Complexity Analysis of a Cournot-Bertrand Duopoly Game Model with Limited Information
On 23 marraskuun, 2021 by adminAbstract
Tarkastellaan Cournot-Bertrand sekamuotoista duopolipelimallia, jossa on rajoitetusti tietoa markkinoista ja vastustajasta, kun markkinoilla on lineaarinen kysyntä ja kahdella yrityksellä on samat kiinteät rajakustannukset. Päätöksenteon periaatteet ovat rajoitetun rationaaliset. Toinen yritys valitsee tuotantomäärän ja toinen hinnan päätöksentekomuuttujaksi, ja oletuksena on, että yritysten tarjoamat tuotteet ovat jossain määrin eriytyneitä, jotta vältetään se, joka soveltaa alempaa hintaa, valloittamasta koko markkinoita. Tutkitaan Nash-tasapainopisteen olemassaoloa ja pelin paikallista vakautta. Monimutkaista dynamiikkaa, kuten haarautumisskenaarioita ja kaaokseen johtavia reittejä, tarkastellaan numeerisen kokeen avulla parametriallasdiagrammien avulla. Parametrien vaikutuksia järjestelmän suorituskykyyn käsitellään taloustieteen näkökulmasta.
1. Johdanto
Oligopoli on monopolin ja täydellisen kilpailun välimaastoon sijoittuva markkinarakenne, jossa vain muutama samaa tai homogeenista tuotantoa tuottava yritys hallitsee markkinoita kokonaan. Jos yrityksiä on kaksi, puhutaan duopolista, kun taas jos kilpailijoita on kolme, puhutaan triopolista.
Cournot’n oligopoli ja Bertrandin oligopoli ovat kaksi merkittävintä oligopoliteorian mallia. Cournot’n mallissa yritykset valvovat tuotantotasoaan, joka vaikuttaa markkinahintaan, kun taas Bertrandin mallissa yritykset valitsevat tuoteyksikön hinnan vaikuttaakseen markkinoiden kysyntään.
Suuri osa kirjallisuudesta käsittelee Cournot- tai Bertrand-kilpailua oligopolistisilla markkinoilla , mutta Cournot-Bertrand-kilpailulle on omistettu vain huomattavasti vähemmän teoksia, joille on ominaista, että markkinat voidaan jakaa kahteen yritysryhmään, joista ensimmäinen säätää optimaalisesti hintojaan ja toinen säätää optimaalisesti tuotantoaan varmistaakseen maksimaalisen voiton .
Cournot-Bertrand-mallia on olemassa realistisessa taloudessa. Esimerkiksi duopolimarkkinoilla yksi yritys kilpailee määräävässä asemassa, ja se valitsee tuotoksen päätöksentekomuuttujaksi, kun taas toinen yritys on epäedullisessa asemassa, ja se valitsee hinnan päätöksentekomuuttujaksi saadakseen lisää markkinaosuutta. Kuten tähän mennessä on tiedetty, Bylka ja Komar sekä Singh ja Vives ovat ensimmäiset kirjoittajat, jotka analysoivat duopoleja, joissa toinen yritys kilpailee määrillä ja toinen hinnoilla. Häckner , Zanchettin ja Arya et al. totesivat, että joissakin tapauksissa Cournot-Bertrand-kilpailu voi olla optimaalista. C. H. Tremblay ja V. J. Tremblay ovat hiljattain analysoineet tuotteiden eriyttämisen merkitystä Cournot-Bertrand-duopolin Nash-tasapainon staattisten ominaisuuksien kannalta. Naimzada ja Tramontana tarkastelivat Cournot-Bertrand-duopolimallia, jota luonnehtivat lineaariset differenssiyhtälöt. He analysoivat myös parhaan vastauksen dynamiikan ja mukautuvan sopeutumismekanismin merkitystä tasapainon vakauden kannalta.
