Punto de equilibrio

El punto x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x}} en \mathbb {R} ^{n}}. en ^{n}} del punto ~ ∈ R.

es un punto de equilibrio para la ecuación diferencial d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}. }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}

si f ( t , x ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x}})=\mathbf {0} }

para todo t {\displaystyle t}

.

De manera similar, el punto x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x}} en ^{n}} del punto ~ ∈ R.

es un punto de equilibrio (o punto fijo) para la ecuación en diferencias x k + 1 = f ( k , x k ) {\textstyle \mathbf {x} k+1}= f ( k , x k ) (k,\mathbf {x} _{k})}

si f ( k , x ~ ) = x ~ {\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x}})= {\tilde {\mathbf {x} }}}

para k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots }

.

Los equilibrios se pueden clasificar observando los signos de los valores propios de la linealización de las ecuaciones sobre los equilibrios. Es decir, evaluando la matriz jacobiana en cada uno de los puntos de equilibrio del sistema, y luego encontrando los valores propios resultantes, se pueden clasificar los equilibrios. Entonces el comportamiento del sistema en la vecindad de cada punto de equilibrio puede determinarse cualitativamente, (o incluso cuantitativamente, en algunos casos), encontrando el(los) vector(es) propio(s) asociado(s) a cada valor propio.

Un punto de equilibrio es hiperbólico si ninguno de los valores propios tiene parte real cero. Si todos los valores propios tienen parte real negativa, el equilibrio es una ecuación estable. Si al menos uno tiene parte real positiva, el equilibrio es un nodo inestable. Si al menos un valor propio tiene parte real negativa y al menos uno tiene parte real positiva, el equilibrio es un punto de silla.