Función de Gompertz

Curva de GompertzEditar

La biología de las poblaciones se ocupa especialmente de la función de Gompertz. Esta función es especialmente útil para describir el rápido crecimiento de una determinada población de organismos, a la vez que es capaz de dar cuenta de la eventual asíntota horizontal, una vez determinada la capacidad de carga (número de células/población en meseta).

Se modela de la siguiente manera:

N ( t ) = N 0 exp ( ln ( N I / N 0 ) ( 1 – exp ( – b t ) ) ) {\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}

donde:

• t es el tiempo
• N0 es la cantidad inicial de células
• NI es el número de células/población de la meseta
• b es la tasa inicial de crecimiento del tumor

Esta consideración de la función del número de células de la meseta la hace útil para imitar con precisión la dinámica de la población en la vida real. La función también se adhiere a la función sigmoidea, que es la convención más ampliamente aceptada de detallar generalmente el crecimiento de una población. Además, la función hace uso de la tasa de crecimiento inicial, que se observa habitualmente en las poblaciones de células bacterianas y cancerosas, que pasan por la fase logarítmica y crecen rápidamente en número. A pesar de su popularidad, la función tasa inicial de crecimiento tumoral es difícil de predeterminar, dada la variación de los microcosmos presentes en un paciente, o de los factores ambientales en el caso de la biología de poblaciones. En los pacientes con cáncer, factores como la edad, la dieta, la etnia, las predisposiciones genéticas, el metabolismo, el estilo de vida y el origen de la metástasis intervienen en la determinación de la tasa de crecimiento del tumor. También se espera que la capacidad de carga cambie en función de estos factores, por lo que la descripción de estos fenómenos es difícil.

Curva metabólicaEditar

La función metabólica se ocupa especialmente de contabilizar la tasa de metabolismo dentro de un organismo. Esta función puede aplicarse al seguimiento de las células tumorales; la tasa metabólica es dinámica y muy flexible, lo que la hace más precisa para detallar el crecimiento del cáncer. La curva metabólica tiene en cuenta la energía que el cuerpo proporciona para mantener y crear tejidos. Esta energía puede considerarse como metabolismo y sigue un patrón específico en la división celular. La conservación de la energía puede utilizarse para modelar dicho crecimiento, independientemente de las diferentes masas y tiempos de desarrollo. Todos los taxones comparten un patrón de crecimiento similar y este modelo, como resultado, considera la división celular, la base del desarrollo de un tumor.

B = ∑ C ( N C B C ) + ( E C d N C d t ) {\displaystyle B={suma _{C}(N_{C}B_{C})+{left(E_{C}{operador}{d} {{N_{C}}{sobre{operador}{t}}{derecho)}

• B = energía que el organismo utiliza en reposo
• NC = número de células en el organismo dado
• BC= tasa metabólica de una célula individual
• NCBC= energía necesaria para mantener el tejido existente
• EC= energía necesaria para crear un nuevo tejido a partir de una célula individual

La diferenciación entre la energía utilizada en reposo y la tasa metabólica de trabajo permite al modelo determinar con mayor precisión la tasa de crecimiento. La energía en reposo es inferior a la energía utilizada para mantener un tejido, y juntas representan la energía necesaria para mantener el tejido existente. El uso de estos dos factores, junto con la energía requerida para crear nuevo tejido, mapea exhaustivamente la tasa de crecimiento y, además, conduce a una representación precisa de la fase de retardo.

Crecimiento de tumoresEditar

En la década de 1960 A.K. Laird utilizó por primera vez con éxito la curva de Gompertz para ajustar los datos de crecimiento de los tumores. De hecho, los tumores son poblaciones celulares que crecen en un espacio confinado donde la disponibilidad de nutrientes es limitada. Denotando el tamaño del tumor como X(t) es útil escribir la curva de Gompertz como sigue:

X ( t ) = K exp ( log ( X ( 0 ) K ) exp ( – α t ) ) {\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)}

donde:

• X(0) es el tamaño del tumor en el tiempo de observación inicial;
• K es la capacidad de carga, es decir.es decir, el tamaño máximo que se puede alcanzar con los nutrientes disponibles. De hecho es:
  lim t → + ∞ X ( t ) = K {\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}

  

independientemente de X(0)>0. Nótese que, en ausencia de terapias etc.. suele ser X(0)<K, mientras que, en presencia de terapias, puede ser X(0)>K;

• α es una constante relacionada con la capacidad proliferativa de las células.
• log() se refiere al logaritmo natural.

Se puede demostrar que la dinámica de X(t) se rige por la ecuación diferencial de Gompertz:

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}\right)X(t)}

es decir, es de la forma cuando se descompone:

X ′ ( t ) = F ( X ( t ) ) X ( t ) , con F ′ ( X ) ≤ 0 , {\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,

F(X) es la tasa de proliferación instantánea de la población celular cuyo carácter decreciente se debe a la competencia por los nutrientes debida al aumento de la población celular, de forma similar a la tasa de crecimiento logístico. Sin embargo, hay una diferencia fundamental: en el caso logístico la tasa de proliferación para una población celular pequeña es finita:

F ( X ) = α ( 1 – ( X K ) ν ) ⇒ F ( 0 ) = α < + ∞ {\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\ rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }

mientras que en el caso Gompertz la tasa de proliferación es ilimitada:

lim X → 0 + F ( X ) = lim X → 0 + α log ( K X ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}alpha \log \left({\frac {K}{X}}right)=+\infty }

Tal y como han observado Steel y Wheldon, la tasa de proliferación de la población celular está limitada en última instancia por el tiempo de división celular. Por lo tanto, esto podría ser una prueba de que la ecuación de Gompertz no es buena para modelar el crecimiento de los tumores pequeños. Además, más recientemente se ha observado que, incluyendo la interacción con el sistema inmunitario, Gompertz y otras leyes caracterizadas por una F(0) no limitada excluirían la posibilidad de vigilancia inmunitaria.

