Onko 1+2+3… Really Equal -1/12?

Aiemmin tässä kuussa julkaistulla Numberphile-videolla väitetään, että kaikkien positiivisten kokonaislukujen summa on -1/12.

Olen yleensä Numberphilen porukan fani, sillä he tekevät hienoa työtä tehden matematiikasta jännittävää ja helposti lähestyttävää, mutta tämä video tuotti minulle pettymyksen. Luku -1/12 on mielekäs tapa liittää sarjaan 1+2+3+3+4…, mutta mielestäni on harhaanjohtavaa kutsua sitä sarjan summaksi. Lisäksi tapa, jolla se on esitetty, edistää harhakäsitystä, johon törmään usein matematiikan opettajana, että matemaatikot muuttavat sääntöjä mielivaltaisesti ilman näkyvää syytä, eikä oppilailla ole toivoa tietää, mikä on sallittua ja mikä ei tietyssä tilanteessa. Tätä videota käsittelevässä kirjoituksessaan fyysikko tohtori Skyskull toteaa, että ”masentavan suuri osa väestöstä olettaa automaattisesti, että matematiikka on jotakin ei-intuitiivista, omituista taikuutta, jota vain superälykkäät voivat mahdollisesti ymmärtää. Tällaisen hullun tuloksen näyttäminen ilman pätevöintiä vain vahvistaa tätä käsitystä ja tekee mielestäni karhunpalveluksen matematiikalle.”

Lisäys on binäärioperaatio. Laitat sisään kaksi lukua ja saat ulos yhden luvun. Mutta voit laajentaa sen useampiin lukuihin. Jos sinulla on esimerkiksi kolme lukua, jotka haluat laskea yhteen, voit laskea ensin yhteen mitkä tahansa kaksi niistä ja sitten lisätä kolmannen saatuun summaan. Voimme jatkaa tätä mitä tahansa äärellistä määrää yhteenlaskettavia termejä (ja aritmetiikan lakien mukaan saamme saman vastauksen riippumatta siitä, missä järjestyksessä laskemme ne yhteen), mutta kun yritämme laskea yhteen äärettömän määrän termejä, meidän on tehtävä valinta siitä, mitä yhteenlasku tarkoittaa. Yleisin tapa käsitellä ääretöntä yhteenlaskua on käyttää raja-arvon käsitettä.

Karkeasti sanottuna sanomme, että äärettömän sarjan summa on luku L, jos kun lisäämme yhä useampia termejä, pääsemme yhä lähemmäksi lukua L. Jos L on äärellinen, kutsumme sarjaa konvergentiksi. Yksi esimerkki konvergentista sarjasta on 1/2+1/4+1/8+1/16….. Tämä sarja konvergoi numeroon 1. On melko helppo nähdä, miksi: ensimmäisen termin jälkeen olemme puolivälissä arvoa 1. Toisen termin jälkeen olemme puolet jäljellä olevasta matkasta 1:een, ja niin edelleen.

Zenon paradoksi sanoo, että emme koskaan oikeasti pääse 1:een, mutta raja-arvon kannalta voimme päästä niin lähelle kuin haluamme. Tämä on ”summan” määritelmä, jota matemaatikot yleensä tarkoittavat puhuessaan äärettömistä sarjoista, ja se vastaa periaatteessa intuitiivista määritelmäämme sanoille ”summa” ja ”yhtä suuri”.

Mutta kaikki sarjat eivät ole konvergentteja tässä mielessä (kutsumme ei-konvergentteja sarjoja divergenteiksi). Jotkut, kuten 1-1+1-1-1…, saattavat pomppia eri arvojen välillä, kun lisäämme lisää termejä, ja jotkut, kuten 1+2+3+4…, saattavat kasvaa mielivaltaisen suuriksi. On siis melko selvää, että sarjan konvergenssin rajamääritelmän mukaan summa 1+2+3… ei konvergoi. Jos sanoisin: ”Uskon, että tämän sarjan raja-arvo on jokin äärellinen luku L”, voisin helposti keksiä, kuinka monta termiä lisätä, jotta pääsisin niin pitkälle luvun L yläpuolelle kuin haluan.

On olemassa mielekkäitä tapoja liittää luku -1/12 sarjaan 1+2+3…, mutta en mieluummin kutsu -1/12:tä positiivisten kokonaislukujen ”summaksi”. Yksi tapa käsitellä ongelmaa on kompleksianalyysin analyyttisen jatkumon idea.

Asettakaamme, että meillä on funktio f(z), joka on määritelty jossain kompleksitasossa. Kutsumme aluetta, jossa funktio on määritelty, U:ksi. Saatat keksiä tavan konstruoida toisen funktion F(z), joka on määritelty suuremmalla alueella siten, että f(z)=F(z) aina, kun z on U:ssa. Uusi funktio F(z) on siis yhtäpitävä alkuperäisen funktion f(z) kanssa kaikkialla, missä f(z) on määritelty, ja se on määritelty joissakin pisteissä f(z):n alueen ulkopuolella. Funktiota F(z) kutsutaan f(z):n analyyttiseksi jatkumoksi. (”The” on sopiva artikkeli, koska funktion analyyttinen jatkumo on ainutkertainen.)