Tässä artikkelissa perustamme Cournot-Bertrand-duopolimallin olettaen, että kaksi yritystä valitsee päätöksentekomuuttujaksi tuotannon ja hinnan ja että niillä kaikilla on rajoitetut rationaaliset odotukset. Pelisysteemi voidaan kuvata epälineaarisilla differenssiyhtälöillä, mikä muuttaa ja laajentaa Naimzadan ja Tramontanan tuloksia, joissa tarkasteltiin yrityksiä, joilla on staattiset odotukset ja jotka kuvataan lineaarisilla differenssiyhtälöillä. Tutkimus johtaa hyvään ohjeistukseen yritysten päätöksentekijöille parhaan mahdollisen päätöksenteon tekemiseksi.
Työ on järjestetty seuraavasti luvussa 2 kuvataan Cournot-Bertrand-pelimalli, jossa on rajoitetut rationaaliset odotukset. Jaksossa 3 tutkitaan tasapainopisteiden olemassaoloa ja vakautta. Jaksossa 4 tutkitaan numeeristen simulaatioiden avulla pelin dynaamista käyttäytymistä eräiden kontrolliparametrien muutosten yhteydessä. Lopuksi jaksossa 5 tehdään johtopäätös.
2. Cournot-Bertrand-pelimalli rajoitetuilla rationaalisilla odotuksilla
Tarkastellaan markkinoita, joita palvelee kaksi yritystä ja yritys tuottaa tavaraa , . Tuotteiden välillä on tietty eriytymisaste ja . Yritys 1 kilpailee tuotannolla kuten Cournotin duopolissa, kun taas yritys 2 määrää hintansa kuten Bertrandin tapauksessa. Oletetaan, että yritykset tekevät strategiset valintansa samanaikaisesti ja että kukin yritys tietää kunkin toisen yrityksen tuotannon ja hinnan.
Lajikkeen 1 ja 2 tuotteiden käänteiset kysyntäfunktiot saadaan edustavan kuluttajan maksimoimasta seuraavasta hyötyfunktiosta: budjettirajoituksen alaisena, ja ne saadaan seuraavilla yhtälöillä (yksityiskohtainen todistus ks. ): missä parametri tarkoittaa tuotteiden eriytymisen tai korvautumisen indeksiä. Tuotteiden eriytymisaste kasvaa, kun . Tuotteet ja ovat homogeenisia, kun , ja kukin yritys on monopolisti, kun , kun taas negatiivinen arvo merkitsee, että tuotteet täydentävät toisiaan. Oletetaan, että molemmilla yrityksillä on samat rajakustannukset , ja kustannusfunktio on lineaarinen: Voimme kirjoittaa kysyntäjärjestelmän kahdella strategisella muuttujalla, ja : Yrityksen 1 ja 2 voittofunktiot ovat muotoa:
Oletetaan, että molemmilla yrityksillä ei ole täydellistä tietoa markkinoista ja toisesta toimijasta, ja ne tekevät päätökset odotetun rajavoiton perusteella. Jos marginaalivoitto on positiivinen (negatiivinen), ne lisäävät (vähentävät) tuotantoaan tai hintaansa seuraavalla kaudella; toisin sanoen ne ovat rajoitetusti rationaalisia toimijoita . Tällöin Cournot-Bertrandin sekadynaaminen järjestelmä voidaan kuvata epälineaarisilla differenssiyhtälöillä: missä ja edustavat vastaavasti kahden pelaajan sopeutumisnopeutta kussakin suhteessa.
3. Tasapainopisteet ja paikallinen stabiilisuus
Systeemillä (6) on neljä tasapainopistettä: missä , . , , ja ovat rajatasapainopisteitä, ja on ainoa Nash-tasapainopiste edellyttäen, että ja , joka edellyttää . Muussa tapauksessa yksi yritys poistuu markkinoilta.
Tutkimaksemme tasapainopisteiden paikallista stabiilisuutta, olkoon systeemin (6) Jacobin matriisi, joka vastaa tilamuuttujia , sitten missä , . Tasapainopisteiden stabiilisuus määräytyy vastaavissa tasapainopisteissä arvioitujen Jacobin matriisin tasapainon ominaisarvojen luonteen perusteella.
Esitys 1. Systeemin (6) reunaepätasapainopisteet , , ja ovat epästabiileja tasapainopisteitä, kun .
