4.3: Compressibility and Expansivity

Deriving an Expression for a Partial Derivative (Type I): Vastavuoroisuussääntö

Harkitaan systeemiä, jota kuvataan kolmella muuttujalla ja jolle voidaan kirjoittaa muuttujien matemaattinen rajoitus

\

Tässä tilanteessa systeemin tila voidaan määritellä muuttamalla vain kahta muuttujaa toisistaan riippumatta, koska kolmannella muuttujalla on kiinteä arvo. Näin ollen voitaisiin määritellä kaksi funktiota: \(z(x, y)\) ja \(y(x,z)\).

Tällöin voidaan kirjoittaa \(dz\) ja \(dy\) kokonaisdifferentiaalit seuraavasti

\

ja

\

Substituoimalla yhtälön \ref{eq6} lauseke yhtälöön \ref{eq5}:

\ \\\ &= \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_y dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x y}{\partial x} \right)_z dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz \label{eq7} \end{align}\]

Jos systeemi käy läpi muutoksen, joka seuraa polkua, jossa \(x\) pidetään vakiona (\(dx = 0\)), tämä lauseke yksinkertaistuu muotoon

\

Ja niin myös muutoksille, joille \(dz \neq 0\),

\

Tämä vastavuoroisen laskennan sääntö on erittäin käytännöllinen osittaisderivaattojen manipuloinnissa. Mutta se voidaan johtaa myös suoraviivaisesti, joskin vähemmän tiukasti. Aloitetaan kirjoittamalla \(z(x,y)\):n kokonaisdifferentiaali. (Yhtälö \ref{eq5}):

\

Jaa nyt molemmat puolet \(dz\):llä ja sido vakioksi \(x\).

\

Huomautetaan, että

\

\

ja

\

Yhtälöstä \ref{eq10} tulee

\

tai

\

Tämä osittaisderivaattojen ”muodollinenkin” manipulointi on kätevä ja hyödyllinen, vaikka se ei olekaan matemaattisesti tiukka. Se toimii kuitenkin termodynamiikassa esiintyvien osittaisderivaattojen kanssa, koska muuttujat ovat tilamuuttujia ja differentiaalit ovat eksakteja.