Plano de Argand y Representación Polar

Plano de la arcada

En las clases anteriores, has leído sobre la recta numérica. Es una manera conveniente de representar los números reales como puntos en una línea. Del mismo modo, has leído sobre el sistema de coordenadas cartesianas. Es un conjunto de tres ejes mutuamente perpendiculares y una forma conveniente de representar un conjunto de números (dos o tres) o un punto en el espacio.

Comencemos con la recta numérica. Imagina que eres una especie de dios de las matemáticas y que acabas de crear los números reales. Resulta que has trazado otra línea perpendicular al eje real. ¿Qué será esta línea? Definitivamente no es real. Por lo tanto, debe ser imaginaria o la línea compleja.

Así tenemos una forma de representar gráficamente cualquier número imaginario. Sólo tenemos que encontrar su parte real y una parte imaginaria. En segundo lugar, los representamos en las dos rectas numéricas mutuamente perpendiculares. El punto de intersección, como se muestra arriba, es el origen de nuestro Plano.

El Plano así formado se conoce como Plano de Argand y es una forma conveniente de representar gráficamente cualquier número imaginario. Sea z = x + iy. Entonces Re(z) = x e Im(z) = y.

• Básicos de los números complejos
• Operaciones sobre números complejos
• Módulo y conjugado de un número complejo
• Ecuaciones cuadráticas complejas

El par ordenado (x,y) representado en el plano de Argand representará un punto. Este punto corresponde a nuestro número complejo z. Trazamos una recta dirigida desde O hasta el punto P(x,y) que representa z. Sea θ el ángulo que forma esta recta con la dirección positiva del «Eje Real». Por tanto, (90 – θ) es el ángulo que forma con el «Eje Imaginario». Esto es algo importante, así que téngalo a mano!

Argumento de z

Como ya se ha establecido, todo número Complejo puede ser representado en algún lugar del Plano de Argand. Esto se deduce del hecho de que bajo la operación de nuestra Álgebra, los números Complejos son cerrados. Imagina que representas dos números, z1 = 2 +3i y z2 = 2 – 3i. Podemos ver que |z1| = |z2|. ¡Uy! ¿Qué hemos hecho? Si representamos los dos puntos (2, 3) y (2, -3), veremos que son simétricos por encima y por debajo de los ejes reales. Los llamamos imágenes especulares el uno del otro.

¿Cómo podemos distinguirlos? Introducimos otra cantidad llamada Argumento de z1 y z2. Se define como el ángulo ‘θ’ que forma la recta que une el punto P (que representa nuestro número complejo) y el origen O, con la dirección positiva de los «Ejes Reales». Esto da a cada número complejo un sentido único de una dirección u orientación en el Plano de Argand. Por lo tanto, podemos representar de forma única cada punto en el Plano de Argand.

Módulo de un número complejo

En una sección anterior definimos el módulo de un número imaginario z = a + ib como |z| = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Aquí veremos que esta definición se ajusta perfectamente a la representación geométrica de los números complejos.

En la figura anterior, supongamos que la punta de la flecha es P (a, b), donde P representa el número z = a + ib. Entonces se puede averiguar la longitud de OP mediante la fórmula de la distancia como = \( \sqrt{(a – 0)^2 + (b-0)^2} \N-)

De ahí que podamos decir que OP = \( \sqrt{a^2 + b^2} \N-) . Así que el módulo es la longitud del segmento de recta que une el punto, correspondiente a nuestro número complejo, con el origen del Plano de Argand. Como puedes ver siempre es positivo, de ahí que lo llamemos módulo. Todo encaja ahora, ¿no?

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Representación polar

Tenemos diferentes tipos de sistemas de coordenadas. Uno de ellos es el sistema de Coordenadas Polares. No es más que un conjunto de líneas perpendiculares entre sí. El origen se llama Polo. Medimos la posición de cualquier punto midiendo la longitud de la recta que lo une al origen y el ángulo que forma la recta con un eje determinado. Por ejemplo, si conocemos el valor de φ y r podemos localizar P. Estas son las coordenadas polares, r y φ.

De forma similar, si conocemos el Argumento de un número complejo en el Plano de Argand y la longitud OP, podemos localizar dicho número. Sea r = OP. También sabemos que OP = |z| = r ; donde z = x + iy

Las coordenadas de P son (x, y). En el triángulo rectángulo vemos que x = r cos(θ) e y = r sin(θ). Así que podemos escribir, z = r cos(θ) + r sin(θ) = r . Esto, mis queridos amigos es la representación Polar de nuestro número complejo z = x + iy con:

Arg(z) = θ y |z| = r

Ahora y/x = r sin(θ)/r cos(θ) = tan θ

Por lo tanto, θ = tan-1(y/x)

Usando esta relación, podemos encontrar el argumento de un número complejo.

Ejemplos resueltos para ti

Pregunta 1: Si z = -2(1+2i)/(3 + i) donde i= \( \sqrt{-1} \), entonces el argumento θ(-π < θ ≤ π) de z es:

A) 3 \( \frac{π}{4} \) B) \( \frac{π}{4} \) C) 5 \( \frac{π}{6} \) D) -3 \( \frac{π}{4})

Respuesta : D) Como z = -2(1+2i)/(3 + i)

Multiplicando y dividiendo por (3 – i), obtenemos

z = -2(1+2i)×(3 – i)/(3 + i)×(3 – i) = -1 – i

Comparando esto con z = x + iy, tenemos x = -1 e y = -1

Por lo tanto, θ = tan-1(y/x) = tan-1(1) = -3 \( \frac{π}{4}\)

¿Por qué no \( \frac{π}{4}\)? Pues porque, tanto x como y son negativos. Esto significa que el punto P está ahora en el tercer cuadrante. Por lo tanto, θ = -3 \( \frac{π}{4} \) .

Pregunta 2: ¿Cuál es la estructura básica de un argumento?

Respuesta: El argumento consiste en al menos una premisa que no lleva a una conclusión. Además, consta de al menos una premisa y una falacia que utilizamos para apoyar una conclusión. Además, un argumento consta de premisas que se utilizan para apoyar una conclusión.

Pregunta 3: ¿Qué es la lista de argumentos?

Respuesta: El argumento se refiere a una lista que expresamosen la lista separada por comas delimitada por los paréntesis en una expresión de llamada de función, o es una secuencia de tokens de procesamiento en la lista separada por comas delimitada por las interpolaciones en una invocación de macrofunción.

Pregunta 4: ¿Cuál es la diferencia entre el argumento principal y el argumento?

Respuesta: El valor que se encuentra entre -pi y pi se llama argumento principal de un número complejo. Además, el valor es tal que -π < θ = π. Además, θ es una función periódica con un periodo de 2π, por lo que podemos representar este argumento como (2nπ + θ), donde n es un número entero y éste es un argumento general.

Pregunta 5: ¿Qué es el argumento de un número real?

Respuesta: Es el ángulo que forman el vector y el número complejo con el eje real positivo. Además, cuando el número real es positivo entonces la respuesta es su medida de ángulo.