Ortonormivektorit

Mikä on ortonormivektori?

Vektorin sanotaan olevan normaali, jos sen pituus on yksi. Kahden vektorin sanotaan olevan ortogonaalisia, jos ne ovat suorassa kulmassa toisiinsa nähden (niiden pistetuotto on nolla). Vektorijoukon sanotaan olevan ortonormaali, jos kaikki vektorit ovat normaaleja ja jokainen joukon vektoripari on ortogonaalinen.

Ortonormaaleja vektoreita käytetään yleensä vektoriavaruuden perustana. Ortonormaalin perustan luominen aineistolle helpottaa laskentaa huomattavasti; esimerkiksi vektorin pituus on yksinkertaisesti neliöjuuri kyseisen vektorin koordinaattien neliöiden summasta suhteessa johonkin ortonormaaliin perustaan.

QR-dekompositio

Reaalisen neliömatriisin A QR-dekompositio on prosessi, jossa etsitään kaksi matriisia Q ja R siten, että:

• A = QR

• Q on ortogonaalinen matriisi

• R on ylempi kolmiulotteinen matriisi

(jos A on kompleksinen neliömatriisi tai on suorakulmainen matriisi, niin Q on unitaarinen matriisi.)

Matriisin QR-dekomposition laskemiseen on useita menetelmiä, kuten Gram-Schmidt-prosessi, Householder-muunnokset tai Givensin rotaatiot. Jokaisella menetelmällä on hyvät ja huonot puolensa, joten toteuttajien on tutkittava kukin näistä algoritmeista huolellisesti tiettyä ongelmaa varten.

QR-purkua käytetään usein lineaarisen pienimmän neliösumman ongelman ratkaisussa. Se on myös perustana omien vektorien etsintäalgoritmille, joka on osuvasti nimetty QR-algoritmiksi (vaikka ironista kyllä, algoritmin nykyaikainen muoto ei oikeastaan sisällä QR-dekomposition laskemista!)