MathBootCamps

Lineaariset yhtälöt yhdellä muuttujalla ovat yhtälöitä, joissa muuttujalla on eksponentti 1, jota ei yleensä näytetä (se ymmärretään). Esimerkkinä voisi olla vaikkapa \(12x = x – 5\). Lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisessa on yksi päätavoite: muuttujan eristäminen. Tällä oppitunnilla tarkastelemme, miten tämä onnistuu useiden esimerkkien avulla.

Sisällysluettelo

1. Esimerkkejä yhden askeleen yhtälöiden ratkaisemisesta
2. Esimerkkejä kahden-step equations
3. Examples of equations where you must simplify first
4. Infinitely many or no solutions
5. Summary

Examples of solving one-step lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisessa

Kaiken kovan vaivannäön jälkeen yhtälön ratkaisemisessa, tiedät, että haluat lopullisen vastauksen, kuten \(x=5\) tai \(y=1\). Molemmissa näissä tapauksissa muuttuja on eristetty eli yksinään.

Meidän on siis keksittävä, miten muuttuja eristetään. Se, miten teemme tämän, riippuu itse yhtälöstä! Jos se on kerrottu jollakin, jaamme sen. Jos siihen lisättiin jotain, vähennämme. Näin tekemällä saamme hiljalleen muuttujan itsestään.

Katsotaanpa esimerkin avulla, miten tämä toimii.

Esimerkki

Ratkaise yhtälö: \(4x = 8\)

Ratkaisu

Tässä esimerkissä 4 on kertomassa \(x\). Jos siis haluat eristää \(x\):n, sinun on jaettava tämä puoli luvulla 4. Tätä tehdessäsi sinun on muistettava yksi tärkeä sääntö: mitä tahansa teetkin yhtälön yhdelle puolelle, sinun on tehtävä se myös toiselle puolelle. Jaamme siis molemmat puolet luvulla 4.

\(\begin{align}4x &= 8 \\\ \dfrac{4x}{\color{red}{4}}} &= \dfrac{8}{\color{red}{4}}}\end{align}\)

Yksinkertaistaminen:

\(x = \boxed{2}\)

Tässä se on, yksi askel ja olemme valmiit. (Siksi tämänkaltaisia yhtälöitä kutsutaan usein ”yhden askeleen” yhtälöiksi)

Tarkista

Aina kun ratkaiset lineaarisia yhtälöitä, voit aina tarkistaa vastauksesi korvaamalla sen takaisin yhtälöön. Jos saat oikean lausekkeen, vastaus on oikea. Tämä ei ole 100-prosenttisesti välttämätöntä kaikissa ongelmissa, mutta se on hyvä tapa, joten teemme sen yhtälöillemme.

Tässä esimerkissä alkuperäinen yhtälömme oli \(4x = 8\). Voit tarkistaa tämän tarkistamalla, että seuraava on totta:

\(\align}4x &= 8\\\ 4(2) &= 8 \\\ 8 &= 8\end{align}\)

Tämä on tosi väite, joten vastauksemme on oikea.

Mille tahansa yhtälölle, mikä tahansa operaatio, joka tehdään yhdelle puolelle, on tehtävä myös toiselle puolelle

Kokeillaan vielä pari esimerkkiä, ennen kuin siirrytään monimutkaisempiin yhtälöihin.

Esimerkki

Ratkaise: \(3x=12\)

Ratkaisu

Koska \(x\) kerrotaan 3:lla, suunnitelmana on jakaa 3:lla molemmilla puolilla:

\(\begin{align}3x &=12\\\ \dfrac{3x}{\color{red}{3}}} &=\dfrac{12}{\color{red}{3}}\\ x&= \boxed{4}\end{align}\)

Tarkista

Vastauksemme tarkistamiseksi annamme \(x = 4\) ja korvaamme sen takaisin yhtälöön:

\(\alku{align}3x &= 12\\\3(4) &= 12 \\\ 12 &= 12\loppu{align}\)

Juuri niin kuin ennenkin, koska tämä on tosi väite, tiedämme vastauksemme olevan oikea.

Seuraavassa esimerkissä sen sijaan, että muuttuja kerrotaan jollakin arvolla, muuttujasta vähennetään arvo. ”Kumotaksemme” tämän, lisäämme kyseisen arvon molempiin puoliin.

Esimerkki

Ratkaisu:

Ratkaisu

Tällä kertaa y:stä vähennetään 9. Kumotaan siis tämä lisäämällä 9 molempiin puoliin.

\(\begin{align}y-9&=21\\\ y-9 \color{red}{+9}&=21\color{red}{+9}\\\y&=30\end{align}\)

Seuraavaksi tarkastelemme yhtälöitä, joita kutsutaan yleisesti kaksivaiheisiksi. Näissä yhtälöissä meidän on kumottava kaksi operaatiota, jotta voimme eristää muuttujan.

