Fonction de Gompertz

Courbe de GompertzEdit

La biologie des populations est particulièrement concernée par la fonction de Gompertz. Cette fonction est particulièrement utile pour décrire la croissance rapide d’une certaine population d’organismes tout en étant capable de rendre compte de l’asymptote horizontale éventuelle, une fois que la capacité de charge est déterminée (plateau du nombre de cellules/population).

Elle est modélisée comme suit :

N ( t ) = N 0 exp ( ln ( N I / N 0 ) ( 1 – exp ( – b t ) ) ). {\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}

où :

• t est le temps
• N0 est la quantité initiale de cellules
• NI est le nombre de cellules/population de plateau
• b est le taux initial de croissance de la tumeur

Cette considération de la fonction du nombre de cellules de plateau la rend utile pour imiter avec précision la dynamique de population de la vie réelle. La fonction adhère également à la fonction sigmoïde, qui est la convention la plus largement acceptée pour détailler généralement la croissance d’une population. En outre, la fonction utilise le taux de croissance initial, que l’on observe couramment dans les populations de cellules bactériennes et cancéreuses, qui passent par la phase logarithmique et croissent rapidement en nombre. Malgré sa popularité, la fonction taux initial de croissance tumorale est difficile à prédéterminer étant donné les différents microcosmes présents chez un patient, ou les différents facteurs environnementaux dans le cas de la biologie des populations. Chez les patients atteints de cancer, des facteurs tels que l’âge, le régime alimentaire, l’origine ethnique, les prédispositions génétiques, le métabolisme, le mode de vie et l’origine des métastases jouent un rôle dans la détermination du taux de croissance tumorale. La capacité de charge est également censée changer en fonction de ces facteurs, de sorte que la description de tels phénomènes est difficile.

Courbe métaboliqueEdit

La fonction métabolique s’attache particulièrement à rendre compte du taux de métabolisme dans un organisme. Cette fonction peut être appliquée à la surveillance des cellules tumorales ; le taux métabolique est dynamique et présente une grande flexibilité, ce qui le rend plus précis pour détailler la croissance du cancer. La courbe métabolique prend en considération l’énergie que l’organisme fournit pour maintenir et créer des tissus. Cette énergie peut être considérée comme le métabolisme et suit un schéma spécifique dans la division cellulaire. La conservation de l’énergie peut être utilisée pour modéliser cette croissance, indépendamment des différences de masse et de temps de développement. Tous les taxons partagent un modèle de croissance similaire et ce modèle, par conséquent, considère la division cellulaire, fondement du développement d’une tumeur.

B = ∑ C ( N C B C ) + ( E C d N C d t ) {\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{{operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)}

• B = énergie que l’organisme utilise au repos
• NC = nombre de cellules dans l’organisme donné
• BC= taux métabolique d’une cellule individuelle
• NCBC= énergie nécessaire au maintien du tissu
• EC= énergie nécessaire pour créer un nouveau tissu à partir d’une cellule individuelle

La différenciation entre l’énergie utilisée au repos et le travail du taux métabolique permet au modèle de déterminer plus précisément le taux de croissance. L’énergie au repos est inférieure à l’énergie utilisée pour maintenir un tissu, et représentent ensemble l’énergie nécessaire pour maintenir le tissu existant. L’utilisation de ces deux facteurs, aux côtés de l’énergie requise pour créer un nouveau tissu, cartographie de manière exhaustive le taux de croissance et, de plus, conduit à une représentation précise de la phase de retard.

Croissance des tumeursEdit

Dans les années 1960, A.K. Laird a pour la première fois utilisé avec succès la courbe de Gompertz pour ajuster les données de croissance des tumeurs. En effet, les tumeurs sont des populations cellulaires se développant dans un espace confiné où la disponibilité des nutriments est limitée. En désignant la taille de la tumeur par X(t), il est utile d’écrire la courbe de Gompertz comme suit:

X ( t ) = K exp ( log ( X ( 0 ) K ) exp ( – α t ) ) {\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)}

où:

• X(0) est la taille de la tumeur au moment de l’observation de départ;
• K est la capacité de charge, c’est-à-dire la taille maximale qui peut être atteinte.c’est-à-dire la taille maximale qui peut être atteinte avec les nutriments disponibles. En fait, c’est :
  lim t → + ∞ X ( t ) = K {\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}

  

indépendamment de X(0)>0. Notons qu’en l’absence de thérapies etc. habituellement, c’est X(0)<K, alors que, en présence de thérapies, ce peut être X(0)>K;

• α est une constante liée à la capacité de prolifération des cellules.
• log() fait référence au logarithme naturel.

On peut montrer que la dynamique de X(t) est régie par l’équation différentielle de Gompertz :

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}\right)X(t)}

i.e. est de la forme lorsqu’on le décompose:

X ′ ( t ) = F ( X ( t ) ) X ( t ) , avec F ′ ( X ) ≤ 0 , {\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,}

F(X) est le taux de prolifération instantané de la population cellulaire, dont le caractère décroissant est dû à la compétition pour les nutriments due à l’augmentation de la population cellulaire, de manière similaire au taux de croissance logistique. Il existe cependant une différence fondamentale : dans le cas logistique, le taux de prolifération d’une petite population cellulaire est fini :

F ( X ) = α ( 1 – ( X K ) ν ) ⇒ F ( 0 ) = α < + ∞ {\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }

alors que dans le cas de Gompertz, le taux de prolifération est non borné :

lim X → 0 + F ( X ) = lim X → 0 + α log ( K X ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}\alpha \log \left({\frac {K}{X}\right)=+\fty }

Comme remarqué par Steel et par Wheldon, le taux de prolifération de la population cellulaire est finalement limité par le temps de division cellulaire. Ainsi, cela pourrait être une preuve que l’équation de Gompertz n’est pas bonne pour modéliser la croissance des petites tumeurs. De plus, plus récemment, il a été remarqué que, en incluant l’interaction avec le système immunitaire, Gompertz et d’autres lois caractérisées par un F(0) non borné excluraient la possibilité d’une surveillance immunitaire.

