Les principes d’ingénierie de la combinaison d’une boucle d’anticipation incohérente transcriptionnelle avec une rétroaction négative

Un modèle de régulation transcriptionnelle d’anticipation incohérente

Il existe quatre variétés de contrôle d’anticipation incohérente (FF) dans un système à trois nœuds . Dans cet article, nous étudions le motif de boucle feedforward incohérente de type 1 (I1-FFL), dans lequel le signal d’entrée (X) active à la fois l’intermédiaire (Y) et la sortie ultime (Z), tandis que Y réprime Z (figure 1a) . Notre modèle est celui de la régulation transcriptionnelle, de sorte que X représente un facteur de transcription d’entrée, qui peut se lier aux régions cis-régulatrices de Y et Z, avec une affinité K1 (Fig. 1b). Il en résulte la transcription et la traduction de Y (doubles flèches sur la figure 1b), qui est également un facteur de transcription qui se lie à la région régulatrice de Z avec une affinité K2. Dans notre modèle, la liaison de X et Y est coopérative (ligne pointillée sur la figure 1b), de sorte que leur liaison synergique est décrite par K12 = CK1K2. La liaison coopérative peut également avoir lieu entre d’autres composants ; cependant, une coopérativité autre que celle entre X et Y n’est pas requise (voir le fichier additionnel 1 pour l’analyse de la coopérativité). Par conséquent, nous ne retenons que le seul terme coopératif nécessaire pour tester nos hypothèses, et donc notre analyse principale suppose que toutes les autres interactions de liaison sont non coopératives.

En ingénierie de contrôle des processus, X est considéré comme une perturbation du système ; l’objectif du contrôle FF standard (qui utilise un motif IFFL) est de rejeter l’effet que X a sur Z. Si le contrôleur FF est réglé correctement, la variable de sortie est maintenue à ou près de sa valeur souhaitée (par ex, dans une fourchette de 5%), à la fois dans le transitoire et dans la sortie finale (Fig. 1c). En revanche, dans les systèmes biologiques, X est considéré comme un signal d’entrée et le motif I1-FFL est souvent conçu de manière à ce que les niveaux de Z présentent une réponse transitoire, puis reviennent à leur valeur d’origine (proche de celle-ci) (figure 1d). Ainsi, la hauteur du pic et la différence entre les niveaux initiaux et finaux de Z représentent des mesures de performance (Fig. 1d).

Nous modélisons ici le I1-FFL comme un système d’équations différentielles à retard, qui sont une extension du modèle de (Eqs. 1-3 dans Méthodes). Notez que X active à la fois Y et Z, avec une affinité de liaison K1, tandis que Y réprime Z (même si X est également lié) avec une affinité de liaison K2. Le dernier terme au dénominateur de fz est le terme de coopérativité (xy/K12 = xy/(CK1K2)). Voir Méthodes pour plus de détails sur la dérivation du modèle.

Dans cet article, nous maintenons x = x0 = 1 pour t < 0, ce qui entraîne un état d’équilibre initial de y0 et z0. Au temps t = 0, x subit une augmentation par palier : x(t ≥ 0) = x1 > 1, ce qui entraîne une augmentation initiale de y et z. Cependant, après un certain transitoire initial, l’augmentation de y commence également à réprimer z. Pour la plupart des valeurs des paramètres, il en résulte une valeur maximale de z (zpeak), suivie d’une adaptation vers une nouvelle valeur d’état stable, z1 (Fig. 1d). Ici, nous avons normalisé le niveau du pic et la métrique d’adaptation en P ≡ (zpeak – z0)/z0 et f = (z1 – z0)/z0, respectivement (voir Fig. 1d). Pour le reste du document, nous prendrons τy = τz = 1, et θy = θz = 0,5.

