Analyse de complexité d’un modèle de jeu de duopole de Cournot-Bertrand avec information limitée
On novembre 23, 2021 by adminAbstrait
On considère un modèle de jeu de duopole mixte de Cournot-Bertrand avec information limitée sur le marché et l’adversaire, où le marché a une demande linéaire et deux firmes ont le même coût marginal fixe. Les principes de prise de décision sont rationnels bornés. Une entreprise choisit la production et l’autre choisit le prix comme variable de décision, avec l’hypothèse qu’il existe un certain degré de différenciation entre les produits offerts par les entreprises pour éviter que l’ensemble du marché soit occupé par celle qui applique un prix inférieur. L’existence d’un point d’équilibre de Nash et sa stabilité locale du jeu sont étudiés. La dynamique complexe, telle que les scénarios de bifurcation et la voie vers le chaos, est présentée à l’aide de graphiques de bassin de paramètres par expérience numérique. Les influences des paramètres sur la performance du système sont discutées du point de vue de l’économie.
1. Introduction
Un oligopole est une structure de marché entre le monopole et la concurrence parfaite, dans laquelle le marché est complètement contrôlé par seulement un petit nombre de firmes produisant les mêmes ou des productions homogènes . S’il y a deux entreprises, on parle de duopole tandis que s’il y a trois concurrents, on parle de triopole.
L’oligopole de Cournot et l’oligopole de Bertrand sont les deux modèles les plus notables de la théorie de l’oligopole. Dans le modèle de Cournot, les entreprises contrôlent leur niveau de production, ce qui influence le prix du marché, tandis que dans le modèle de Bertrand, les entreprises choisissent le prix d’une unité de produit pour affecter la demande du marché.
Une grande partie de la littérature traite de la concurrence de Cournot ou de Bertrand dans un marché oligopolistique , mais il n’existe qu’un nombre considérablement plus faible de travaux consacrés à la concurrence de Cournot-Bertrand, qui se caractérisent par le fait que le marché peut être subdivisé en deux groupes d’entreprises, dont le premier ajuste de manière optimale les prix et l’autre ajuste de manière optimale sa production pour assurer un profit maximal .
Le modèle de Cournot-Bertrand existe dans une économie réaliste. Par exemple, dans un marché de duopole, une entreprise est en concurrence dans une position dominante, et elle choisit la production comme variable de décision tandis que l’autre est en désavantage, et elle choisit le prix comme variable de décision afin de gagner plus de part de marché. Comme nous le savons jusqu’à présent, Bylka et Komar et Singh et Vives sont les premiers auteurs à analyser les duopoles, où une entreprise est en concurrence sur les quantités et l’autre sur les prix. Häckner , Zanchettin , et Arya et al. ont montré que dans certains cas, la concurrence de Cournot-Bertrand peut être optimale. Récemment, C. H. Tremblay et V. J. Tremblay ont analysé le rôle de la différenciation des produits pour les propriétés statiques de l’équilibre de Nash d’un duopole de Cournot-Bertrand. Naimzada et Tramontana ont considéré un modèle de duopole de Cournot-Bertrand, qui est caractérisé par des équations de différence linéaire. Ils ont également analysé le rôle de la dynamique de meilleure réponse et du mécanisme d’ajustement adaptatif pour la stabilité de l’équilibre.
Dans ce papier, nous mettons en place un modèle de duopole de Cournot-Bertrand, en supposant que deux entreprises choisissent la production et le prix comme variable de décision, respectivement, et qu’elles ont toutes des attentes rationnelles bornées. Le système de jeu peut être décrit par des équations de différence non linéaires, ce qui modifie et étend les résultats de Naimzada et Tramontana, qui considéraient les entreprises avec des attentes statiques et décrites par des équations de différence linéaires. La recherche conduira à une bonne orientation pour les décideurs de l’entreprise pour faire la meilleure prise de décision.
Le papier est organisé comme suit le modèle de jeu de Cournot-Bertrand avec des attentes rationnelles bornées est décrit dans la section 2. Dans la section 3, l’existence et la stabilité des points d’équilibre sont étudiées. Les comportements dynamiques sous certains changements des paramètres de contrôle du jeu sont étudiés par des simulations numériques dans la section 4. Enfin, une conclusion est tirée dans la section 5.
2. Le modèle de jeu de Cournot-Bertrand avec des espérances rationnelles bornées
Nous considérons un marché servi par deux entreprises et l’entreprise produit le bien , . Il existe un certain degré de différenciation entre les produits et . La firme 1 est en concurrence sur la production comme dans un duopole de Cournot, tandis que la firme 2 fixe son prix comme dans le cas de Bertrand. Supposons que les entreprises fassent leurs choix stratégiques simultanément et que chaque entreprise connaisse la production et le prix de chaque autre entreprise.
