Voisiko Pi olla äärellinen?

Onko mahdollista, että pi on äärellinen, mutta emme ole laskeneet sitä kokonaan? ilmestyi alun perin sivustolla Quora: the place to gain and share knowledge, empowering people to learn from others and better understand the world.

Answer by Alon Amit, PhD in Mathematics, on Quora:

Onko mahdollista, että pi on äärellinen, mutta emme ole laskeneet sitä kokonaan?

Ensimmäinen reaktioni tähän ja moniin muihin samankaltaisiin kysymyksiin on raivostuminen. Ihanko totta? Taasko? Aloitan kuitenkin muutamalla suoralla vastauksella, ennen kuin ryhdyn mittavaan kiukutteluun.

Ei ole mahdollista, että π:n desimaalilaajennus on äärellinen, emmekä vain ole olleet tarpeeksi kärsivällisiä. π on irrationaalinen luku, ja irrationaalisilla luvuilla on päättymättömät ja toistumattomat desimaalilaajennukset. Tämä on tosiasia, ei uskomus tai toivo.

On mahdollista, että se, joka opetti sinulle π:n desimaalilaajennuksesta, esitti sen virheellisesti muodossa ”emme ole koskaan onnistuneet pääsemään loppuun asti” tai ”emme ole koskaan löytäneet kaavaa” tai ”emme ole pystyneet laskemaan sitä kokonaan”. Tällaiset väitteet ovat hölynpölyä. Tiedämme, mikä π on täydellä tarkkuudella, ja voimme todistaa, että se on irrationaalinen, aivan kuten voimme todistaa, että √17 on.

Tämä on tiedetty jo 250 vuoden ajan.

Sinun pitäisi myös tajuta, että desimaaliulottuvuudet ovat yleensä hirvittävän huonoja lukujen esittämisessä ”täydellisesti”. Ne eivät osaa esittää edes 1/7:ää kokonaisuudessaan. On olemassa monia muita tapoja esittää lukuja, ja π:llä on paljon täysin äärellisiä ja selkeitä esitystapoja.

Loppujen lopuksi, älä anna harhautua luulemaan, että ”π on ääretön”. Se ei ole. Se on äärellinen luku, pienempi kuin 44. Jälleen kerran desimaalilaajennus vain hämmentää sinua. Et kai sanoisi, että 1/7 on ääretön? Tai √2?

Ja nyt… haluaisin todella tietää: Miksi? Miksi kysymys nousee jatkuvasti esiin, uudestaan ja uudestaan ja uudestaan ja uudestaan ja uudestaan? Miksi ihmiset ovat niin huolissaan π:n desimaalilaajennuksesta? Mikä ongelma siinä on, että se on ääretön? Onko se jonkinlainen häpeäpilkku olemassaolollemme? Este, joka meidän on kierrettävä? Ongelma? Huoli? Miksi?

Voiko π olla äärellinen luku ei-euklidisessa avaruudessa?

Onko olemassa perusta, jossa pi on rationaaliluku?

Voisimmeko luoda matematiikan, joka pakottaa tietyt ei-reaaliluvut, kuten piin, olemaan äärellisiä?

Mitkä olisivat seuraukset, jos Pi:llä olisi äärellinen määrä numeroita?

Jos emme voi laskea π:tä tarkasti, miten voimme luottavaisin mielin väittää, että sen esittämiseen tarvitaan äärettömän monta desimaalia?

Onko pi:n desimaaliesityksen kaikki numerot mahdollista laskea kokonaan?

Miksi emme ole vielä löytäneet π:n tarkkaa arvoa?

Miten monta numeroa PI:llä olisi, jos se loppuisi?

Pystymmekö täydentämään π:n?

Onko pi äärellinen vai ääretön luku?

Kysymykseen on vastattu satoja kertoja sadoissa eri muunnelmissa. π on äärellinen luku. Se on irrationaalinen. Se on laskettavissa. Se on äärellisesti määriteltävissä. Sillä on ”kuvio”. Jotkin sen esitystavat (huonot) vaativat äärettömän monta merkkiä. Monet muut esitystavat (paljon paremmat) vaativat vain äärellisen monta merkkiä.

π:n desimaalilaajennuksen numeroilla ei ole väliä. Vakavasti puhuen, älkää välittäkö niistä. Monilla, monilla luvuilla on äärettömän pitkät desimaalilaajennukset. Jotkut niistä toistuvat. Useimmat eivät ole. Ei se haittaa. Se ei ole ongelma. Se ei ole ongelma, joka meidän on korjattava, se ei ole ongelma, jonka voimme korjata, ja itse asiassa se ei ole ongelma lainkaan.

Desimaalilukujen esitystavat ovat usein huonoin mahdollinen tapa ajatella lukua.

Tämä kysymys ilmestyi alun perin sivustolla Quora – paikka, jossa voi hankkia ja jakaa tietoa, mikä antaa ihmisille mahdollisuuden oppia toisilta ja ymmärtää maailmaa paremmin. Voit seurata Quoraa Twitterissä, Facebookissa ja Google+:ssa. Lisää kysymyksiä:

• Irrationaaliluvut: Mitkä mielenkiintoiset irrationaalilukujen yhdistelmät ovat tunnetusti rationaalisia?
• Pii: Kuinka kriittistä on, ettei PI:n tarkkaa arvoa ole vielä tiedossa?
• Matematiikka: Mikä on siisti matikkafakta, jonka voi helposti kertoa maallikolle ja näyttää super siistiltä?