Pi : Le nombre le plus important de l’univers ?

Par Edward B. Burger, Ph.D, Southwestern University

L’un des nombres les plus importants de notre univers est le nombre Pi ou π. Explorez l’odyssée de l’humanité – des tentatives à travers les âges qui transcendent véritablement les cultures – pour calculer, approximer et comprendre ce nombre énigmatique.

Une définition

Bien que les origines de π ne soient pas connues avec certitude, nous savons que les Babyloniens ont approximé π en base 60 vers 1800 avant notre ère. La définition de π est centrée sur les cercles. C’est le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre – un nombre juste un peu plus grand que trois.

La constante π nous aide à comprendre notre univers avec plus de clarté. La définition de π a inspiré une nouvelle notion de la mesure des angles, une nouvelle unité de mesure. Cette importante mesure d’angle est connue sous le nom de « mesure radian » et a donné lieu à de nombreuses idées importantes dans notre monde physique. Quant à π lui-même, Johann Lambert a montré en 1761 que π est un nombre irrationnel, et plus tard, en 1882, Ferdinand von Lindemann a prouvé que π n’est pas une solution à une équation polynomiale avec des entiers. Cependant, de nombreuses questions sur π restent sans réponse.

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Expérimenter avec Pi

Toute discussion sur les origines de pi doit commencer par une expérience impliquant des cercles que nous pouvons tous essayer. Prenez n’importe quel cercle et prenez la longueur de la circonférence – qui est la longueur autour – et mesurez-la en fonction du diamètre, qui est la longueur en travers. Vous obtiendrez trois diamètres et juste un peu plus, et si vous regardez attentivement, vous verrez que c’est un peu plus de 1/10 de la distance supplémentaire. Cette expérience nous montre que le rapport entre la circonférence et le diamètre sera un nombre d’environ, ou un peu plus grand que, 3,1. Quelle que soit la taille du cercle, la circonférence est légèrement supérieure à trois fois son diamètre.

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Cette valeur fixe et constante a reçu un nom, et nous l’appelons π. Comment le dire plus précisément ? Le nombre π est défini comme égal au rapport entre la circonférence d’un cercle quelconque et son diamètre transversal. Ce rapport est constant. Quelle que soit la taille du cercle avec lequel nous essayons, ce nombre sera toujours le même. Il commence par 3,141592653589, et il continue.

Le symbole π vient de la lettre grecque π, car le mot grec pour « périphérie » commence par la lettre grecque π. La périphérie d’un cercle était le précurseur du périmètre d’un cercle, que nous appelons aujourd’hui circonférence. Le symbole π apparaît pour la première fois dans le texte de William Jones de 1709, A New Introduction to Mathematics, et le symbole a ensuite été popularisé par le grand mathématicien suisse du 18e siècle Leonhard Euler vers 1737.

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De Babylone à la Bible

Passant de son nom à sa valeur, il existe des preuves que les Babyloniens ont approximé π en base 60 vers 1800 avant notre ère. En fait, ils croyaient que π = 25/8, ou 3,125 – une approximation étonnante pour si tôt dans l’histoire humaine. Le scribe égyptien antique Ahmes, associé au célèbre papyrus Rhind, a proposé l’approximation 256/81, soit 3,16049. Là encore, nous constatons une approximation impressionnante de cette constante. Il y a même une valeur implicite de π donnée dans la Bible. Dans 1 Rois 7:23, on dit qu’un bassin rond a une circonférence de 30 centimètres et un diamètre de 10 centimètres. Ainsi, dans la Bible, il est implicitement indiqué que π est égal à 3 (30/10).

Sans surprise, à mesure que la compréhension des nombres par l’humanité évoluait, sa capacité à mieux comprendre et donc à estimer π lui-même évoluait également. En l’an 263, le mathématicien chinois Liu Hui pensait que π = 3,141014.

Approximativement 200 ans plus tard, le mathématicien et astronome indien Aryabhata a approximé π avec la fraction 62,832/20,000, soit 3,1416-une estimation vraiment étonnante. Vers 1400, l’astronome perse Kashani a calculé π correctement jusqu’à 16 chiffres.

Comment mesurer les angles avec Pi

Laissons de côté cette chasse historique aux chiffres de π et considérons π comme un nombre important dans notre univers. Étant donné le lien de π avec la mesure des circonférences des cercles, les savants ont été inspirés de l’utiliser comme mesure de la distance des angles. Considérons un cercle de rayon 1. Le rayon est juste la mesure du centre vers les côtés. C’est la moitié du diamètre.

Les unités traditionnelles de mesure des angles sont, bien sûr, les degrés. Avec des degrés, une rotation complète autour du cercle a une mesure de 360 degrés, qui se trouve être approximativement égale au nombre de jours d’une année complète et qui pourrait expliquer pourquoi nous pensons qu’une fois autour est 360.

Au lieu de la mesure arbitraire de 360 pour signifier une fois autour du cercle, calculons la longueur réelle du voyage autour de ce cercle particulier, un cercle de rayon 1, une fois autour. Quelle est la longueur et la circonférence de ce cercle ? Si nous avons un rayon de 1, alors notre diamètre est deux fois plus grand, 2, et donc nous savons que le tour unique sera de 2 fois π parce que la circonférence est π fois le diamètre.

Un tour unique sera de 2π. Une rotation complète autour, qui est un angle de 360 degrés, serait balayée avec une longueur de circonférence de 2π dans ce cercle particulier. Un demi-tour serait de 180 degrés, et nous balayerions la moitié de la circonférence, qui, dans ce cas, serait de π. Quatre-vingt-dix degrés balayeraient un quart du cercle, et pour ce cercle particulier, cela aurait une longueur de π/2, ou une moitié de π.

Nous commençons à voir que chaque angle correspond à une distance mesurée en partie ou en totalité autour de ce cercle particulier de rayon 1. En d’autres termes, pour tout angle, nous pouvons mesurer la longueur de l’arc de ce cercle balayé par cet angle.

Cette longueur d’arc fournit une nouvelle façon de représenter la mesure d’un angle, et nous appelons cette mesure des angles « mesure radian ». Par exemple, 360 degrés = 2π radians, ce sont les unités ; 180 degrés équivalent à π radians, et 90 degrés équivaudraient à π/2 radians. Rappelez-vous, toutes ces mesures sont toujours basées sur un cercle spécial qui a un rayon de 1.

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Les mesures radian et la puissance de Pi

Il s’avère que cette mesure radian est beaucoup plus utile pour mesurer les angles pour les mathématiques et la physique que la mesure en degrés, plus familière. Ce fait n’est pas surprenant. La mesure du radian est naturellement liée à l’angle par la longueur de la circonférence, plutôt que la mesure du degré, plus arbitraire et sans fondement mathématique. Elle représente une approximation à travers une année complète.

Le terme radian est apparu pour la première fois dans les imprimés dans les années 1870, mais à cette époque, de grands mathématiciens, dont le grand mathématicien Leonhard Euler, utilisaient des angles mesurés en radians depuis plus de cent ans.

Le nombre π apparaît dans d’innombrables formules et théories importantes, notamment le principe d’incertitude d’Heisenberg et l’équation de champ d’Einstein de la relativité générale. C’est une formule et un nombre important à travers le monde.

Questions courantes sur le nombre Pi

Cet article a été mis à jour le 28 avril 2020

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