Les fonctions de demande inverses des produits de la variété 1 et 2 proviennent de la maximisation par le consommateur représentatif de la fonction d’utilité suivante : soumise à la contrainte de budget et sont données par les équations suivantes (la preuve détaillée voir ) : où le paramètre désigne l’indice de différenciation ou de substitution des produits. Le degré de différenciation des produits augmente avec . Les produits et sont homogènes lorsque , et chaque entreprise est un monopoleur lorsque , tandis qu’une valeur négative implique que les produits sont complémentaires. Supposons que les deux entreprises ont le même coût marginal , et que la fonction de coût est de forme linéaire : Nous pouvons écrire le système de demande dans les deux variables stratégiques, et : Les fonctions de profit de la firme 1 et 2 sont de la forme :
Nous supposons que les deux firmes n’ont pas une connaissance complète du marché et de l’autre acteur, et qu’elles construisent leurs décisions sur la base du profit marginal attendu. Si le profit marginal est positif (négatif), elles augmentent (diminuent) leur production ou leur prix à la période suivante ; c’est-à-dire qu’elles sont des acteurs rationnels bornés . Alors le système dynamique mixte de Cournot-Bertrand peut être décrit par les équations de différence non linéaires : où et représentent la vitesse d’ajustement des deux joueurs dans chaque relation, respectivement.
3. Points d’équilibre et stabilité locale
Le système (6) a quatre points d’équilibre : où , . , , et sont les points d’équilibre limite, et est l’unique point d’équilibre de Nash à condition que et , qui nécessite . Sinon, il y aura une entreprise hors du marché.
Afin d’étudier la stabilité locale des points d’équilibre, soyons la matrice jacobienne du système (6) correspondant aux variables d’état , puis où , . La stabilité des points d’équilibre sera déterminée par la nature des valeurs propres d’équilibre de la matrice jacobienne évaluée aux points d’équilibre correspondants.
Proposition 1. Les équilibres limites , , et du système (6) sont des points d’équilibre instables lorsque .
Preuve. Pour l’équilibre , la matrice jacobienne du système (6) est égale à Ces valeurs propres qui correspondent à l’équilibre sont les suivantes : Évidemment , alors le point d’équilibre est instable.
Aussi à la matrice jacobienne devient une matrice triangulaire Ces valeurs propres qui correspondent à l’équilibre sont les suivantes : Lorsque , évidemment . Donc, le point d’équilibre est instable. De même on peut prouver que est également instable.
D’un point de vue économique, nous sommes plus intéressés par l’étude des propriétés de stabilité locale du point d’équilibre de Nash , dont les propriétés ont été profondément analysées dans .
La matrice jacobienne évaluée au point d’équilibre de Nash est la suivante
La trace et le déterminant de sont notés comme et , respectivement. En ce qui concerne le point , , et , il est maintenant plus difficile de calculer explicitement les valeurs propres, mais il est toujours possible d’évaluer la stabilité du point d’équilibre de Nash en utilisant les conditions de stabilité suivantes, connues sous le nom de conditions de Jury : Les inégalités ci-dessus définissent une région dans laquelle le point d’équilibre de Nash est localement stable. Nous pouvons également en apprendre davantage sur la région de stabilité par le biais de simulations numériques. Afin d’étudier la dynamique complexe du système (6), il est pratique de prendre les valeurs des paramètres comme suit : La figure 1 montre dans le plan des paramètres les régions de stabilité et d’instabilité. D’après la figure, nous pouvons constater qu’une vitesse d’ajustement trop élevée fera perdre la stabilité au point d’équilibre de Nash. Nous trouvons également que la vitesse d’ajustement du prix est plus sensible que la vitesse de la production, et quand environ , le point d’équilibre de Nash perdra sa stabilité, tandis qu’environ le point d’équilibre de Nash le fera.
La région de stabilité et d’instabilité.
4. Les effets des paramètres sur la stabilité du système
Les tracés de bassin de paramètres (également appelés diagrammes de bifurcation 2D) sont un outil plus puissant dans l’analyse numérique de la dynamique non linéaire que les diagrammes de bifurcation 1D , qui attribue différentes couleurs dans un espace de paramètres 2D aux cycles stables de différentes périodes. Dans cette section, les diagrammes de bassin de paramètres seront utilisés pour analyser les effets de la vitesse d’ajustement des joueurs et de l’indice de différenciation des produits sur la stabilité du système. Nous avons fixé et choisi les valeurs initiales suivantes : .
