Est-ce que 1+2+3…. Est-il vraiment égal à -1/12?

Une vidéo de Numberphile postée au début du mois affirme que la somme de tous les entiers positifs est -1/12.

Je suis habituellement un fan de l’équipe de Numberphile, qui fait un excellent travail en rendant les mathématiques passionnantes et accessibles, mais cette vidéo m’a déçu. Il y a une façon significative d’associer le nombre -1/12 à la série 1+2+3+4…, mais à mon avis, il est trompeur de l’appeler la somme des séries. En outre, la façon dont elle est présentée contribue à une idée fausse que je rencontre souvent en tant qu’éducateur en mathématiques, à savoir que les mathématiciens changent arbitrairement les règles sans raison apparente, et que les étudiants n’ont aucun espoir de savoir ce qui est autorisé ou non dans une situation donnée. Dans un post sur cette vidéo, le physicien Dr. Skyskull déclare : « Une grande partie de la population, ce qui est déprimant, suppose automatiquement que les mathématiques sont une sorte de magie bizarre et non intuitive que seuls les super-intelligents peuvent comprendre. Montrer un résultat aussi fou sans qualification ne fait que renforcer ce point de vue et, à mon avis, rend un mauvais service aux mathématiques. »

L’addition est une opération binaire. Vous mettez deux nombres, et vous obtenez un nombre. Mais vous pouvez l’étendre à d’autres nombres. Si vous avez, par exemple, trois nombres que vous voulez additionner, vous pouvez d’abord additionner deux quelconques d’entre eux, puis ajouter le troisième à la somme obtenue. Nous pouvons continuer à faire cela pour n’importe quel nombre fini de termes à additionner (et les lois de l’arithmétique disent que nous obtiendrons la même réponse quel que soit l’ordre dans lequel nous les additionnons), mais lorsque nous essayons d’additionner un nombre infini de termes ensemble, nous devons faire un choix sur ce que signifie l’addition. La façon la plus courante de traiter l’addition infinie est d’utiliser le concept de limite.

En gros, on dit que la somme d’une série infinie est un nombre L si, en ajoutant de plus en plus de termes, on se rapproche de plus en plus du nombre L. Si L est fini, on dit que la série converge. Un exemple de série convergente est 1/2+1/4+1/8+1/16….. Cette série converge vers le nombre 1. Il est assez facile de comprendre pourquoi : après le premier terme, nous sommes à mi-chemin de 1. Après le deuxième terme, nous sommes à la moitié de la distance restante de 1, et ainsi de suite.

Le paradoxe de Zeno dit que nous n’arriverons jamais réellement à 1, mais d’un point de vue limite, nous pouvons nous en approcher autant que nous le voulons. C’est la définition de « somme » que les mathématiciens entendent généralement lorsqu’ils parlent de séries infinies, et cela correspond fondamentalement à notre définition intuitive des mots « somme » et « égal ». »

Mais toutes les séries ne sont pas convergentes dans ce sens (nous appelons les séries non convergentes divergentes). Certaines, comme 1-1+1-1…, pourraient rebondir entre différentes valeurs au fur et à mesure que nous ajoutons des termes, et certaines, comme 1+2+3+4… pourraient devenir arbitrairement grandes. Il est donc assez clair qu’en utilisant la définition limite de la convergence pour une série, la somme 1+2+3… ne converge pas. Si je disais :  » Je pense que la limite de cette série est un certain nombre fini L « , je pourrais facilement déterminer le nombre de termes à ajouter pour aller aussi loin que je le souhaite au-dessus du nombre L.

Il existe des façons significatives d’associer le nombre -1/12 à la série 1+2+3…, mais je préfère ne pas appeler -1/12 la  » somme  » des entiers positifs. Une façon d’aborder le problème est avec l’idée de continuation analytique en analyse complexe.

Disons que vous avez une fonction f(z) qui est définie quelque part dans le plan complexe. Nous appellerons le domaine où la fonction est définie U. Vous pourriez trouver un moyen de construire une autre fonction F(z) qui est définie dans une région plus grande telle que f(z)=F(z) chaque fois que z est dans U. Donc la nouvelle fonction F(z) est en accord avec la fonction originale f(z) partout où f(z) est définie, et elle est définie à certains points en dehors du domaine de f(z). La fonction F(z) est appelée la suite analytique de f(z). (« Le » est l’article approprié à utiliser parce que la suite analytique d’une fonction est unique.)