La boucle feedforward incohérente de type I peut être réglée pour une adaptation parfaite

L’analyse précédente du modèle ci-dessus (Eqs. 1-3) a montré que la régulation transcriptionnelle I1-FFL peut, dans les bonnes conditions, agir comme un détecteur de changement de pli (FCD) . L’une des conditions nécessaires pour qu’un modèle agisse comme un FCD est l’adaptation quasi parfaite (NPA), qui se produit lorsque l’état final, z1, se situe à quelques pour cent de l’état initial, z0 (par exemple, |f| ≤ ε = 0,05). Alors que les travaux précédents ont analysé le modèle (Eqs. 1-3) du point de vue de la FCD, le modèle (et les I1-FFLs en général) peut produire plusieurs autres phénotypes, y compris les phénotypes moins restrictifs de l’adaptation et de la génération d’impulsions.

Notre analyse du modèle montre qu’il est possible de régler le FFL de telle sorte que l’adaptation parfaite (PA) soit atteinte. En d’autres termes, z1 = z0 (courbe bleue sur la figure 2a, b). Cette condition est obtenue lorsque, pour des valeurs K1, K2 données, la valeur de C est égale à CPA, qui est donnée par l’équation 5 (voir Méthodes). Si la valeur de C s’écarte légèrement de CPA, PA est perdu, mais NPA peut être maintenu. Nous définissons ici CNPA+ et CNPA- comme les valeurs de C pour lesquelles f = + ε et -ε, respectivement (courbes rouge et or dans les Fig. 2a, b). Pour la majeure partie de ce travail, nous avons fixé ε = 0,05 ; cependant, nos résultats ne sont pas matériellement affectés par la valeur précise de ε (voir fichier additionnel 1).

Tuning the I1-FFL for near perfect adaptation. a Dynamique de la sortie, z(t), lors d’une augmentation par palier de x de 1 à 10 au temps t = 0. Courbe bleue : adaptation parfaite. Courbes rouge et jaune : adaptation quasi parfaite, telle que |f| = 0,05. b Sortie normalisée de z(t). Lorsque les courbes sont normalisées, il est clair que les courbes rouge et jaune permettent une adaptation quasi parfaite. c Carte thermique de la valeur de C requise pour une adaptation parfaite compte tenu de K1, K2, pour une augmentation par paliers de x de 1 à 10. Les courbes rouges (ici et ailleurs) représentent des contours dont les valeurs sont indiquées directement sur le graphique. Notez que les limites de l’axe pour K1 vont d’une affinité forte (10- 2) à très faible (106), tandis que celles pour K2 vont d’une affinité très forte (10- 6) à faible (102). d Carte thermique de la métrique du pic, P. Lorsque K1 devient trop faible, cette métrique chute à des valeurs inacceptables. e Niveaux absolus du pic de sortie. Courbes orange : P = 0,1 et CPA = 0,01. Ces courbes, ainsi que le contour zpeak = 0,01, délimitent une région biologiquement réaliste de l’espace des paramètres. f Carte thermique de la plage normalisée des valeurs de C pour lesquelles le NPA est atteint. Les courbes noires délimitent deux régions dans lesquelles le NPA est réalisable avec n’importe quelle valeur de C. Dans la région I, Y et Z sont découplés et ne changent que légèrement lors de l’augmentation de X. La région II est décrite comme une région FCD, qui nécessite le NPA. Dans la région biologiquement réaliste de l’espace des paramètres, les valeurs de C sous lesquelles le NPA peut être atteint vont de 13 à 65% de la CPA

Pour x1 = 10, une carte thermique des valeurs de la CPA, en fonction de K1, K2, est représentée sur la figure 2c. Notez que la coopérativité est nécessaire pour atteindre PA : CPA < 1, bien qu’elle s’approche de 1 pour K1, K2 ≪ 1 (voir le fichier supplémentaire 1 et la figure 2c). Comme C représente un paramètre de coopérativité de changement de pli, les valeurs de C < 1 représentent une synergie positive : lorsque X est lié à la région régulatrice de Z, il améliore la capacité de Y à se lier, et vice versa. Une limite inférieure pour les valeurs de C rapportées dans d’autres systèmes est de l’ordre de 0,01 . Par conséquent, comme les modèles de processus biologiques doivent être contraints à des phénotypes biologiquement réalistes, il est peu probable que PA puisse être atteint dans la région supérieure droite de l’espace des paramètres (figure 2c).