L’étude théorique de Fornalski et al. a montré la base biophysique de la courbe de Gompertz pour la croissance du cancer, sauf dans la phase très précoce où la fonction parabolique est plus appropriée. Ils ont également trouvé que la courbe de Gompertz décrit le cas le plus typique parmi la grande famille des fonctions de la dynamique du cancer.

Croissance de Gompertz et croissance logistiqueEdit

L’équation différentielle de Gompertz

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}\right)X(t)}

est le cas limite de l’équation différentielle logistique généralisée

X ′ ( t ) = α ν ( 1 – ( X ( t ) K ) 1 ν ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}right)X(t)}

(où ν > 0 {\displaystyle \nu >0}

est un nombre réel positif) car

lim ν → + ∞ ν ( 1 – x 1 / ν ) = – log ( x ) {\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}

.

En outre, il y a un point d’inflexion dans le graphe de la fonction logistique généralisée lorsque

X ( t ) = ( ν ν + 1 ) ν K {\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}\right)^{\nu }K}

et un dans le graphe de la fonction de Gompertz lorsque

X ( t ) = K e = K ⋅ lim ν → + ∞ ( ν ν + 1 ) ν {\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu}{\nu +1}}\right)^{\nu }}

.

Modélisation de la trajectoire de l’infection COVID-19Edit

Fonction logistique généralisée (courbe de croissance de Richards) dans la modélisation épidémiologique

Une fonction logistique généralisée, également appelée courbe de croissance de Richards, est largement utilisée dans la modélisation des trajectoires d’infection COVID-19. La trajectoire d’infection est une série chronologique quotidienne de données pour le nombre cumulatif de cas infectés pour un sujet tel que le pays, la ville, l’état, etc. Il existe des variantes de reparamétrisation dans la littérature : une des formes fréquemment utilisées est

f ( t ; θ 1 , θ 2 , θ 3 , ξ ) = θ 1 1 / ξ {\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{^{1/\xi }}}}

où θ 1 , θ 2 , θ 3 {\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}

sont des nombres réels, et ξ {\displaystyle \xi }

est un nombre réel positif. La souplesse de la courbe f {\displaystyle f}

est due au paramètre ξ {\displaystyle \xi }

: (i) si ξ = 1 {\displaystyle \xi =1}

alors la courbe se réduit à la fonction logistique, et (ii) si ξ {\displaystyle \xi }

converge vers zéro, alors la courbe converge vers la fonction de Gompertz. Dans la modélisation épidémiologique, θ 1 {\displaystyle \theta _{1}}

, θ 2 {\displaystyle \theta _{2}}

, et θ 3 {\displaystyle \theta _{3}}

représentent respectivement la taille finale de l’épidémie, le taux d’infection et la phase de latence. Voir le panneau de droite pour un exemple de trajectoire d’infection lorsque ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) {\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}

sont désignés par ( 10 , 000 , 0.2 , 40 ) {\displaystyle (10,000,0.2,40)}

.

Trajectoires d’infection extrapolées de 40 pays sévèrement touchés par le COVID-19 et grande moyenne (de population) jusqu’au 14 mai

Un des avantages de l’utilisation de la fonction de croissance telle que la fonction logistique généralisée dans la modélisation épidémiologique est son expansion relativement facile au cadre du modèle à plusieurs niveaux en utilisant la fonction de croissance pour décrire les trajectoires d’infection de plusieurs sujets (pays, villes, états, etc.). Voir la figure ci-dessus. Un tel cadre de modélisation peut aussi être largement appelé modèle non linéaire à effets mixtes ou modèle non linéaire hiérarchique.

La loi de croissance Gomp-exEdit

Sur la base des considérations ci-dessus, Wheldon a proposé un modèle mathématique de croissance tumorale, appelé modèle Gomp-Ex, qui modifie légèrement la loi de Gompertz. Dans le modèle Gomp-Ex, on suppose qu’au départ, il n’y a pas de compétition pour les ressources, de sorte que la population cellulaire s’étend en suivant la loi exponentielle. Cependant, il existe un seuil de taille critique X C {\displaystyle X_{C}}

tel que pour X > X C {\displaystyle X>X_{C}}

. L’hypothèse selon laquelle il n’y a pas de concurrence pour les ressources est vraie dans la plupart des scénarios. Elle peut cependant être affectée par des facteurs limitants, cela nécessite la création de variables de sous-facteurs.

la croissance suit la loi de Gompertz :

F ( X ) = max ( a , α log ( K X ) ) {\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)}

de sorte que:

X C = K exp ( – a α ) . {\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}right).}

Il existe ici quelques estimations numériques pour X C {\displaystyle X_{C}}.