Analyyttinen jatkumo on hyödyllinen, koska kompleksiset funktiot määritellään usein äärettöminä sarjoina, joissa on mukana muuttuja z. Useimmat äärettömät sarjat konvergoituvat kuitenkin vain joillakin z:n arvoilla, ja olisi mukavaa, jos saisimme funktiot määriteltyä useammassa paikassa. Funktion analyyttinen jatkumo voi määritellä funktiolle arvoja sen alueen ulkopuolella, jossa sen äärettömän sarjan määritelmä konvergoi. Voimme sanoa 1+2+3…=-1/12 sovittamalla funktion analyyttisen jatkon jälkikäteen sen alkuperäiseen äärettömän sarjan määritelmään, ja tähän siirtoon pitäisi liittyä Lucille Bluth -tyylinen silmänisku.

Kysymyksessä oleva funktio on Riemannin zeta-funktio, joka on kuuluisa syvistä yhteyksistään alkulukujen jakautumista koskeviin kysymyksiin. Kun s:n reaaliosa on suurempi kuin 1, Riemannin zeta-funktio ζ(s) määritellään seuraavasti: Σ∞n=1n-s. (Käytämme yleensä kirjainta z muuttujasta kompleksisessa funktiossa. Tässä tapauksessa käytämme s:ää kunnioittaaksemme Riemannia, joka määritteli zeta-funktion vuonna 1859 julkaistussa artikkelissa.) Tämä ääretön sarja ei konvergoi, kun s=-1, mutta voit nähdä, että kun laitamme s=-1, saamme 1+2+3….. Riemannin zeta-funktio on tämän funktion analyyttinen jatkumo koko kompleksitasolle miinus piste s=1. Kun s=-1, ζ(s)=-1/12. Pistämällä yhtäsuuruusmerkki ζ(-1):n ja funktion määrittelevän muodollisen äärettömän sarjan väliin joissakin muissa kompleksitason osissa, saamme väitteen, että 1+2+3…=-1/12.

Analyyttinen jatkumo ei ole ainoa tapa yhdistää luku -1/12 sarjaan 1+2+3….. Erittäin hyvän, perusteellisen selityksen tavasta, joka ei vaadi monimutkaista analyysia – kotitehtävineen – löydät Terry Taon postauksesta aiheesta.

Numberphilen video häiritsi minua, koska heillä oli tilaisuus puhua siitä, mitä tarkoittaa arvon antaminen äärettömälle sarjalle ja selittää eri tapoja tehdä se. Jos tiedät jo hieman aiheesta, voit katsoa videon ja pidemmän aiheeseen liittyvän videon aiheesta ja napata pätkiä siitä, mistä oikeasti on kyse. Mutta videon ”wow”-tekijä tulee siitä, että siinä ei ole mitään järkeä, että joukko positiivisia lukuja summautuu negatiiviseksi luvuksi, jos katsoja olettaa, että ”summa” tarkoittaa sitä, mitä he luulevat sen tarkoittavan.

Jos Numberphiles olisi kertonut selkeämmin vaihtoehtoisista tavoista yhdistää lukuja sarjoihin, he olisivat voineet tehdä muutakin, kuin vain uskotella, että matemaatikot muuttelevat aina sääntöjä. Videon lopussa tuottaja Brady Haran kysyy fyysikko Tony Padillalta, saisitko tulokseksi -1/12, jos laskimella laskisit ikuisesti kokonaislukuja yhteen ja painaisit lopussa ”equal”-painiketta. Padilla vastaa röyhkeästi: ”Sinun on mentävä äärettömyyteen, Brady!”. Mutta vastauksen olisi pitänyt olla: ”Ei!” Tässä he mielestäni hukkasivat tilaisuuden selventää, että he käyttävät vaihtoehtoista tapaa antaa arvo äärettömälle sarjalle, mikä olisi tehnyt videosta paljon vähemmän harhaanjohtavan.

Muut ihmiset ovat kirjoittaneet hyviä juttuja tämän videon matematiikasta. Liian hyväuskoisen Slate-blogikirjoituksen jälkeen Phil Plait kirjoitti paljon tasapuolisemman selityksen eri tavoista antaa arvo sarjalle. Jos haluat käydä ”todisteen” yksityiskohdat läpi itse, John Baez kertoo sen sinulle. Blake Stacey ja Dr. Skyskull kirjoittavat siitä, miten positiivisten kokonaislukujen summan korvaaminen luvulla -1/12 voi olla hyödyllistä fysiikassa. Richard Elwes kirjoittaa äärettömien sarjojen ”terveys- ja turvallisuusvaroituksen”, johon liittyy vanha suosikkini, harmoninen sarja. Mielestäni keskustelun lisääntyminen siitä, mitä tämä ääretön sarja tarkoittaa, on hyvä asia, vaikka olisinkin toivonut, että tätä keskustelua olisi voitu käydä enemmän videolla, jota on toistaiseksi katsottu YouTubessa yli miljoona kertaa!