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Las ecuaciones lineales en una variable son ecuaciones donde la variable tiene un exponente de 1, que típicamente no se muestra (se entiende). Un ejemplo sería algo así como \N(12x = x – 5\). Para resolver ecuaciones lineales, hay un objetivo principal: aislar la variable. En esta lección, veremos cómo se hace esto a través de varios ejemplos.

Tabla de contenidos

1. Ejemplos de resolución de ecuaciones de un paso
2. Ejemplos de resolución de ecuaciones de dospaso
3. Ejemplos de ecuaciones en las que hay que simplificar primero
4. Soluciones infinitas o nulas
5. Resumen

Ejemplos de resolución de ecuaciones lineales de un paso

Después de todo el trabajo que has realizado resolviendo la ecuación, sabes que quieres una respuesta final como \(x=5\) o \(y=1\). En ambos casos la variable está aislada, o por sí misma.

Así que tenemos que averiguar cómo aislar la variable. ¡Cómo lo hacemos depende de la propia ecuación! Si se multiplicó por algo, dividiremos. Si se ha sumado algo, restaremos. Al hacer esto, poco a poco iremos obteniendo la variable por sí misma.

Utilicemos un ejemplo para ver cómo funciona esto.

Ejemplo

Resolvemos la ecuación: \(4x = 8\)

Solución

En este ejemplo, el 4 está multiplicando el \(x\). Por lo tanto, para aislar \(x\), debes dividir ese lado entre 4. Al hacer esto, debes recordar una regla importante: lo que hagas a un lado de la ecuación, debes hacerlo al otro lado. Así que vamos a dividir ambos lados por 4.

(\begin{align}4x &= 8 \dfrac{4x}{color{rojo}{4} &= \dfrac{8}{color{rojo}{4}}end{align})

Simplificando:

(x = \boxed{2})

Eso es, un paso y ya está. (Es por eso que las ecuaciones como estas a menudo se llaman ecuaciones de «un paso»)

Comprobar

Cada vez que usted está resolviendo ecuaciones lineales, siempre se puede comprobar su respuesta mediante la sustitución de nuevo en la ecuación. Si obtienes una afirmación verdadera, entonces la respuesta es correcta. Esto no es 100% necesario para todos los problemas, pero es un buen hábito, así que lo haremos para nuestras ecuaciones.

En este ejemplo, nuestra ecuación original era \N(4x = 8\). Para comprobarlo, verifica que lo siguiente es cierto:

(\begin{align}4x &= 8\\ 4(2) &= 8 \\b})

Esta es una afirmación verdadera, por lo que nuestra respuesta es correcta.

Para cualquier ecuación, cualquier operación que se haga en un lado debe hacerse también en el otro

Intentemos un par de ejemplos más antes de pasar a ecuaciones más complejas.

Ejemplo

Resolver: \(3x=12\)

Solución

Dado que \(x\) se está multiplicando por 3, el plan es dividir por 3 en ambos lados:

(\begin{align}3x &=12{dfrac{3x}{color{rojo}{3} &=\dfrac{12}{color{rojo}{3}\ x&= \boxed{4}{final{align}})

Comprobar

Para comprobar nuestra respuesta, dejaremos que \ x = 4\) y lo sustituiremos de nuevo en la ecuación:

(\begin{align}3x &= 12\3(4) &= 12 \ 12 &= 12\b{align})

Igual que antes, al ser una afirmación verdadera, sabemos que nuestra respuesta es correcta.

En el siguiente ejemplo, en lugar de multiplicar la variable por un valor, se está restando un valor a la variable. Para «deshacer» esto, sumaremos ese valor a ambos lados.

Ejemplo

Resolver:

Solución

Esta vez, se está restando 9 a y. Por tanto, lo desharemos sumando 9 a ambos lados.

