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Les équations linéaires à une variable sont des équations où la variable a un exposant de 1, qui n’est généralement pas montré (il est compris). Un exemple serait quelque chose comme \(12x = x – 5\). Pour résoudre des équations linéaires, il y a un objectif principal : isoler la variable. Dans cette leçon, nous allons voir comment cela se fait à travers plusieurs exemples.

Table des matières

1. Exemples de résolution d’équations à une étape
2. Exemples de résolution d’équations à deuxétapes
3. Exemples d’équations où vous devez d’abord simplifier
4. Infiniment beaucoup ou pas de solutions
5. Résumé

Exemples de résolution d’équations linéaires à une étape

Après tout votre dur travail de résolution de l’équation, vous savez que vous voulez une réponse finale comme \(x=5\) ou \(y=1\). Dans ces deux cas, la variable est isolée, ou par elle-même.

Nous devons donc trouver comment isoler la variable. La façon dont nous le faisons dépend de l’équation elle-même ! Si elle a été multipliée par quelque chose, nous allons diviser. Si quelque chose a été ajouté, nous allons soustraire. En faisant cela, nous allons lentement obtenir la variable par elle-même.

Utilisons un exemple pour voir comment cela fonctionne.

Exemple

Résolvons l’équation : \(4x = 8\)

Solution

Dans cet exemple, le 4 multiplie le \(x\). Par conséquent, pour isoler l’\(x\), vous devez diviser ce côté par 4. En faisant cela, vous devez vous rappeler une règle importante : tout ce que vous faites à un côté de l’équation, vous devez le faire à l’autre côté. Nous allons donc diviser les deux côtés par 4.

\(\begin{align}4x &= 8 \\\\dfrac{4x}{\color{red}{4}} &= \dfrac{8}{\color{red}{4}}\end{align}\)

Simplification:

\(x = \boxed{2}\)

C’est ça, une étape et nous avons fini. (C’est pourquoi les équations comme celles-ci sont souvent appelées équations « à une étape »)

Vérifier

Chaque fois que vous résolvez des équations linéaires, vous pouvez toujours vérifier votre réponse en la substituant à nouveau dans l’équation. Si vous obtenez une affirmation vraie, alors la réponse est correcte. Ce n’est pas nécessaire à 100% pour chaque problème, mais c’est une bonne habitude donc nous allons le faire pour nos équations.

Dans cet exemple, notre équation originale était \(4x = 8\). Pour vérifier cela, vérifiez que ce qui suit est vrai:

\(\begin{align}4x &= 8\\\\ 4(2) &= 8 \\\\\\ 8 &= 8\end{align}\)

C’est une affirmation vraie, donc notre réponse est correcte.

Pour toute équation, toute opération que vous faites sur un côté doit également être faite sur l’autre côté

Tentons quelques autres exemples avant de passer à des équations plus complexes.

Exemple

Solvons : \(3x=12\)

Solution

Puisque \(x\) est multiplié par 3, le plan est de diviser par 3 des deux côtés:

\(\begin{align}3x &=12\\\\ \dfrac{3x}{color{red}} &=\dfrac{12}{\color{red}{3}\ x&= \boxed{4}\end{align}\)

Vérification

Pour vérifier notre réponse, nous allons laisser \(x = 4\) et le resubstituer dans l’équation :

\N(\begin{align}3x &= 12\\\3(4) &= 12 \\\N 12 &= 12\end{align}\)

Comme précédemment, puisque c’est une affirmation vraie, nous savons que notre réponse est correcte.

Dans l’exemple suivant, au lieu que la variable soit multipliée par une valeur, une valeur est soustraite à la variable. Pour « défaire » cela, nous allons ajouter cette valeur aux deux côtés.

Exemple

Résoudre : \(y-9=21\)

Solution

Cette fois, 9 est soustrait de y. Donc, nous allons défaire cela en ajoutant 9 aux deux côtés.

\N(\begin{align}y-9&=21\\ y-9 \color{red}{+9}&=21\color{red}{+9}\y&=30\end{align}\)

Nous allons ensuite nous pencher sur ce qu’on appelle communément les équations « en deux étapes ». Dans ces équations, nous devrons défaire deux opérations afin d’isoler la variable.

