Gompertzin funktio

Gompertzin käyräEdit

Populaatiobiologiassa käsitellään erityisesti Gompertzin funktiota. Tämä funktio on erityisen käyttökelpoinen kuvaamaan tietyn eliöpopulaation nopeaa kasvua ja samalla pystytään ottamaan huomioon mahdollinen horisontaalinen asymptootti, kun kantokyky on määritetty (solujen/populaation lukumäärän tasanko).

Se mallinnetaan seuraavasti:

N ( t ) = N 0 exp ( ln ( N I / N 0 ) ( 1 – exp ( – b t ) ) ) ) {\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}

missä:

• t on aika
• N0 on solujen alkuperäinen määrä
• NI on tasosolujen/populaation määrä
• b on kasvaimen kasvun alkunopeus

Tämä tasosolujen määrän huomioiminen funktiossa tekee siitä käyttökelpoisen, kun halutaan tarkasti jäljitellä todellisen elämän populaatiodynamiikkaa. Funktio noudattaa myös sigmoidifunktiota, joka on laajimmin hyväksytty konventio populaation kasvun yleiseksi kuvaamiseksi. Lisäksi funktiossa hyödynnetään alkukasvunopeutta, joka on yleisesti nähtävissä bakteeri- ja syöpäsolupopulaatioissa, jotka käyvät läpi log-vaiheen ja kasvavat lukumääräisesti nopeasti. Suosiostaan huolimatta kasvaimen kasvun alkunopeutta on vaikea määrittää etukäteen, kun otetaan huomioon potilaan erilaiset mikrokosmokset tai vaihtelevat ympäristötekijät populaatiobiologian tapauksessa. Syöpäpotilailla esimerkiksi iällä, ruokavaliolla, etnisellä alkuperällä, geneettisillä taipumuksilla, aineenvaihdunnalla, elämäntavoilla ja etäpesäkkeiden alkuperällä on merkitystä kasvaimen kasvunopeuden määrittämisessä. Myös kantokyvyn odotetaan muuttuvan näiden tekijöiden perusteella, joten tällaisten ilmiöiden kuvaaminen on vaikeaa.

Metabolinen käyräEdit

Aineenvaihduntafunktio käsittelee erityisesti aineenvaihdunnan nopeuden huomioon ottamista organismin sisällä. Tätä funktiota voidaan soveltaa kasvainsolujen seurantaan; aineenvaihduntanopeus on dynaaminen ja hyvin joustava, mikä tekee siitä tarkemman syövän kasvun yksityiskohtaisessa kuvaamisessa. Aineenvaihduntakäyrässä otetaan huomioon energia, jota elimistö tuottaa kudosten ylläpitoon ja luomiseen. Tätä energiaa voidaan pitää aineenvaihduntana, ja se noudattaa tiettyä mallia solujen jakautumisessa. Energian säilymistä voidaan käyttää tällaisen kasvun mallintamiseen erilaisista massoista ja kehitysajoista riippumatta. Kaikilla taksoneilla on samanlainen kasvumalli, ja tämän vuoksi tässä mallissa otetaan huomioon solujen jakautuminen, joka on kasvaimen kehittymisen perusta.

B = ∑ C ( N C B C ) + ( E C d N C d t ) {\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatornimi {d} \!N_{C} \over \operatornimi {d} \!t}\right)}

• B = organismin käyttämä energia levossa
• NC = solujen lukumäärä kyseisessä organismissa
• BC= yksittäisen solun aineenvaihduntanopeus
• NCBC= olemassaolevan ylläpidon edellyttämä energia kudosta
• EC= energia, joka tarvitaan uuden kudoksen luomiseen yksittäisestä solusta

Erottelun tekeminen levossa käytetyn energian ja aineenvaihduntatyön välillä mahdollistaa mallin avulla kasvunopeuden tarkemman määrittämisen. Levossa oleva energia on pienempi kuin kudoksen ylläpitämiseen käytetty energia, ja yhdessä ne edustavat olemassa olevan kudoksen ylläpitämiseen tarvittavaa energiaa. Näiden kahden tekijän käyttö yhdessä uuden kudoksen luomiseen tarvittavan energian kanssa kartoittaa kasvunopeuden kattavasti ja johtaa lisäksi viiveen tarkkaan esittämiseen.