(\comenzar{align}y-9&=21\cay-9{color{rojo}{+9}&=21{color{rojo}{+9}\y&=30{final{align})

A continuación veremos lo que comúnmente se llama ecuaciones de «dos pasos». En estas ecuaciones, necesitaremos deshacer dos operaciones para aislar la variable.

Ejemplos de ecuaciones de dos pasos

En cada uno de los ejemplos anteriores, había un solo paso que realizar antes de tener nuestra respuesta. En los siguientes ejemplos, verás cómo trabajar con ecuaciones que tienen dos pasos. Si hay más de una operación, es importante recordar el orden de las operaciones, PEMDAS. Ya que estás deshaciendo las operaciones a \(x\), trabajarás de «afuera hacia adentro». Esto es más fácil de entender cuando lo ves en un ejemplo.

Ejemplo

Resolver: \(2x-7=13\)

Solución

Nota las dos operaciones que le ocurren a \(x\): se está multiplicando por 2 y luego se le resta 7. Tendremos que deshacerlas. Pero, sólo se está multiplicando por 2 a \N x\, por lo que el primer paso será sumar 7 a ambos lados. Entonces podemos dividir ambos lados por 2.

Sumando 7 a ambos lados:

(\begin{align} 2x-7 &= 13\b} 2x-7 \color{rojo}{+7} & =13 \color{rojo}{+7}\\Nde 2x&=20\Nfinal{align})

Ahora divide ambos lados por 2:

(\begin{align} 2x &=20 \b\b}

Comprueba

Al igual que con los problemas más sencillos, puedes comprobar tu respuesta sustituyendo tu valor de \N(x\) de nuevo en la ecuación original.

(\begin{align}2x-7&=13\\ 2(10) – 7 &= 13\ 13 &= 13\\bend{align})

Esto es cierto, por lo que tenemos la respuesta correcta.

Veamos un ejemplo más de dos pasos antes de saltar de nuevo en dificultad. Asegúrate de que entiendes cada uno de los pasos mostrados y trabaja también el problema.

Ejemplo

Resuelve: \(5w + 2 = 9\)

Solución

Como en el caso anterior, hay dos operaciones: \N(w\N) se está multiplicando por 5 y luego se le suma 2. Las desharemos restando primero 2 a ambos lados y luego dividiendo por 5.

(\begin{align}5w + 2 &= 9\b} 5w + 2 \color{rojo}{-2} &= 9 \color{rojo}{-2} 5w &= 7\b{dfrac{5w}{color{rojo}{5}} &=\dfrac{7}{color{rojo}{5}\w={caja{7}{5}}end{align})

La fracción de la derecha no se puede simplificar, por lo que es nuestra respuesta final.

Comprobar

Dejemos que \ w = \dfrac{7}{5}}. Entonces:

(\begin{align}5w + 2 &= 9\b(\dfrac{7}{5}\a la derecha) + 2 &= 9\b 7 + 2 &= 9\b 9 &= 9 \end{align})

¡Así que tenemos la respuesta correcta una vez más!

Simplificando antes de resolver

En los siguientes ejemplos, hay más términos variables y posiblemente alguna simplificación que debe realizarse. En cada caso, los pasos serán, primero, simplificar ambos lados y, después, utilizar lo que hemos estado haciendo para aislar la variable. Primero veremos en profundidad un ejemplo para ver cómo funciona todo esto.

Para entender esta sección, debes sentirte cómodo con la combinación de términos semejantes.

Ejemplo

Resolver: \(3x+2=4x-1\)

Solución

Dado que ambos lados están simplificados (no hay paréntesis que tengamos que descifrar ni términos semejantes que combinar), el siguiente paso es obtener todas las x de un lado de la ecuación y todos los números del otro lado. Se aplica la misma regla: todo lo que hagas en un lado de la ecuación, debes hacerlo también en el otro.