La suite analytique est utile parce que les fonctions complexes sont souvent définies comme des séries infinies impliquant la variable z. Cependant, la plupart des séries infinies ne convergent que pour certaines valeurs de z, et ce serait bien si nous pouvions obtenir que les fonctions soient définies à plus d’endroits. La suite analytique d’une fonction peut définir des valeurs pour une fonction en dehors de la zone où converge sa définition en série infinie. Nous pouvons dire 1+2+3…=-1/12 en réadaptant la suite analytique d’une fonction à sa définition originale de série infinie, un geste qui devrait s’accompagner d’un clin d’œil à la Lucille Bluth.

La fonction en question est la fonction zêta de Riemann, qui est célèbre pour ses liens profonds avec des questions sur la distribution des nombres premiers. Lorsque la partie réelle de s est supérieure à 1, la fonction zêta de Riemann ζ(s) est définie comme étant Σ∞n=1n-s. (Nous utilisons généralement la lettre z pour la variable d’une fonction complexe. Dans ce cas, nous utilisons s par déférence à Riemann, qui a défini la fonction zêta dans un article de 1859). Cette série infinie ne converge pas lorsque s=-1, mais vous pouvez voir que lorsque nous mettons s=-1, nous obtenons 1+2+3….. La fonction zêta de Riemann est la suite analytique de cette fonction dans tout le plan complexe moins le point s=1. Lorsque s=-1, ζ(s)=-1/12. En collant un signe égal entre ζ(-1) et la série infinie formelle qui définit la fonction dans certaines autres parties du plan complexe, on obtient l’affirmation que 1+2+3…=-1/12.

La continuation analytique n’est pas la seule façon d’associer le nombre -1/12 à la série 1+2+3….. Pour une très bonne explication approfondie d’une manière qui ne nécessite pas d’analyse complexe – complétée par des exercices de devoirs – consultez le post de Terry Tao sur le sujet.

La vidéo de Numberphile m’a dérangé parce qu’ils ont eu l’occasion de parler de ce que cela signifie d’attribuer une valeur à une série infinie et d’expliquer différentes manières de le faire. Si vous connaissez déjà un peu le sujet, vous pouvez regarder la vidéo et une vidéo connexe plus longue sur le sujet et attraper des bribes de ce qui se passe vraiment. Mais le facteur « wow » de la vidéo vient du fait qu’il n’y a aucun sens à ce qu’un groupe de nombres positifs s’additionne à un nombre négatif si le public suppose que « somme » signifie ce qu’il pense.

Si les Numberphiles étaient plus explicites sur les autres façons d’associer des nombres à des séries, ils auraient pu faire plus que simplement faire croire aux gens que les mathématiciens changent toujours les règles. À la fin de la vidéo, le producteur Brady Haran demande au physicien Tony Padilla si, en additionnant indéfiniment des nombres entiers sur sa calculatrice et en appuyant sur le bouton « égal » à la fin, on obtient -1/12. Padilla répond effrontément : « Tu dois aller jusqu’à l’infini, Brady ! ». Mais la réponse aurait dû être « Non ! » Ici, je pense qu’ils ont manqué une occasion de préciser qu’ils utilisent une autre façon d’attribuer une valeur à une série infinie qui aurait rendu la vidéo beaucoup moins trompeuse.

D’autres personnes ont écrit de bons trucs sur les mathématiques de cette vidéo. Après un billet de blog Slate trop crédule à ce sujet, Phil Plait a écrit une explication beaucoup plus pondérée des différentes façons d’attribuer une valeur à une série. Si vous souhaitez travailler sur les détails de la « preuve » par vous-même, John Baez s’occupe de vous. Blake Stacey et Dr. Skyskull expliquent comment substituer le nombre -1/12 à la somme des entiers positifs peut être utile en physique. Richard Elwes publie un « avertissement de santé et de sécurité » sur les séries infinies impliquant mon vieux favori, la série harmonique. Je pense que la prolifération des discussions sur la signification de cette série infinie est une bonne chose, même si j’aurais aimé qu’une plus grande partie de cette discussion soit dans la vidéo, qui a plus d’un million de vues sur YouTube jusqu’à présent !

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