Les valeurs modérées de l’espace des paramètres correspondent à des phénotypes biologiquement réalistes

Compte tenu de la limite inférieure approximative de C, il est raisonnable de se demander quelles autres contraintes peuvent être imposées au modèle. Nous imposons deux contraintes supplémentaires biologiquement réalistes sur le modèle. Premièrement, la taille relative du pic, P = (zpeak – z0)/z0, doit être supérieure à 0,1 pour garantir une réponse de signalisation de qualité. Une carte thermique de P en fonction de K1, K2 est représentée sur la figure 2d. Le contour de P = 0,1 se situe à peu près à K1 = 0,25 ; cela implique que, si X se lie trop étroitement à la région régulatrice de Z, une multiplication par 10 de x (de 1 à 10) ne produit pas un fort pic, car le promoteur Z est déjà saturé, même à de faibles valeurs de x.

Deuxièmement, le pic absolu de z doit être supérieur à 0,01 (Fig. 2e). Comme notre modèle est mis à l’échelle de telle sorte que la valeur maximale possible de z est 1, cela correspond à 1% de la concentration maximale possible de z, étant donné la force du promoteur et le taux de dégradation. Nous considérons que zpeak = 0,01 est la valeur minimale pour obtenir un signal biologiquement détectable ; on peut toutefois assouplir quelque peu cette valeur minimale, ce qui n’affecterait pas de manière significative nos résultats. En prenant ces trois contraintes sur CPA, P et zpeak, une petite région de l’espace des paramètres K1, K2 est considérée comme « biologiquement réaliste ». Pour le contexte, les trois contours sont tracés dans la Fig. 2e. Là encore, cette région pourrait être modifiée si d’autres valeurs des contraintes « biologiquement réalistes » sont choisies. Il convient également de noter que la région biologiquement réaliste délimite également la région de l’espace des paramètres dans laquelle l’I1-FFL peut agir comme un générateur d’impulsions ou un adaptateur parfait (voir le fichier supplémentaire 1).

Sensibilité de la NPA par rapport aux paramètres de l’I1-FFL

La robustesse est un objectif supplémentaire qui est souvent imposé aux systèmes biologiques . Par conséquent, nous avons analysé la gamme de valeurs C autour de CPA pour laquelle la NPA est maintenue. Nous définissons ΔCFF ≡ CNPA+ – CNPA-, et avons tracé une carte thermique de ΔCFF/CPA dans la figure 2f (voir le fichier supplémentaire 1 pour la dérivation de CNPA+ et CNPA-). Il existe deux régions de l’espace des paramètres K1, K2 dans lesquelles la NPA est atteinte quelle que soit la valeur de C (voir le fichier additionnel 1 et la Fig. 2f), dont aucune ne se trouve dans la région biologiquement réaliste de l’espace des paramètres (région en pointillés blancs dans la Fig. 2f). Dans la région I, la valeur de K1 est suffisamment faible pour que, même à x0 = 1, les régions régulatrices de Y et Z soient saturées par X, et donc que Y et Z soient relativement insensibles à X (voir le fichier supplémentaire 1). En outre, dans la région I, K2 est suffisamment grand pour que Y ait peu d’influence sur Z. Ainsi, une augmentation de x ne modifie pas sensiblement la valeur de z, ce qui signifie que si z1 ≈ z0 (de sorte que |f| < ε), il n’y a pas de pic dans la valeur de z (voir le fichier supplémentaire 1 : Figure S1). Ce scénario ne peut pas véritablement être qualifié de NPA. En effet, les nœuds de l’IFFL sont découplés dans cette région, de sorte que le phénotype biologique, ou la fonction, de l’IFFL est indistinct de deux nœuds agissant indépendamment l’un de l’autre.

La région II a été précédemment signalée comme étant non seulement la région dans laquelle le NPA est facilement atteint, mais aussi celle où l’I1-FFL peut agir comme un détecteur de changement de pli (fichier supplémentaire 1 : figure S2A) . Dans ce régime, dans lequel K1 ≫ 1, K2 ≪ 1, et K1K2 < 1, la liaison de X est dans le régime linéaire, et z dépend du rapport de x/y . En revanche, la réponse absolue de Z est limitée à 0,01 % de son maximum (fichier additionnel 1 : figure S2B).