Esimerkkejä kaksivaiheisista yhtälöistä

Kussakin edellä mainituissa esimerkeissä oli yksi vaihe, joka piti suorittaa ennen kuin saimme vastauksen. Näissä seuraavissa esimerkeissä näet, miten työskennellä yhtälöiden kanssa, joissa on sen sijaan kaksi askelta. Jos operaatioita on enemmän kuin yksi, on tärkeää muistaa operaatioiden järjestys, PEMDAS. Koska peruutat operaatiot \(x\), työskentelet ”ulkoa sisään”. Tämä on helpompi ymmärtää, kun näet sen esimerkissä.

Esimerkki

Ratkaise: \(2x-7=13\)

Ratkaisu

Huomaa, että \(x\) tapahtuu kaksi operaatiota: se kerrotaan 2:lla ja siitä vähennetään 7. Meidän on kumottava nämä operaatiot. Mutta vain \(x\) kerrotaan 2:lla, joten ensimmäinen askel on lisätä 7 molempiin puoliin. Sitten voimme jakaa molemmat puolet 2:lla.

Lisätään 7 molempiin puoliin:

\(\begin{align} 2x-7 &= 13\\\ 2x-7 \color{red}{+7} & =13 \color{red}{+7}\\\ 2x&=20\end{align}\)

Jaa nyt molemmat puolet kahdella:

\(\begin{align} 2x &=20 \\\ \dfrac{2x}{\color{red}{2}}&=\dfrac{20}{\color{red}{2}}\\ x&= \boxed{10}\end{align}\)

Tarkista

Niin kuin yksinkertaisempien ongelmien kanssa, voit tarkistaa vastauksesi korvaamalla \(x\):n arvon takaisin alkuperäiseen yhtälöön.

\(\begin{align}2x-7&=13\\\\ 2(10) – 7 &= 13\\\ 13 &= 13\end{align}\)

Tämä on totta, joten saimme oikean vastauksen.

Katsotaan vielä yksi kaksivaiheinen esimerkki, ennen kuin hyppäämme taas vaikeusasteeseen. Varmista, että ymmärrät jokaisen esitetyn vaiheen ja käy myös ongelma läpi.

Esimerkki

Ratkaise: \(5w + 2 = 9\)

Ratkaisu

Kuten edellä, operaatioita on kaksi: \(w\) kerrotaan 5:llä ja sitten siihen lisätään 2. Kumotaan nämä vähentämällä ensin 2 molemmista puolista ja jakamalla sitten 5:llä.

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\\\\ 5w + 2 \color{punainen}{-2} &= 9 \color{punainen}{-2}\\ 5w &= 7\\\\ \dfrac{5w}{\color{punainen}{5}{5}} &=\dfrac{7}{\color{red}{5}}\\\w=\boxed{\dfrac{7}{5}}\end{align}\)

Oikealla puolella olevaa murtolukua ei voi yksinkertaistaa, joten se on lopullinen vastauksemme.

Tarkista

Lasketaan \(w = \dfrac{7}{5}\). Sitten:

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\\\ 5\\left(\dfrac{7}{5}\right) + 2 &= 9\\\ 7 + 2 &= 9\\\ 9 &= 9 \end{align}\)

Siten saimme jälleen kerran oikean vastauksen!

Yksinkertaistaminen ennen ratkaisemista

Seuraavissa esimerkeissä on enemmän muuttuvia termejä ja mahdollisesti jonkin verran yksinkertaistamista, joka on tehtävä. Kussakin tapauksessa vaiheet ovat ensin molempien puolien yksinkertaistaminen ja sitten muuttujan eristäminen sen avulla, mitä olemme tehneet. Tarkastelemme ensin perusteellisesti esimerkkiä, jotta näemme, miten tämä kaikki toimii.

Ymmärtääksesi tätä osiota sinun tulisi osata yhdistää samankaltaisia termejä.

Esimerkki

Ratkaisu: \(3x+2=4x-1\)

Ratkaisu

Koska molemmat puolet on yksinkertaistettu (ei ole sulkuja, jotka meidän täytyy selvittää, eikä samankaltaisia termejä, joita yhdistää), seuraava askel on saada kaikki x:t yhtälön toiselle puolelle ja kaikki luvut toiselle puolelle. Sama sääntö pätee – mitä tahansa teetkin yhtälön toiselle puolelle, sinun on tehtävä se myös toiselle puolelle!