Exemples d’équations en deux étapes

Dans chacun des exemples ci-dessus, il y avait une seule étape à effectuer avant d’avoir notre réponse. Dans ces prochains exemples, vous verrez comment travailler avec des équations qui ont plutôt deux étapes. S’il y a plus d’une opération, il est important de se souvenir de l’ordre des opérations, PEMDAS. Puisque vous annulez les opérations sur \(x\), vous allez travailler de l' »extérieur vers l’intérieur ». C’est plus facile à comprendre lorsque vous le voyez dans un exemple.

Exemple

Solve : \(2x-7=13\)

Solution

Notez les deux opérations qui se produisent sur \(x\) : il est multiplié par 2 et ensuite on lui soustrait 7. Nous devrons les annuler. Mais, seule l’\(x\) est multipliée par 2, donc la première étape sera d’ajouter 7 aux deux côtés. Ensuite, nous pourrons diviser les deux côtés par 2.

Ajoutant 7 aux deux côtés:

\(\begin{align} 2x-7 &= 13\\-7 \color{red}{+7} & =13 \color{red}{+7}\\\\N- 2x&=20\N- fin{align})

Maintenant divisez les deux côtés par 2 :

\N{\i1}(\bgin{\i} 2x&=20 \\N{\i1}&=\N{\i1}Ddfrac{\i}{\i1}20{\i}{\i1}Color{\i}{\i}}&= \N{\i1}boxed{\i}{\i1}10{\i}})

Vérification

Comme pour les problèmes plus simples, vous pouvez vérifier votre réponse en substituant votre valeur de \(x\) de nouveau dans l’équation originale.

\N(\begin{align}2x-7&=13\\\N 2(10) – 7 &= 13\\N &= 13\Nend{align}\N

C’est vrai, donc nous avons la bonne réponse.

Regardons un autre exemple en deux étapes avant de sauter à nouveau dans la difficulté. Assurez-vous que vous comprenez chaque étape montrée et travaillez également le problème.

Exemple

Résolvez : \(5w + 2 = 9\)

Solution

Comme ci-dessus, il y a deux opérations : \(w\) est multiplié par 5 et on lui ajoute ensuite 2. Nous allons les annuler en soustrayant d’abord 2 des deux côtés, puis en divisant par 5.

\N(\begin{align}5w + 2 &= 9\\\N 5w + 2 \color{red}{-2} &= 9 \color{red}{-2}\N 5w &= 7\N\dfrac{5w}{\color{red}{5}} &=\dfrac{7}{\color{red}{5}}\w=\boxed{\dfrac{7}{5}}\end{align}\)

La fraction de droite ne peut pas être simplifiée, c’est donc notre réponse finale.

Vérification

Laissons \(w = \dfrac{7}{5}\). Alors:

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\\\5\left(\dfrac{7}{5}\right) + 2 &= 9\\\\\\ 7 + 2 &= 9 \end{align}\)

Donc, nous avons encore une fois la bonne réponse !

Simplifier avant de résoudre

Dans les exemples suivants, il y a plus de termes variables et éventuellement une simplification qui doit avoir lieu. Dans chaque cas, les étapes seront d’abord de simplifier les deux côtés, puis d’utiliser ce que nous avons fait pour isoler la variable. Nous allons d’abord examiner en profondeur un exemple pour voir comment tout cela fonctionne.

Pour comprendre cette section, vous devriez être à l’aise avec la combinaison de termes semblables.

Exemple

Solve : \(3x+2=4x-1\)

Solution

Puisque les deux côtés sont simplifiés (il n’y a pas de parenthèses que nous devons comprendre et pas de termes semblables à combiner), l’étape suivante consiste à obtenir tous les x d’un côté de l’équation et tous les chiffres de l’autre côté. La même règle s’applique – tout ce que vous faites d’un côté de l’équation, vous devez le faire aussi de l’autre côté !