En revanche, dans la région biologiquement réaliste de l’espace des paramètres, ΔCFF est limité à 13 % — 65 % de l’APC (figure 2f). Par exemple, pour K1 = 1, K2 = 0,1, pour maintenir l’objectif de NPA, le système ne peut tolérer qu’une perturbation de ∼ 30% de la CPA. En d’autres termes, le modèle I1-FFL est relativement sensible aux modifications de C lorsque NPA est concerné. Pour augmenter la robustesse du système, nous avons considéré un système combiné feedforward/feedback (FF/FB).

Cycles de rétroaction négative transcriptionnelle

En ingénierie, la sensibilité de l’algorithme du contrôleur feedforward par rapport aux paramètres du modèle peut être atténuée par l’action d’une boucle de rétroaction négative (voir les équations 6-8 dans Méthodes). En effet, il a été démontré que la rétroaction négative confère de la robustesse aux objectifs de performance de l’I1-FFL, tels que le temps de montée et le temps de descente, dans un modèle simplifié de régulation génétique. Cependant, contrairement à la fréquence élevée des motifs FFL transcriptionnels, il a été signalé précédemment qu’aucun cycle transcriptionnel (au-delà de l’autorégulation) n’existe dans l’organisme modèle E. coli . D’autres études suggèrent que la rétroaction négative transcriptionnelle est rare, peut-être en raison de la nature lente des boucles double-transcriptionnelles, tout en reconnaissant l’utilisation répandue de boucles de rétroaction négative mixtes dans lesquelles une branche est transcriptionnelle et l’autre branche est basée sur les interactions protéine-protéine . Pour aller plus loin, nous avons analysé un ensemble de données récemment mis à jour sur les interactions transcriptionnelles de E. coli et avons trouvé 17 cas de cycles de longueur 2, dont cinq sont des rétroactions positives, neuf sont des rétroactions négatives et trois sont mixtes. Parmi ces interactions, l’un des cycles de rétroaction négative était intégré dans plusieurs structures I1-FFL (voir le fichier supplémentaire 2).

Un système combiné feedforward/feedback est plus robuste qu’un système avec feedforward seul

Compte tenu de la prédiction concernant l’efficacité d’une boucle FB pour étendre la robustesse de l’APN dans un motif IFFL, nous avons étudié un système combiné FF/FB. Nous avons ajouté un quatrième nœud, W, qui est activé par Z, et réprime Z (Fig. 3a, b). Ces interactions introduisent de multiples nouveaux paramètres dans le modèle (voir Méthodes), notamment deux paramètres de liaison par affinité (K3, K4) et un retard de transcription/translation de W (θw ; voir Fig. 3b).

Comportement du système combiné FF/FB. a L’ajout de W au motif du réseau entraîne une boucle de rétroaction négative impliquant Z et W. b Illustration du mécanisme de rétroaction négative. Z active W et est réprimé par W. L’illustration de Y n’est pas présentée (voir Fig. 1b). c Dynamique de la sortie, z(t), lors d’une augmentation par paliers de x de 1 à 10 au temps t = 0 pour le système combiné FF/FB. Courbe bleue : adaptation parfaite. Courbes rouge et jaune : adaptation quasi-parfaite, telle que |f| = 0,05. d Sortie normalisée de z(t). Lorsque les courbes sont normalisées, il est clair que les courbes rouge et jaune sont réglées pour une adaptation quasi parfaite. La valeur de C nécessaire pour atteindre le NPA est plus éloignée du CPA que pour le système FF seul. e Carte thermique de la plage normalisée des valeurs de C pour lesquelles le NPA est atteint. Les courbes noires délimitant les régions I et II sont analogues à celles décrites dans la figure 2. Dans la région biologiquement réaliste (définie pour le système FF/FB), la plage de valeurs de C pour laquelle le NPA peut être atteint va de 25 à 100% de la CPA. f Carte thermique du rapport des plages de valeurs de C pour lesquelles le NPA est atteint pour le système FF/FB par rapport au système FF seul. L’ajout d’une boucle FB augmente la gamme de valeurs de C de 21–54%