On mahdollista siirtää joko \(3x\) tai \(4x\). Oletetaan, että siirrät \(4x\). Koska se on positiivinen, tekisit tämän vähentämällä sen molemmista puolista:

\(\begin{align}3x+2 &=4x-1\\\ 3x+2\color{red}{-4x} &=4x-1\color{red}{-4x}\\\ -x+2 & =-1\end{align}\)

Nyt yhtälö näyttää samanlaiselta kuin ne, jotka on aiemmin laskettu. Seuraavaksi vähennetään molemmista puolista 2:

\(\begin{align}-x+2\color{red}{-2} &= -1\color{red}{-2}\\\-x=-3\end{align}\)

Viimeiseksi, koska \(-x= -1x\) (tämä pitää aina paikkansa), jaetaan molemmat puolet \(-1\):

\(\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &=\dfrac{-3}{\color{red}{-1}}\\\ x&=3\end{align}\)

Tarkista

Varaa hetki aikaa ja tarkista, että seuraava on tosi väite:

\(3(3)+ 2 = 4(3) – 1\)

Viimeisessä esimerkissämme joudumme käyttämään distributiivisominaisuutta, ennen kuin ratkaisemme. Tässä on helppo tehdä virhe, joten varmista, että jaat sulkujen edessä olevan luvun kaikkiin sulkujen sisällä oleviin termeihin.

Esimerkki

Ratkaise: \(3(x+2)-1=x-3(x+1)\)

Ratkaisu

Jaa ensin 3 ja -3 ja kerää samankaltaiset termit yhteen.

\(\begin{align}) 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)\\\ 3x+6-1&=x-3x-3 \\\ 3x+5&=-2x-3\end{align}\)

Nyt voimme lisätä 2x molempiin puoliin. (Muista, että saat saman vastauksen, jos sen sijaan vähennät 3x molemmista puolista)

\(\begin{align} 3x+5\color{punaisella}{+2x} &=-2x-3\color{red}{+2x}\\ 5x+5& =-3\end{align}\)

Tästä voimme ratkaista kuten teimme muidenkin kaksiportaisten yhtälöiden kanssa.

\(\begin{align}5x+5\color{red}{-5} &=-3\color{punainen}{-5}\\ 5x &=-8\\\ \dfrac{5x}{\color{punainen}{5}}&=\dfrac{-8}{\color{punainen}{5}}\\ x &= \dfrac{-8}{5}} \\\ &=\boxed{-\dfrac{8}{5}}\end{align}\)

Tarkista

Tämä oli vaikea kysymys, joten muista tarkistaa vastauksesi ja varmista, ettei tullut virheitä. Tätä varten varmistat, että seuraava lause on tosi:

\(3\vasen(-\dfrac{8}{5}+2\oikea)-1=\vasen(-\dfrac{8}{5}\oikea)-3\vasen(-\dfrac{8}{5}+1\oikea)\)\)

(Huomaa: se onnistuu – mutta sulkujen kanssa pitää olla todella tarkkana!)

Äärettömän monta ratkaisua ja ei ratkaisua

Voi olla tilanteita, joissa noudatat kaikkia näitä vaiheita ja saat todella oudon ratkaisun. Esimerkiksi, kun ratkaiset yhtälön \(x+2=x+2\) käyttäen edellä mainittuja vaiheita, päädyt tulokseen \(0=0\). Tämä on varmasti totta, mutta mitä hyötyä siitä on?

Jos saat tällaisen lausekkeen, se tarkoittaa, että yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua. Mikä tahansa keksimäsi \(x\) tyydyttäisi yhtälön \(x+2=x+2\). Sopiva vastaus tässä tapauksessa on ”äärettömän monta ratkaisua”.

Toinen tilanne syntyy, kun yhtälö yksinkertaistetaan lausekkeeksi, joka ei ole koskaan tosi, kuten \(3=4\) tai \(0=1\). Näin tapahtuu yhtälön \(x+5=x-7\) kohdalla, joka johtaa yhtälöön \(5= -7\), joka ei varmasti ole koskaan totta. Tämä tarkoittaa, että mikään \(x\) ei täytä tätä yhtälöä. Toisin sanoen ”ei ratkaisua”. Yhteenvetona:

• Jos saat lausekkeen, joka on aina tosi, kuten \(5 = 5\) tai \(0 = 0\), niin ratkaisuja on äärettömän monta.
• Jos saat lausekkeen, joka on aina epätosi, kuten \(10 = 11\) tai \(1 = 5\), niin ratkaisuja ei ole.

Yhteenveto

Lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisessa on kyse muuttujan eristämisestä. Yhtälöstä riippuen tämä voi vaatia vain yhden vaiheen tai paljon useampia vaiheita. Tarkista aina ensin, pitääkö yhtälön toinen tai molemmat puolet yksinkertaistaa, ja tarkista aina vastauksesi.

Tilaa uutiskirjeemme!

Postitamme koko ajan uusia maksuttomia oppitunteja ja lisäämme lisää opinto-oppaita, laskinoppaita ja tehtäväpaketteja.

Tilaa tilaus saadaksesi satunnaisia sähköpostiviestejä (kerran parin tai kolmen viikon välein), joissa kerromme uusista uutuuksista!

>