Todistus. Tasapainotilassa , systeemin (6) Jacobin matriisi on yhtä suuri kuin Nämä tasapainotilaa vastaavat ominaisarvot ovat seuraavat: Ilmeisesti , jolloin tasapainopiste on epästabiili.
Ja Jacobin matriisista tulee kolmiomatriisi Nämä tasapainoa vastaavat ominaisarvot ovat seuraavat: Kun , ilmeisesti . Tasapainopiste on siis epävakaa. Vastaavasti voimme todistaa, että on myös epävakaa.
Taloudellisesta näkökulmasta meitä kiinnostaa enemmän Nashin tasapainopisteen , jonka ominaisuuksia on syvällisesti analysoitu teoksessa .
Nashin tasapainopisteessä arvioitu Jacobin matriisi on seuraava
Nashin tasapainopisteessä arvioitu Jacobin matriisi on seuraava
Jakobin matriisin jälki ja determinantti merkitään seuraavasti: ja vastaavasti . Pisteen , , ja , osalta nyt on vaikeampi eksplisiittisesti laskea itseisarvoja, mutta on silti mahdollista arvioida Nashin tasapainopisteen stabiilisuutta käyttämällä seuraavia stabiilisuusehtoja, jotka tunnetaan nimellä Juryn ehdot : Yllä olevat epäyhtälöt määrittelevät alueen, jolla Nashin tasapainopiste on paikallisesti stabiili. Lisäksi voimme oppia lisää stabiilisuusalueesta numeeristen simulaatioiden avulla. Järjestelmän (6) monimutkaisen dynamiikan tutkimiseksi on kätevää ottaa parametrien arvot seuraavasti: Kuvassa 1 esitetään parametritasossa stabiilius- ja epävakausalueet. Kuvasta voidaan havaita, että liian suuri säätönopeus saa Nash-tasapainopisteen menettämään vakauden. Havaitaan myös, että hinnan sopeutumisnopeus on herkempi kuin tuotannon nopeus, ja kun noin , Nash-tasapainopiste menettää vakauden, kun taas noin Nash-tasapainopiste tekee sen.
Vakaus- ja epävakausalue.
4. Parametrien vaikutus järjestelmän stabiilisuuteen
Parametriallasdiagrammit (joita kutsutaan myös 2D-bifurkaatiokaavioiksi) ovat tehokkaampi työkalu epälineaarisen dynamiikan numeerisessa analyysissä kuin 1D-bifurkaatiokaaviot , joissa 2D-parametriavaruudessa eri värit osoitetaan eri jaksojen stabiileille sykleille. Tässä jaksossa käytetään parametriallasdiagrammeja analysoitaessa pelaajien sopeutumisnopeuden ja tuote-erotteluindeksin vaikutuksia järjestelmän vakauteen. Asetamme ja alkuarvoiksi valitaan .
4.1. The Effects of Players’ Adjustment Speed on System Stability
Kuvassa 2 esitetään parametriallas suhteessa parametreihin, kun ja antaa eri värit stabiileille vakaille tiloille (tummansininen); jaksojen 2 (vaaleansininen), 4 (violetti) ja 8 (vihreä) vakaat syklit (neljä ensimmäistä sykliä jakson kaksinkertaistumisen bifurkaatioreitillä kaaokseen) ja jaksot 3 (punainen), 5 (oranssi) ja 7 (vaaleanpunainen) (parittoman jakson matalan järjestyksen vakaat syklit); kaaos (keltainen); divergenssi (valkoinen) (mikä tarkoittaa, että yksi toimijoista poistuu markkinoilta taloustieteessä).
Parametrialtaan .
