4.3 : Compressibilité et expansivité

Dérivation d’une expression pour une dérivée partielle (type I) : La règle réciproque

Considérons un système qui est décrit par trois variables, et pour lequel on peut écrire une contrainte mathématique sur les variables

\

Dans ces circonstances, on peut spécifier l’état du système en faisant varier seulement deux paramètres indépendamment parce que le troisième paramètre aura une valeur fixe. Ainsi, on pourrait définir deux fonctions : \(z(x, y)\) et \(y(x,z)\).

Cela permet d’écrire les différentiels totaux pour \(dz\) et \(dy\) comme suit

\

et

Substituer l’expression de l’équation \ref{eq6} dans l’équation \ref{eq5} :

\\N{7952>= \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_y dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial y} \right) y}{\partial x} \right)_z dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz \label{eq7} \end{align}\]

Si le système subit un changement suivant une trajectoire où \(x\) est maintenu constant (\(dx = 0\)), cette expression se simplifie en

Et ainsi pour les changements pour lesquels \(dz \neq 0\),

Cette règle réciproque est très pratique dans la manipulation des dérivées partielles. Mais elle peut aussi être dérivée de manière directe, bien que moins rigoureuse. Commencez par écrire la différentielle totale pour \(z(x,y)\) (Equation \ref{eq5}):

Maintenant, divisez les deux côtés par \(dz\) et contraignez à la constante \(x\).

Notant que

et

L’équation \ref{eq10} devient

ou

Cette méthode « formelle » de manipulation des dérivées partielles est pratique et utile, bien qu’elle ne soit pas mathématiquement rigoureuse. Cependant, elle fonctionne pour le type de dérivées partielles rencontrées en thermodynamique, car les variables sont des variables d’état et les différentielles sont exactes.