El estudio teórico de Fornalski et al. mostró la base biofísica de la curva de Gompertz para el crecimiento del cáncer, excepto en la fase muy temprana, en la que la función parabólica es más apropiada. También encontraron que la curva de Gompertz describe el caso más típico entre la amplia familia de las funciones de la dinámica del cáncer.

Crecimiento de Gompertz y crecimiento logísticoEditar

La ecuación diferencial de Gompertz

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\año \log \año({\frac {K}{X(t)}\año)}

es el caso límite de la ecuación diferencial logística generalizada

X ′ ( t ) = α ν ( 1 – ( X ( t ) K ) 1 ν ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)={alfa \\nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}\right)^{\frac {1{\nu }\right)} X(t)}

(donde ν > 0 {\nu >0}

es un número real positivo) ya que

lim ν → + ∞ ν ( 1 – x 1 / ν ) = – log ( x ) {\displaystyle \lim _{nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}

.

Además, existe un punto de inflexión en la gráfica de la función logística generalizada cuando

X ( t ) = ( ν ν + 1 ) ν K {\displaystyle X(t)=left({\frac {\nu }{nu +1}}\right)^{\nu }}

y uno en la gráfica de la función Gompertz cuando

X ( t ) = K e = K ⋅ lim ν → + ∞ ( ν ν + 1 ) ν {\displaystyle X(t)={frac {K}{e}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }left({\frac {\nu }{\nu +1}\right)^{\nu }}

.

Modelización de la trayectoria de la infección por COVID-19Editar

Función logística generalizada (curva de crecimiento de Richards) en la modelización epidemiológica

Una función logística generalizada, también llamada curva de crecimiento de Richards, se utiliza ampliamente en la modelización de las trayectorias de la infección por COVID-19. La trayectoria de la infección es una serie temporal diaria de datos para el número acumulado de casos infectados para un tema como país, ciudad, estado, etc. Existen variantes de re-parametrización en la literatura: una de las formas más utilizadas es

f ( t ; θ 1 , θ 2 , θ 3 , ξ ) = θ 1 1 / ξ {\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{^{1/\xi }}}}

donde θ 1 , θ 2 , θ 3 {\frac \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}

son números reales, y ξ {\displaystyle \xi }

es un número real positivo. La flexibilidad de la curva f {\displaystyle f}

se debe al parámetro ξ {\displaystyle \xi }

: (i) si ξ = 1 {\displaystyle \xi =1}

entonces la curva se reduce a la función logística, y (ii) si ξ {\displaystyle \xi }

converge a cero, entonces la curva converge a la función Gompertz. En la modelización epidemiológica, θ 1 {\displaystyle \theta _{1}}

, θ 2 {\displaystyle \theta _{2}}

, y θ 3 {\displaystyle \theta _{3}}

representan el tamaño final de la epidemia, la tasa de infección y la fase de retraso, respectivamente. Véase el panel derecho para una trayectoria de infección ejemplar cuando ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) {\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}

se designan por ( 10 , 000 , 0,2 , 40 ) {\displaystyle (10,000,0,2,40)}

.

Trayectorias de infección extrapoladas de 40 países gravemente afectados por el COVID-19 y la media general (de la población) hasta el 14 de mayo

Una de las ventajas de utilizar la función de crecimiento, como la función logística generalizada, en la modelización epidemiológica es su expansión relativamente fácil al marco del modelo multinivel utilizando la función de crecimiento para describir las trayectorias de infección de múltiples sujetos (países, ciudades, estados, etc.). Véase la figura anterior. Dicho marco de modelización también puede denominarse ampliamente modelo no lineal de efectos mixtos o modelo no lineal jerárquico.

Ley Gomp-ex de crecimientoEditar

Basado en las consideraciones anteriores, Wheldon propuso un modelo matemático de crecimiento tumoral, denominado modelo Gomp-Ex, que modifica ligeramente la ley Gompertz. En el modelo Gomp-Ex se supone que inicialmente no hay competencia por los recursos, por lo que la población celular se expande siguiendo la ley exponencial. Sin embargo, existe un umbral de tamaño crítico X C {\displaystyle X_{C}}

tal que para X > X C {exp. X>X_{C}}

. La suposición de que no hay competencia por los recursos es válida en la mayoría de los escenarios. Sin embargo, puede verse afectada por factores limitantes, lo que requiere la creación de variables subfactoriales.

el crecimiento sigue la Ley de Gompertz:

F ( X ) = max ( a , α log ( K X ) ) {\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}\right)\right)}

por lo que:

X C = K exp ( – a α ) . {\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{frac {a}{alpha }}right).}

Aquí hay algunas estimaciones numéricas para X C {\displaystyle X_{C}}