Voidaan havaita, että kun parametrit kulkevat rajojen läpi mustina nuolina ja , systeemi (6) menettää stabiilisuutensa flip-bifurkaation (jota kutsutaan jatkuvassa systeemissä periodi-kaksinkertaistuvaksi bifurkaatioksi) kautta, kuten kuvissa 3 ja 4 on esitetty. Mutta kun parametrit ylittävät rajat nuolina , järjestelmän dynaaminen käyttäytyminen on monimutkaisempaa, ja se siirtyy ensin kaaokseen Neimark-Sacker-difurkaation (jota kutsutaan Hopf-difurkaatioksi jatkuvassa järjestelmässä) kautta, siirtyy toiseksi jaksoon 2 ja kehittyy sitten kaaokseen erikseen flip-difurkaation kautta, kuten kuvassa 5 on esitetty. Huomaamme myös, että keltaisella alueella (kaaos) on punainen viiva ja oransseja pisteitä (pariton sykli); toisin sanoen kaaoksessa on ajoittainen pariton sykli, kuten kuvassa 3 ja kuvassa 5 on esitetty. On hyvin tiedossa, että 1D:n jatkuville kartoille parittoman jakson omaava sykli merkitsee kaoottista dynaamista käyttäytymistä (niin sanottua topologista kaaosta) Li ja Yorken kuuluisan ”periodi 3 merkitsee kaaosta” -tuloksen mukaisesti.
Bifurkaatiokaavio tapauksessa ja vaihtelee välillä 1,5-3,5.
Bifurkaatiokaavio ja:lle ja vaihtelee välillä 1,5-2,8.
Bifurkaatiokaavio for ja vaihtelee välillä 1,8-2,8.
Taloustieteen näkökulmasta yritysten sopeutumisnopeuden ja pitäisi olla tietyllä vaihteluvälillä; muuten systeemistä tulee esiin syklin vaihtelu ja sitten kaaokseen, mikä tarkoittaa epäsäännöllistä, alkuarvoille herkkää, arvaamatonta ja talouden kannalta huonoa. Havaitsemme myös, että säätöalue on suurempi kuin säätöalue , mikä tarkoittaa, että hinnan säätö on herkempi kuin tuotannon säätö, ja hintasota on helpompi saada markkinat kaaokseen.
4.2. Kaaos. Tuotteiden eriytymisindeksin vaikutukset järjestelmän vakauteen
Tuotteiden eriytymisindeksin vaikutusten selvittämiseksi järjestelmän vakauteen kuviot 6, 7, 8 ja 9 esittävät parametrialtaat , , , ja erikseen.
Parametrinaltaan .
Parametrialtaan .
Parametrialtaan .
Parametrialtaan .
Vertailusta näemme, että tummansininen alue suurenee ja keltainen alue pienenee tuotedifferentiaatioindeksin kasvaessa ; eli tuotedifferentiaation aste on pienempi ja parametrien säädettävissä oleva alue ja jotta systeemi pysyisi vakaana, tulee suuremmaksi, mikä tarkoittaa, että kahden yrityksen tuotteiden välillä on enemmän kilpailua.
5. Johtopäätökset
Tässä asiakirjassa ehdotamme Cournot-Bertrand-sekapelin mallia, jossa oletetaan, että yrityksillä ei ole täydellistä tietoa markkinoista ja vastustajasta, ja ne tekevät päätöksensä oman marginaalivoittonsa mukaan. Kysyntä- ja kustannusfunktion oletetaan olevan lineaarinen, ja malli voidaan kuvata differenssiyhtälöillä. Rajatasapaino on aina epävakaa, ja Nash-tasapainon olemassaoloa ja paikallista vakautta analysoidaan. Lisäksi analysoidaan parametrien (sopeutumisnopeus ja tuotedifferentiaali-indeksi) vaikutuksia järjestelmän vakauteen, ja erilaisia bifurkaatioita ja kaaokseen johtavia reittejä analysoidaan käyttämällä parametriallasdiagrammeja. Cournot-Bertrand-pelimalleja erilaisissa markkinointiympäristöissä on tarkasteltava, ja se on mielenkiintoinen aihe tulevaa tutkimusta varten.
Kiitokset
Kirjoittajat kiittävät arvostelijoita huolellisesta lukemisesta ja eräiden asiaankuuluvien ehdotusten antamisesta. Tutkimusta on tukenut Kiinan kansallinen luonnontieteellinen säätiö (nro 61273231).
Vastaa