Il est possible de déplacer soit l’\(3x\) soit l’\(4x\). Supposons que vous déplaciez l’\(4x\). Puisqu’il est positif, vous le feriez en le soustrayant des deux côtés :

\(\begin{align}3x+2 &=4x-1\\\\\\\ 3x+2\color{red}{-4x} &=4x-1\color{red}{-4x}\\\ -x+2 & =-1\end{align}\)

Maintenant l’équation ressemble à celles qui ont été travaillées auparavant. L’étape suivante consiste à soustraire 2 des deux côtés :

\(\begin{align}-x+2\color{red}{-2} &= -1\color{red}{-2}\-x=-3\end{align}\)

Enfin, puisque \(-x= -1x\) (c’est toujours vrai), divisez les deux côtés par \(-1\) :

\(\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &=\dfrac{-3}{\color{red}{-1}}\ x&=3\end{align}\)

Vérification

Vous devriez prendre un moment et vérifier que l’affirmation suivante est vraie:

\(3(3)+ 2 = 4(3) – 1\)

Dans le prochain exemple, nous devrons utiliser la propriété distributive avant de résoudre. Il est facile de faire une erreur ici, alors assurez-vous que vous distribuez le nombre devant les parenthèses à tous les termes à l’intérieur.

Exemple

Résolvez : \(3(x+2)-1=x-3(x+1)\)

Solution

D’abord, distribuez le 3 et le -3, et rassemblez les termes semblables.

\(\begin{align} 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)\\\ 3x+6-1&=x-3x-3 \\\N 3x+5&=-2x-3\end{align}\)

Maintenant nous pouvons ajouter 2x aux deux côtés. (Rappelez-vous que vous obtiendrez la même réponse si vous avez plutôt soustrait 3x des deux côtés)

\N{\i1}(\i1}début{\i}}. 3x+5\color{red}{+2x} &=-2x-3\color{red}{+2x}\\N- 5x+5& =-3\end{align}\N)

À partir de là, nous pouvons résoudre comme nous l’avons fait avec les autres équations à deux étapes.

(\begin{align}5x+5\color{red}{-5} &=-3\color{red}{-5}\\N- 5x &=-8\N- \dfrac{5x}{\color{red}{5}}&=\dfrac{-8}{\color{red}{5}\N- x &= \dfrac{-8}{5} &=\boxed{-\dfrac{8}{5}\end{align}\)

Check

C’était une question difficile, alors n’oubliez pas de vérifier votre réponse et de vous assurer qu’aucune erreur n’a été commise. Pour cela, vous allez vous assurer que l’affirmation suivante est vraie :

\(3\left(-\dfrac{8}{5}+2\right)-1=\left(-\dfrac{8}{5}\right)-3\left(-\dfrac{8}{5}+1\right)\)

(Note : ça marche – mais il faut vraiment faire attention aux parenthèses !)

Infiniment beaucoup de solutions et aucune solution

Il y a des moments où vous suivez toutes ces étapes et où une solution vraiment étrange apparaît. Par exemple, en résolvant l’équation \(x+2=x+2\) en utilisant les étapes ci-dessus, on obtient \(0=0\). C’est certainement vrai, mais à quoi cela sert-il ?

Si vous obtenez une déclaration comme celle-ci, cela signifie que l’équation a une infinité de solutions. N’importe quel \(x\) auquel vous pourriez penser satisferait l’équation \(x+2=x+2\). La réponse appropriée dans ce cas est « une infinité de solutions ».

L’autre situation se présente lorsque vous simplifiez une équation en une affirmation qui n’est jamais vraie telle que \(3=4\) ou \(0=1\). C’est ce qui se passe avec l’équation \(x+5=x-7\) qui conduira à \(5= -7\), quelque chose qui n’est certainement jamais vrai. Cela signifie qu’aucun \(x\) ne pourrait satisfaire cette équation. En d’autres termes « pas de solution ». En résumé :

• Si vous obtenez une affirmation qui est toujours vraie comme \(5 = 5\) ou \(0 = 0\), alors il y a une infinité de solutions.
• Si vous obtenez une affirmation qui est toujours fausse comme \(10 = 11\) ou \(1 = 5\), alors il n’y a pas de solutions.

Sommaire

Résoudre des équations linéaires consiste à isoler la variable. Selon l’équation, cela peut prendre aussi peu qu’une étape ou beaucoup plus d’étapes. Vérifiez toujours si vous devez d’abord simplifier l’un ou les deux côtés de l’équation, et vérifiez toujours votre réponse.

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