Pi: Pii: Maailmankaikkeuden tärkein luku?

Tekijä Edward B. Burger, Ph.D, Southwestern University

Yksi maailmankaikkeutemme tärkeimmistä luvuista on luku Pi eli π. Tutustu ihmiskunnan odysseiaan – aikojen saatossa tapahtuneisiin, todella kulttuurien rajat ylittäviin yrityksiin laskea, approksimoida ja ymmärtää tätä arvoituksellista lukua.

Määritelmä

Vaikka π:n alkuperää ei tiedetä varmasti, tiedämme, että babylonialaiset likiarvoivat π:tä 60:n emäksellä noin vuonna 1800 eaa. π:n määritelmä keskittyy ympyröihin. Se on ympyrän kehän ja halkaisijan suhde – luku, joka on vain hieman suurempi kuin kolme.

Vakio π auttaa meitä ymmärtämään maailmankaikkeuttamme selkeämmin. π:n määritelmä innoitti uuteen käsitykseen kulmien mittaamisesta, uuteen mittayksikköön. Tämä tärkeä kulmamitta tunnetaan nimellä ”radiaanimitta”, ja se synnytti monia tärkeitä oivalluksia fysikaalisessa maailmassamme. Mitä tulee itse π:hen, Johann Lambert osoitti vuonna 1761, että π on irrationaaliluku, ja myöhemmin, vuonna 1882, Ferdinand von Lindemann osoitti, että π ei ole minkään kokonaislukuja sisältävän polynomiyhtälön ratkaisu. Monet π:tä koskevat kysymykset ovat kuitenkin edelleen vailla vastausta.

Learn More: Geometry-Polygons and Circles

Experimenting with Pi

Kaikkien keskustelujen pi:n alkuperästä on aloitettava ympyröitä koskevalla kokeella, jota me kaikki voimme kokeilla. Ottakaa mikä tahansa ympyrä ja ottakaa kehän pituus – joka on pituus ympäri – ja mitatkaa se halkaisijan suhteen, joka on pituus poikki. Saat tulokseksi kolme halkaisijaa ja vähän enemmän, ja jos katsot tarkkaan, se on vähän yli 1/10 ylimääräistä. Tämä koe osoittaa, että kehän ja halkaisijan suhde on noin 3,1 tai hieman suurempi. Oli ympyrän koko mikä tahansa, sen ympärysmitta on hieman suurempi kuin kolme kertaa sen halkaisija.

Tämä on transkriptio videosarjasta Nollasta äärettömyyteen. Katso se nyt The Great Courses -sivustolla.

Tälle kiinteälle, pysyvälle arvolle annettiin nimi, ja me kutsumme sitä π:ksi. Miten sanomme sen tarkemmin? Luku π määritellään yhtä suureksi kuin minkä tahansa ympyrän kehän ja sen läpimitan suhde. Tämä suhde on vakio. Riippumatta siitä, minkä kokoisella ympyrällä tätä kokeilemme, tämä luku on aina sama. Se alkaa luvulla 3.141592653589, ja se jatkuu.

Symboli π tulee kreikkalaisesta π-kirjaimesta, koska kreikan sana ”kehä” alkaa kreikkalaisella π-kirjaimella. Ympyrän kehä oli esiaste ympyrän kehälle, jota nykyään kutsumme kehäksi. Symboli π esiintyy ensimmäisen kerran William Jonesin vuonna 1709 ilmestyneessä tekstissä A New Introduction to Mathematics, ja symbolin teki myöhemmin tunnetuksi suuri sveitsiläinen 1700-luvun matemaatikko Leonhard Euler noin vuonna 1737.

Learn More: Babylonista Raamattuun

Nimestä sen arvoon: on olemassa todisteita siitä, että babylonialaiset likiarvoivat π:tä 60:n perusluvulla noin vuonna 1800 eaa. Itse asiassa he uskoivat, että π = 25/8 eli 3,125 – hämmästyttävä likiarvo näin varhaisessa vaiheessa ihmiskunnan historiaa. Muinainen egyptiläinen kirjuri Ahmes, johon liittyy kuuluisa Rhind-papyrus, tarjosi approksimaation 256/81, joka on 3,16049. Tämäkin on vaikuttava likiarvo tälle vakiolle. Raamatussa annetaan jopa implisiittinen π:n arvo. Kirjassa 1. Kun. 7:23 sanotaan, että pyöreän altaan ympärysmitta on 30 kuutiota ja halkaisija 10 kuutiota. Näin ollen Raamatussa sanotaan implisiittisesti, että π on yhtä kuin 3 (30/10).