4.1. Les effets de la vitesse d’ajustement des joueurs sur la stabilité du système
La figure 2 présente le bassin des paramètres par rapport aux paramètres lorsque et attribue des couleurs différentes aux états stables stables (bleu foncé) ; aux cycles stables de périodes 2 (bleu clair), 4 (violet), et 8 (vert) (les quatre premiers cycles d’une bifurcation de doublement de période cheminant vers le chaos) et aux périodes 3 (rouge), 5 (orange), et 7 (rose) (cycles stables de faible ordre de période impaire) ; au chaos (jaune) ; à la divergence (blanc) (ce qui signifie qu’un des acteurs sera hors du marché en économie).
Le bassin des paramètres pour .
Nous pouvons constater que lorsque les paramètres traversent les frontières comme les flèches noires et , le système (6) perd sa stabilité par une bifurcation de bascule (appelée bifurcation de doublement de période dans le système continu), comme le montrent les figures 3 et 4. Mais lorsque les paramètres traversent les frontières comme la flèche , le comportement dynamique du système est plus compliqué, et il entre d’abord dans le chaos par une bifurcation de Neimark-Sacker (appelée bifurcation de Hopf dans un système continu), entre ensuite dans la période 2, puis évolue vers le chaos par une bifurcation flip séparément, comme le montre la figure 5. Nous remarquons également que dans la région jaune (chaos), il y a une ligne rouge et des points orange (cycle impair), c’est-à-dire qu’il y a un cycle impair intermittent dans le chaos, comme le montrent les figures 3 à 5. Il est bien connu que, pour les cartes continues 1D, un cycle avec une période impaire implique un comportement dynamique chaotique (le soi-disant chaos topologique) selon le célèbre résultat « period 3 implies chaos » de Li et Yorke .
Diagramme de bifurcation pour et varie de 1,5 à 3,5.
Diagramme de bifurcation pour et varie de 1,5 à 2,8.
Diagramme de bifurcation pour et varie de 1,8 à 2,8.
Du point de vue de l’économie, la vitesse d’ajustement des entreprises et doit être dans une certaine plage ; sinon, le système sortira la fluctuation du cycle, puis dans le chaos, ce qui signifie irrégulier, sensible aux valeurs initiales, imprévisible et mauvais pour l’économie. Nous constatons également que la plage ajustable de est plus grande que celle de , ce qui signifie que l’ajustement du prix est plus sensible que celui de la production, et que la guerre des prix est plus facile à faire entrer le marché dans le chaos.
4.2. Les effets de l’indice de différenciation des produits sur la stabilité du système
Afin de trouver les influences de l’indice de différenciation des produits sur la stabilité du système, les figures 6, 7, 8 et 9 donnent les bassins des paramètres pour , , et séparément.
Le bassin des paramètres pour .
Le bassin des paramètres pour .
Le bassin des paramètres pour .
Le bassin des paramètres pour .
D’après la comparaison, nous pouvons voir que la zone bleu foncé devient plus grande et la zone jaune devient plus petite avec l’augmentation de l’indice de différenciation des produits ; c’est-à-dire que le degré de différenciation des produits est plus petit, et la plage réglable des paramètres et pour que le système reste stable deviendra plus grande, ce qui signifie plus de concurrence entre les produits des deux entreprises.
5. Conclusions
Dans ce papier, nous proposons un modèle de jeu mixte de Cournot-Bertrand, en supposant que les firmes n’ont pas l’information complète du marché et de l’adversaire, et elles prennent leurs décisions en fonction de leur propre profit marginal. La fonction de demande et de coût est supposée être linéaire et le modèle peut être décrit par des équations de différence. L’équilibre limite est toujours instable et l’existence et la stabilité locale de l’équilibre de Nash sont analysées. De plus, nous analysons les effets des paramètres (la vitesse d’ajustement et l’indice de différenciation des produits) sur la stabilité du système, et différentes bifurcations et voies vers le chaos sont analysées à l’aide de graphiques de bassins de paramètres. Les modèles de jeu de Cournot-Bertrand sous différents environnements de marketing doivent être considérés, et ce sera un sujet intéressant pour une étude future.
Remerciements
Les auteurs remercient les réviseurs pour leur lecture attentive et pour avoir fourni quelques suggestions pertinentes. La recherche a été soutenue par la Fondation nationale des sciences naturelles de Chine (n° 61273231).
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