Se puede mover el \(3x\) o el \(4x\). Supongamos que usted se trasladó el \ ~ (4x\). Dado que es positivo, lo harías restándolo de ambos lados:

(\begin{align}3x+2 &=4x-1\b} 3x+2\color{rojo}{-4x} &=4x-1\color{rojo}{-4x}\\N-x+2 &=-1\Nfinal{align})

Ahora la ecuación se parece a las que se han trabajado antes. El siguiente paso es restar 2 a ambos lados:

(\begin{align}-x+2\color{rojo}{-2} &= -1\color{rojo}{-2}\x=-3\end{align})

Por último, como \(-x= -1x\) (esto es siempre cierto), divide ambos lados por \(-1\):

\(\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &=dfrac{3}{color{rojo}{-1}}\Nx&=3\Nfinal{align})

Comprobar

Hay que tomarse un momento y comprobar que lo siguiente es un enunciado verdadero:

(3(3)+ 2 = 4(3) – 1)

En el siguiente ejemplo, tendremos que utilizar la propiedad distributiva antes de resolver. Es fácil cometer un error aquí, así que asegúrate de que distribuyes el número que hay delante del paréntesis a todos los términos que hay dentro.

Ejemplo

Resuelve: \(3(x+2)-1=x-3(x+1)\N-)

Solución

Primero, distribuye el 3 y el -3, y recoge los términos semejantes.

(\Ncomienza{alinear} 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)\N- 3x+6-1&=x-3x-3 \N- 3x+5&=-2x-3\N-end{align})

Ahora podemos sumar 2x a ambos lados. (Recuerda que obtendrás la misma respuesta si en lugar de eso restases 3x a ambos lados)

(\begin{align} 3x+5\color{rojo}{+2x} &=-2x-3\color{rojo}{+2x}\ 5x+5& =-3\\\\\Nfinal})

A partir de aquí, podemos resolver como hicimos con otras ecuaciones de dos pasos.

(={dfrac{8}{color{rojo}{5}{5}{5}. &=\caja{-\dfrac{8}{5}}end{align})

Comprobar

Esta ha sido difícil, así que recuerda comprobar tu respuesta y asegurarte de que no has cometido ningún error. Para ello, te asegurarás de que lo siguiente es un enunciado verdadero:

(3\a la izquierda(-\dfrac{8}{5}+2\a la derecha)-1=Izquierda(-\dfrac{8}{5}{directa)-3\a la izquierda(-\dfrac{8}{5}+1\a la derecha)

(Nota: sí funciona – ¡pero hay que tener mucho cuidado con los paréntesis!)

Muchas soluciones infinitas y ninguna solución

Hay veces en las que sigues todos estos pasos y sale una solución realmente extraña. Por ejemplo, al resolver la ecuación \(x+2=x+2\) siguiendo los pasos anteriores, termina con \(0=0\). Esto es ciertamente cierto, pero ¿de qué sirve?

Si obtienes una afirmación como ésta, significa que la ecuación tiene infinitas soluciones. Cualquier \N(x\) que se te ocurra satisfaría la ecuación \N(x+2=x+2\). La respuesta adecuada en este caso es «infinitas soluciones».

La otra situación se da cuando se simplifica una ecuación hasta un enunciado que nunca es verdadero, como \N(3=4\) o \N(0=1\). Esto ocurre con la ecuación \(x+5=x-7\) que llevará a \(5= -7\), algo que ciertamente nunca es cierto. Esto significa que ningún \(x\) satisfaría esta ecuación. En otras palabras «no hay solución». En resumen:

• Si se obtiene un enunciado que siempre es verdadero como \(5 = 5\) o \(0 = 0\), entonces hay infinitas soluciones.
• Si se obtiene un enunciado que siempre es falso como \(10 = 11\) o \(1 = 5\), entonces no hay soluciones.

Resumen

Resolver ecuaciones lineales consiste en aislar la variable. Dependiendo de la ecuación, esto puede tomar tan poco como un paso o muchos más pasos. Comprueba siempre si necesitas simplificar uno o ambos lados de la ecuación primero, y comprueba siempre tu respuesta.

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