Kasvainten kasvuEdit

1960-luvulla A.K. Laird käytti ensimmäistä kertaa menestyksekkäästi Gompertz-käyrää sovittamaan kasvainten kasvua koskevia tietoja. Itse asiassa kasvaimet ovat solupopulaatioita, jotka kasvavat suljetussa tilassa, jossa ravinteiden saatavuus on rajoitettu. Merkitsemällä kasvaimen kokoa X(t) on hyödyllistä kirjoittaa Gompertz-käyrä seuraavasti:

X ( t ) = K exp ( log ( X ( 0 ) K ) exp ( – α t ) ) ) {\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}} \right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)}

joissa:

• X(0) on kasvaimen koko alkuhavaintohetkellä;
• K on kantokyky, i.eli maksimikoko, joka voidaan saavuttaa käytettävissä olevilla ravinteilla. Itse asiassa se on:
  lim t → + ∞ X ( t ) = K {\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}

  

riippumatta siitä, mikä on X(0)>0. Huomataan, että ilman terapioita jne. yleensä se on X(0)<K, kun taas terapioiden läsnä ollessa se voi olla X(0)>K;

• α on vakio, joka liittyy solujen proliferatiiviseen kykyyn.
• log() viittaa luonnolliseen log.

Voidaan osoittaa, että X(t):n dynamiikkaa hallitsee Gompertzin differentiaaliyhtälö:

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t )) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}

eli on hajotettuna muotoa:

X ′ ( t ) = F ( X ( t ) ) ) X ( t ) , jossa F ′ ( X ) ≤ 0 , {\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,}

F(X) on solupopulaation hetkellinen lisääntymisnopeus, jonka laskeva luonne johtuu solupopulaation lisääntymisestä johtuvasta kilpailusta ravinteista, samoin kuin logistinen kasvunopeus. Siinä on kuitenkin olennainen ero: logistisessa tapauksessa pienen solupopulaation lisääntymisnopeus on äärellinen:

F ( X ) = α ( 1 – ( X K ) ν ) ⇒ F ( 0 ) = α < + ∞ {\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }

jolloin Gompertzin tapauksessa lisääntymisnopeus on rajoittamaton:

lim X → 0 + F ( X ) = lim X → 0 + α log ( K X ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}}\right)=+\infty }

Kuten Steel ja Wheldon ovat huomanneet, solupopulaation lisääntymisnopeutta rajoittaa viime kädessä solujen jakautumisaika. Näin ollen tämä saattaa olla todiste siitä, että Gompertzin yhtälö ei ole hyvä mallintamaan pienten kasvainten kasvua. Lisäksi viime aikoina on huomattu, että kun otetaan huomioon vuorovaikutus immuunijärjestelmän kanssa, Gompertzin ja muut lait, joille on ominaista rajoittamaton F(0), estäisivät immuunivalvonnan mahdollisuuden.

Fornalskin ym. teoreettinen tutkimus osoitti Gompertzin käyrän biofysikaalisen perustan syövän kasvulle lukuun ottamatta hyvin varhaista vaihetta, jossa parabolinen funktio on sopivampi. He havaitsivat myös, että Gompertz-käyrä kuvaa tyypillisintä tapausta syövän dynamiikan funktioiden laajasta perheestä.

Gompertz-kasvu ja logistinen kasvuEdit

Gompertzin differentiaaliyhtälö

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}

on yleistetyn logistisen differentiaaliyhtälön rajatapaus

X ′ ( t ) = α ν ( 1 – ( X ( t ) K ) 1 ν) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)}

(missä ν > 0 {\displaystyle \nu >0}

on positiivinen reaaliluku), koska

lim ν → + ∞ ν ( 1 – x 1 / ν ) = – log ( x ) {\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}

.

