Tasapainopiste

Piste x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\\in \mathbb {R} ^{n}}

on tasapainopiste differentiaaliyhtälölle d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} \displaystyle {d\mathbf {x} }{dt}}=\\mathbf {f}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )} }

if f ( t , x ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }

kaikille t {\displaystyle t}

.

Vastaavasti piste x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\\in \mathbb {R} ^{n}}

on tasapainopiste (tai kiintopiste) differentiaaliyhtälölle x k + 1 = f ( k , x k ) {\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}

if f ( k , x ~ ) = x ~ {\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}

for k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,{\ldots }

.

Tasapainot voidaan luokitella tarkastelemalla tasapainotiloja koskevien yhtälöiden linearisoinnin ominaisarvojen merkkejä. Toisin sanoen, arvioimalla Jacobin matriisin jokaisessa systeemin tasapainopisteessä ja etsimällä tuloksena saadut ominaisarvot, tasapainot voidaan luokitella. Tämän jälkeen järjestelmän käyttäytyminen kunkin tasapainopisteen läheisyydessä voidaan määrittää kvalitatiivisesti (tai joissakin tapauksissa jopa kvantitatiivisesti) etsimällä kuhunkin ominaisarvoon liittyvä(t) ominaisvektori(t).

Tasapainopiste on hyperbolinen, jos millään ominaisarvolla ei ole nollanreaaliosaa. Jos kaikilla ominaisarvoilla on negatiivinen reaaliosa, tasapainopiste on stabiili yhtälö. Jos ainakin yhdellä on positiivinen reaaliosa, tasapainopiste on epästabiili solmu. Jos vähintään yhdellä ominaisarvolla on negatiivinen reaaliosa ja vähintään yhdellä positiivinen reaaliosa, tasapaino on satulapiste.