Pour comparer directement les deux systèmes, nous avons tracé le rapport ΔCFFFB/ΔCFF dans la figure 3f. Pour la gamme de valeurs biologiquement réalistes, ΔCFFFB est 21% — 54% plus grand que ΔCFF (ratios de 1,21 — 1,54). (Notez que la région biologiquement réaliste illustrée dans les Figs. 3e, f est pour le système FF/FB ; voir le fichier supplémentaire 1 : Figure S3.) En effet, à l’exception d’une petite région de l’espace des paramètres K1, K2 (près de la région II), le système FF/FB est toujours supérieur au système FF seul (rapport supérieur à un). Compte tenu de l’avantage du système FF/FB par rapport aux objectifs du NPA, nous avons ensuite cherché à savoir si les propriétés dynamiques du système FF/FB étaient également avantageuses.

Comme mentionné précédemment, dans notre analyse, nous avons tenté de ne retenir que les interactions nécessaires pour expliquer le phénotype NPA sa robustesse. Ainsi, seules les interactions entre X et Y incluaient la coopérativité. Nous pouvons également intégrer la coopérativité entre X et W, ou Y et W, ce qui n’affecte pas qualitativement notre résultat selon lequel l’ajout du module FB au I1-FFL augmente la robustesse du système (fichier additionnel 1 : figure S4). De plus, nos résultats ne dépendent pas du choix exact de ε (fichier additionnel 1 : figure S5).

L’analyse dynamique révèle que le système FF/FB est supérieur à celui avec FB seul

Les boucles de rétroaction négative sont assaillies par de multiples inconvénients . Tout d’abord, la rétroaction proportionnelle (qui est le mécanisme le plus courant qui se produit naturellement dans les systèmes biologiques) entraîne toujours un décalage (voir la figure 4a). En d’autres termes, après qu’une perturbation ait bouleversé le système, la sortie ne revient pas à sa valeur initiale. Afin d’atténuer ce phénomène, on peut augmenter la force de la réaction de rétroaction négative. Cependant, cela entraîne souvent le deuxième inconvénient majeur de la rétroaction négative : des instabilités dynamiques et/ou des oscillations en anneau peuvent résulter d’une forte rétroaction négative, en particulier dans les systèmes avec des retards importants (Fig. 4b). En revanche, si la perturbation primaire peut être partiellement ou totalement rejetée par une FFL, les deux inconvénients peuvent être évités (Fig. 4a, b). Pour étudier ces principes dans un système de régulation génétique, nous avons comparé le comportement d’un modèle FB uniquement avec un modèle combiné FF/FB. Pour illustrer l’instabilité dynamique, nous avons fixé le coefficient de Hill pour toutes les interactions de liaison à l’ADN à n = 2 (voir fichier additionnel 1).

Dynamique des systèmes FB seul et combiné FF/FB. a Une rétroaction négative (proportionnelle) seule (courbe bleue), lors d’une perturbation, entraîne toujours un décalage par rapport à la valeur initiale. Un système FF/FB combiné comparable peut également présenter un décalage ; cependant, le I1-FFL du système FF/FB peut être réglé pour une adaptation parfaite. Le système FF/FB peut également avoir une approche plus rapide de l’état stable. b L’ajout d’une I1-FFL au système FB peut entraîner une dynamique plus stable. Pour ce choix de paramètres, le système FB seul est instable, tandis que le système FF/FB est stable. c Carte thermique de la partie réelle de la valeur propre principale (α) pour le système FB seul. La courbe noire est le contour pour lequel α = 0, ce qui indique la limite de stabilité du système FB uniquement. Des valeurs plus petites de K4 entraînent un système instable (voir partie B). Ici et ailleurs, les valeurs de α pour les autres contours (courbes rouges) sont indiquées directement sur le graphique. d Identique à C, mais pour le système combiné FF/FB. e Carte thermique de Δα, la différence entre les parties réelles des valeurs propres principales pour les deux systèmes. Sur le côté droit du contour zéro, les valeurs de Δα sont supérieures à zéro, ce qui indique que le système FF/FB a une approche plus rapide de l’état d’équilibre. Les courbes noires et blanches indiquent les limites de stabilité pour les systèmes FB seul et FF/FB, respectivement (voir aussi les parties C, D)