Ei ole yllättävää, että sitä mukaa kuin ihmiskunnan ymmärrys luvuista kehittyi, kehittyi myös sen kyky ymmärtää ja siten arvioida itse π:tä paremmin. Vuonna 263 kiinalainen matemaatikko Liu Hui uskoi, että π = 3,141014.

Noin 200 vuotta myöhemmin intialainen matemaatikko ja tähtitieteilijä Aryabhata approksimoi π:n murtoluvulla 62,832/20,000, joka on 3,1416 – todella hämmästyttävä arvio. Noin vuonna 1400 persialainen tähtitieteilijä Kashani laski π:n oikein 16 numeron tarkkuudella.

How to Measure Angles with Pi

Lähtekäämme irti tästä π:n numeroiden historiallisesta metsästyksestä ja pohtikaamme π:tä tärkeänä lukuna maailmankaikkeudessamme. Koska π:llä on yhteys ympyrän ympärysmitan mittaamiseen, tutkijat innostuivat käyttämään sitä kulmaetäisyyden mittana. Tarkastellaan ympyrää, jonka säde on 1. Säde on vain mitta keskipisteestä ulos sivulle. Se on puolet halkaisijasta.

Kulmien mittojen perinteiset yksiköt ovat tietenkin asteita. Asteilla yhden täydellisen ympyrän kiertämisen mitta on 360 astetta, mikä sattuu olemaan suunnilleen yhtä monta päivää kuin yhdessä täydessä vuodessa, ja mikä saattaa selittää sen, miksi ajattelemme kerran kiertämisen olevan 360.

Sen sijaan, että käytämme mielivaltaista mittayksikköä 360 tarkoittaaksemme kerran ympyrän kiertämistä, selvitetään, mikä on tämän tietyn ympyrän, ympyrän, jonka säde on 1, ympärillä kulkemisen varsinainen kesto kerran. Mikä on sen pituus ja kehä? Jos meillä on säde 1, niin halkaisijamme on kaksinkertainen, 2, joten tiedämme, että kerran kiertäminen on 2 kertaa π, koska kehä on π kertaa halkaisija.

Kerta kiertäminen on 2π. Yksi täysi kierto ympäri, joka on 360 asteen kulma, pyyhkäisisi tässä nimenomaisessa ympyrässä 2π:n pituisen kehän. Puoli kierrosta ympäri olisi 180 astetta, ja pyyhkäisisimme ulos puolet kehästä, mikä tässä tapauksessa olisi π. Yhdeksänkymmentä astetta pyyhkäisisi ulos neljäsosan ympyrästä, ja tässä nimenomaisessa ympyrässä se olisi pituudeltaan π/2 eli puolet π:stä.

Alamme nähdä, että jokainen kulma vastaa etäisyyttä, joka mitataan osittain tai kokonaan tämän nimenomaisen ympyrän, jonka säde on 1, ympäri. Toisin sanoen, minkä tahansa kulman kohdalla voimme mitata sen ympyrän kaaren pituuden, jonka kyseinen kulma pyyhkäisee ulos.

Tämä kaaren pituus antaa uuden tavan esittää kulman mitta, ja kutsumme tätä kulmien mittaa ”radiaanimitaksi”. Esimerkiksi 360 astetta = 2π radiaania, nämä ovat yksiköt; 180 astetta vastaa π radiaania, ja 90 astetta vastaisi π/2 radiaania. Muista, että kaikki nämä mitat perustuvat aina erityiseen ympyrään, jonka säde on 1.

Oppaa lisää geometriasta ja transformaatiotaktiikasta

Radiaani-mitat ja Piin potenssi

On käynyt ilmi, että tämä radiaani-mitta on paljon hyödyllisempi kulmien mittaamisessa matematiikassa ja fysiikassa kuin tutumpi asteen mitta. Tämä tosiasia ei ole yllättävä. Radiaanimitta on luonnollisesti yhteydessä kehän pituuden kautta kulmaan, eikä mielivaltaisempi asteen mitta, jolla ei ole matemaattista perustaa. Se edustaa approksimaatiota kokonaisen vuoden kautta.

Termi radiaani ilmestyi ensimmäisen kerran painettuna 1870-luvulla, mutta siihen mennessä suuret matemaatikot, mukaan lukien suuri matemaatikko Leonhard Euler, olivat käyttäneet radiaaneilla mitattuja kulmia jo yli sadan vuoden ajan.

Luku π esiintyy lukemattomissa tärkeissä kaavoissa ja teorioissa, kuten Heisenbergin epävarmuusperiaatteessa ja Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian kenttäyhtälössä. Se on tärkeä kaava ja luku kaikkialla maailmassa.

Yleisiä kysymyksiä luvusta Pi