Tämän lisäksi, yleistetyn logistisen funktion kuvaajassa on käännepiste, kun

X ( t ) = ( ν ν + 1 ) ν K {\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K}

ja yksi Gompertz-funktion kuvaajassa, kun

X ( t ) = K e = K ⋅ lim ν → + ∞ ( ν ν ν + 1 ) ν {\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }}}

.

COVID-19-infektioradan mallintaminenEdit

Yleistetty logistinen funktio (Richardsin kasvukäyrä) epidemiologisessa mallintamisessa

Yleistettyä logistista funktiota, jota kutsutaan myös Richardsin kasvukäyräksi, käytetään laajalti COVID-19-infektioratojen mallintamisessa. Tartuntarata on päivittäinen aikasarjatieto tartuntatapausten kumulatiivisesta lukumäärästä tietyssä kohteessa, kuten maassa, kaupungissa, osavaltiossa jne. Kirjallisuudessa on erilaisia uudelleenparametrisointeja: yksi usein käytetyistä muodoista on

f ( t ; θ 1 , θ 2 , θ 3 , ξ ) = θ 1 1 / ξ {\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{^{1/\xi }}}}

jossa θ 1 , θ 2 , θ 3 {\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}}

ovat reaalilukuja ja ξ {\displaystyle \xi } ovat reaalilukuja.

on positiivinen reaaliluku. Käyrän f {\displaystyle f} joustavuus

johtuu parametrista ξ {\displaystyle \xi }

: (i) jos ξ = 1 {\displaystyle \xi =1}

niin käyrä redusoituu logistiseksi funktioksi, ja (ii) jos ξ {\displaystyle \xi }

konvergoi nollaan, niin käyrä konvergoi Gompertz-funktioon. Epidemiologisessa mallintamisessa θ 1 {\displaystyle \theta _{1}}

, θ 2 {\displaystyle \theta _{2}}

, ja θ 3 {\displaystyle \theta _{3}}

edustavat vastaavasti lopullista epidemian kokoa, tartuntanopeutta ja viivästysvaihetta. Oikeassa paneelissa on esimerkki tartuntaradasta, kun ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) {\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}

merkitään ( 10 , 000 , 0.2 , 40 ) {\displaystyle (10,000,0.2,40)}

.

Ekstrapoloidut tartuntaradat 40:stä maasta, joihin COVID-19 on vaikuttanut vakavasti, ja suuri (väestö)keskiarvo toukokuun 14. päivään mennessä

Yksi eduista, joita kasvufunktion, kuten yleistyneen logistisen funktion, käyttäminen epidemiologisessa mallintamisessa tarjoaa, on se, että sitä on suhteellisen helppo laajentaa monitasomallien viitekehyksen piiriin siten, että kasvujatkuvuusfunktiota käytetään kuvaamaan useiden kohteiden infektioiden kehityskulkua useista kohteista (maista, kaupungit, osavaltiot jne.). Katso yllä oleva kuva. Tällaista mallinnuskehystä voidaan laajalti kutsua myös epälineaariseksi sekavaikutusmalliksi tai hierarkkiseksi epälineaariseksi malliksi.

Gomp-ex-kasvun lakiMuutos

Yllä oleviin pohdintoihin pohjautuen Wheldon ehdotti kasvainten kasvun matemaattista mallia, jota kutsutaan nimellä Gomp-Ex-malli, ja joka muuttaa hieman Gompertzin lakia. Gomp-Ex-mallissa oletetaan, että aluksi ei ole kilpailua resursseista, joten solupopulaatio laajenee eksponentiaalilain mukaisesti. On kuitenkin olemassa kriittinen kokokynnys X C {\displaystyle X_{C}}

siten, että kun X > X C {\displaystyle X>X_{C}}

. Oletus, että resursseista ei ole kilpailua, pätee useimmissa skenaarioissa. Siihen voivat kuitenkin vaikuttaa rajoittavat tekijät, mikä edellyttää alatekijämuuttujien luomista.

kasvu noudattaa Gompertzin lakia:

F ( X ) = max ( a , α log ( K X ) ) ) {\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)}

siten että:

X C = K exp ( – a α ) . {\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).}

Tässä on joitakin numeerisia estimaatteja arvolle X C {\displaystyle X_{C}}