Pour déterminer la stabilité des systèmes FB seul et FF/FB combiné, nous avons calculé α, la partie réelle de la valeur propre principale (voir le fichier supplémentaire 1), pour des valeurs variables de K3, K4 (pour le système FF/FB, nous avons fixé K1 = 1, K2 = 0,1 ; Fig. 4c, d). Bien qu’aucun des deux systèmes ne soit clairement supérieur à l’autre, pour une activation modérée de W par Z (K4 ≈ 0,1 ou plus), une forte rétroaction négative (K3 < 0,1) tend à donner lieu à un système FB uniquement instable, alors que le système FF/FB est toujours stable. En effet, αFB – αFFFB > 0 pour cette région d’activation modérée de W (figure 4e). Même lorsque les deux systèmes sont stables, αFFFB < αFB implique que le système FF/FB atteint l’état d’équilibre plus rapidement (voir, par exemple, la Fig. 4a). Cependant, l’ajout d’une deuxième couche de contrôle peut souvent entraîner des compromis, où un avantage obtenu dans un domaine entraîne un désavantage dans un autre. Par conséquent, nous allons comparer les performances du modèle FB seul et du modèle combiné FF/FB en ce qui concerne deux autres objectifs : le pic normalisé, P, et le pic absolu, zpeak.

Un système combiné FF/FB réalise un compromis sur plusieurs objectifs

Pour comparer les performances du système FF/FB par rapport à celles du système FB seul, nous avons calculé la valeur du pic de z dans les deux systèmes tout en faisant varier K3, K4 de 0,01 à 1. Tout d’abord, nous avons constaté que le pic normalisé, P, du système FB seul allait d’environ 0,7 à 1 (Fig. 5a). D’autre part, le pic normalisé pour le système FF/FB est presque indépendant des valeurs de K3, K4 et est d’environ 1,256 (voir fichier additionnel 1 : figure S6). Par conséquent, le système FF/FB surpasse le système FB seul sur cette métrique également : le système FF/FB est une amélioration de 30-80% par rapport au système FB seul (Fig. 5b).

Comparaison des mesures de performance du système FB seul avec le système combiné FF/FB. a Heatmap du pic normalisé, P, pour le système FB seul. Ce paramètre (et d’autres définis dans cette figure) est indéfini pour les systèmes instables. b Rapport de P pour le système FF/FB à celui pour FB seul. Selon cette métrique, le système FF/FB est toujours plus performant que le système FB seul. Cependant, la métrique PFFFB est à peu près constante à 0,46, quelles que soient les valeurs de K3, K4 (voir fichier supplémentaire 1). c Carte thermique du pic absolu, Zpeak, pour le système FF/FB et les valeurs variables de K3, K4. Notez que la valeur du pic absolu est, au mieux, de 0,06. Bien que cette valeur soit faible, elle est adéquate. d Rapport du pic absolu pour le système FF/FB à celui pour FB seulement. Selon cette mesure, le système FB seul est toujours plus performant que le système FF/FB (rapport inférieur à un). Cependant, étant donné les autres objectifs de performance pour lesquels le système FF/FB est supérieur, il s’agit d’un compromis acceptable

Un inconvénient majeur du système combiné est que, avec deux répresseurs de la sortie (Y et W), les niveaux de la sortie (par rapport à ses niveaux maximums possibles) sont faibles. Pour les valeurs de paramètres choisies (K1 = 1, K2 = 0,1), zpeak reste au-dessus de la limite inférieure de 0,01 (voir Fig. 2e). Cependant, cette valeur est nettement inférieure à celle du zpeak observée dans le système FB seul (Fig. 5d). Au total, le système combiné FF/FB est supérieur dans sa dynamique et sa valeur de pic normalisée, tout en faisant un compromis sur la valeur de pic absolue.