenter graphiquement tout nombre imaginaire. Soit z = x + iy. Alors Re(z) = x et Im(z) = y.

• Bases des nombres complexes
• Opérations sur les nombres complexes
• Module et conjugué d’un nombre complexe
• Équations quadratiques complexes

La paire ordonnée (x,y) représentée sur le plan d’Argand représentera un point. Ce point correspond à notre nombre complexe z. Nous traçons une ligne dirigée de O au point P(x,y) qui représente z. Soit θ l’angle que fait cette ligne avec la direction positive de « l’axe réel ». Par conséquent, (90 – θ) est l’angle qu’elle fait avec « l’axe imaginaire ». Ceci est quelque peu important, alors gardez-le à portée de main !

Argument de z

Comme déjà établi, chaque nombre complexe peut être représenté quelque part sur le plan d’Argand. Cela découle du fait que sous l’opération de notre algèbre, les nombres complexes sont fermés. Imaginez que vous représentez deux nombres, z1 = 2 +3i et z2 = 2 – 3i. On peut voir que |z1| = |z2|. Oups ! Qu’avons-nous fait ? Si vous tracez les deux points (2, 3) et (2, -3), vous constaterez qu’ils sont symétriques au-dessus et au-dessous des axes réels. Nous les appelons les images miroir l’un de l’autre.

Comment faire la différence entre eux ? Nous introduisons une autre quantité appelée l’Argument de z1 et z2. Il est défini comme l’angle ‘θ’ que fait la droite joignant le point P (représentant notre nombre complexe) et l’origine O, avec la direction positive des « Axes réels ». Cela donne à chaque nombre complexe un sens unique de direction ou d’orientation sur le plan d’Argand. Par conséquent, nous pouvons représenter de façon unique chaque point du plan d’Argand.

Module d’un nombre complexe

Dans une section précédente, nous avons défini le module d’un nombre imaginaire z = a + ib comme |z| = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Nous allons voir ici que cette définition s’accorde parfaitement avec la représentation géométrique des nombres complexes.

Dans la figure ci-dessus, supposons que la pointe de la flèche soit P (a, b), où P représente le nombre z = a + ib. Alors la longueur de OP peut être trouvée en utilisant la formule de distance comme = \( \sqrt{(a – 0)^2 + (b-0)^2}. \)

On peut donc dire que OP = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Le module est donc la longueur du segment de droite joignant le point, correspondant à notre nombre complexe, à l’origine du plan d’Argand. Comme vous pouvez le voir, elle est toujours positive, c’est pourquoi nous l’appelons le module. Tout se met en place maintenant, n’est-ce pas ?

Vous pouvez télécharger la Cheat Sheet des nombres complexes en cliquant sur le bouton de téléchargement ci-dessous

Représentation polaire

Nous avons différents types de systèmes de coordonnées. L’un d’entre eux est le système de coordonnées polaires. C’est juste un ensemble de lignes mutuellement perpendiculaires. L’origine est appelée le pôle. Nous mesurons la position d’un point quelconque en mesurant la longueur de la ligne qui le relie à l’origine et l’angle que fait cette ligne avec un axe spécifié. Par exemple, si nous connaissons la valeur de φ et de r, nous pouvons localiser P. Ce sont les coordonnées polaires, r et φ.

De même, si nous connaissons l’Argument d’un nombre complexe dans le plan d’Argand et la longueur OP, nous pouvons localiser ledit nombre. Soit r = OP. On sait aussi que OP = |z| = r ; où z = x + iy

Les coordonnées de P sont (x, y). Dans le triangle rectangle, on voit que x = r cos(θ) et y = r sin(θ). Nous pouvons donc écrire : z = r cos(θ) + r sin(θ) = r . Ceci, mes chers amis est la représentation polaire de notre nombre complexe z = x + iy avec :

Arg(z) = θ et |z| = r

Maintenant y/x = r sin(θ)/r cos(θ) = tan θ

Donc, θ = tan-1(y/x)

En utilisant cette relation, nous pouvons trouver l’argument d’un nombre complexe.

Exemples résolus pour vous

Question 1 : Si z = -2(1+2i)/(3 + i) où i= \( \sqrt{-1} \), alors l’argument θ(-π < θ ≤ π) de z est :

A) 3 \( \frac{π}{4} \) B) \( \frac{π}{4} \) C) 5 \( \frac{π}{6} \) D) -3 \( \frac{π}{4} \)

Réponse : D) Comme z = -2(1+2i)/(3 + i)

En multipliant et en divisant par (3 – i), on obtient

z = -2(1+2i)×(3 – i)/(3 + i)×(3 – i) = -1 – i

En comparant cela à z = x + iy, nous avons x = -1 et y = -1

Donc, θ = tan-1(y/x) = tan-1(1) = -3 \( \frac{π}{4} \)

Pourquoi pas \( \frac{π}{4} \) ? Eh bien parce que, x et y sont tous deux négatifs. Cela signifie que le point P est dans le troisième quadrant maintenant. Donc, θ = -3 \( \frac{π}{4} \) .

Question 2 : Quelle est la structure de base d’un argument ?

Réponse : L’argument est constitué d’au moins une prémisse qui ne mène pas à une conclusion. De plus, il est constitué d’au moins une prémisse et d’un sophisme que nous utilisons pour soutenir une conclusion. De plus, un argument est constitué de prémisses que l’on utilise pour soutenir une conclusion.

Question 3 : Qu’est-ce que la liste d’arguments ?

Réponse : L’argument fait référence à une liste que nous exprimons dans la liste séparée par des virgules délimitée par les parenthèses dans une expression d’appel de fonction, ou c’est une séquence de jetons de traitement dans la liste séparée par des virgules délimitée par les interpolations dans une invocation de macro de type fonction.

Question 4 : Quelle est la différence entre l’argument principal et l’argument ?

Réponse : La valeur qui se situe entre -pi et pi est appelée l’argument principal d’un nombre complexe. De plus, cette valeur est telle que -π < θ = π. Par ailleurs, θ est une fonction périodique de période 2π, on peut donc représenter cet argument par (2nπ + θ), où n est un entier et c’est un argument général.

Question 5 : Quel est l’argument d’un nombre réel ?

Réponse : C’est l’angle que font le vecteur et le nombre complexe avec l’axe réel positif. De plus, lorsque le nombre réel est positif alors la réponse est votre mesure d’angle.

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