¿Es 1+2+3… ¿Realmente es igual a -1/12?

Un vídeo de Numberphile publicado a principios de este mes afirma que la suma de todos los enteros positivos es -1/12.

Normalmente soy un fan del equipo de Numberphile, que hace un gran trabajo haciendo que las matemáticas sean emocionantes y accesibles, pero este vídeo me ha decepcionado. Hay una forma significativa de asociar el número -1/12 a la serie 1+2+3+4…, pero en mi opinión, es engañoso llamarlo la suma de la serie. Además, la forma en que se presenta contribuye a una idea errónea con la que me encuentro a menudo como educador de matemáticas, según la cual los matemáticos cambian arbitrariamente las reglas sin razón aparente, y los estudiantes no tienen ninguna esperanza de saber qué está permitido y qué no en una situación determinada. En un post sobre este vídeo, el físico Dr. Skyskull dice que «una parte deprimente de la población asume automáticamente que las matemáticas son una especie de magia no intuitiva y extraña que sólo los superinteligentes pueden comprender. Mostrar un resultado tan descabellado sin calificar sólo refuerza esa opinión y, en mi opinión, hace un flaco favor a las matemáticas»

La suma es una operación binaria. Pones dos números y sacas un número. Pero se puede extender a más números. Si tienes, por ejemplo, tres números que quieres sumar, puedes sumar primero dos de ellos y luego añadir el tercero a la suma resultante. Podemos seguir haciendo esto para cualquier número finito de sumandos (y las leyes de la aritmética dicen que obtendremos la misma respuesta sin importar el orden en que los sumemos), pero cuando intentamos sumar un número infinito de términos, tenemos que hacer una elección sobre lo que significa la suma. La forma más común de tratar la adición infinita es utilizando el concepto de límite.

A grandes rasgos, decimos que la suma de una serie infinita es un número L si, a medida que añadimos más y más términos, nos acercamos cada vez más al número L. Si L es finito, llamamos a la serie convergente. Un ejemplo de serie convergente es 1/2+1/4+1/8+1/16…. Esta serie converge al número 1. Es bastante fácil ver por qué: después del primer término, estamos a mitad de camino del 1. Después del segundo término, estamos a la mitad de la distancia restante a 1, y así sucesivamente.

La paradoja de Zenón dice que en realidad nunca llegaremos a 1, pero desde el punto de vista del límite, podemos acercarnos tanto como queramos. Esa es la definición de «suma» a la que suelen referirse los matemáticos cuando hablan de series infinitas, y coincide básicamente con nuestra definición intuitiva de las palabras «suma» e «igual».

Pero no todas las series son convergentes en este sentido (llamamos divergentes a las series no convergentes). Algunas, como 1-1+1-1…, pueden rebotar entre diferentes valores a medida que vamos añadiendo más términos, y otras, como 1+2+3+4… pueden hacerse arbitrariamente grandes. Está bastante claro, entonces, que usando la definición de límite de convergencia para una serie, la suma 1+2+3… no converge. Si dijera: «Creo que el límite de esta serie es algún número finito L», podría calcular fácilmente cuántos términos añadir para llegar tan lejos por encima del número L como quisiera.

Hay formas significativas de asociar el número -1/12 a la serie 1+2+3…, pero prefiero no llamar -1/12 a la «suma» de los enteros positivos. Una forma de abordar el problema es con la idea de la continuación analítica en el análisis complejo.

Digamos que tenemos una función f(z) que está definida en algún lugar del plano complejo. Llamaremos U al dominio en el que está definida la función. Podrías averiguar una forma de construir otra función F(z) que esté definida en una región más grande tal que f(z)=F(z) siempre que z esté en U. Así que la nueva función F(z) coincide con la función original f(z) en cualquier lugar en el que esté definida f(z), y está definida en algunos puntos fuera del dominio de f(z). La función F(z) se llama continuación analítica de f(z). («La» es el artículo apropiado para usar porque la continuación analítica de una función es única.)

La continuación analítica es útil porque las funciones complejas se definen a menudo como series infinitas que involucran la variable z. Sin embargo, la mayoría de las series infinitas sólo convergen para algunos valores de z, y sería bueno si pudiéramos conseguir que las funciones estuvieran definidas en más lugares. La continuación analítica de una función puede definir valores para una función fuera del área donde converge su definición de serie infinita. Podemos decir que 1+2+3…=-1/12 adaptando la continuación analítica de una función a su definición original de serie infinita, un movimiento que debería venir acompañado de un guiño al estilo Lucille Bluth.

La función en cuestión es la función zeta de Riemann, famosa por sus profundas conexiones con cuestiones sobre la distribución de los números primos. Cuando la parte real de s es mayor que 1, la función zeta de Riemann ζ(s) se define como Σ∞n=1n-s. (Normalmente utilizamos la letra z para la variable de una función compleja. En este caso, usamos s en deferencia a Riemann, que definió la función zeta en un artículo de 1859). Esta serie infinita no converge cuando s=-1, pero puedes ver que cuando ponemos s=-1, obtenemos 1+2+3…. La función zeta de Riemann es la continuación analítica de esta función a todo el plano complejo menos el punto s=1. Cuando s=-1, ζ(s)=-1/12. Metiendo un signo de igualdad entre ζ(-1) y la serie infinita formal que define la función en algunas otras partes del plano complejo, obtenemos la afirmación de que 1+2+3…=-1/12.

La continuación analítica no es la única forma de asociar el número -1/12 a la serie 1+2+3…. Para una explicación muy buena y en profundidad de una forma que no requiere un análisis complejo -completa con ejercicios para hacer en casa- mira el post de Terry Tao sobre el tema.

El vídeo de Numberphile me molestó porque tuvieron la oportunidad de hablar de lo que significa asignar un valor a una serie infinita y explicar diferentes formas de hacerlo. Si ya conoces un poco el tema, puedes ver el vídeo y otro más largo relacionado con el tema y captar pinceladas de lo que realmente ocurre. Pero el factor «wow» del vídeo viene del hecho de que no tiene sentido que un montón de números positivos sumen un número negativo si la audiencia asume que «suma» significa lo que ellos creen que significa.

Si los Numberphiles fueran más explícitos sobre las formas alternativas de asociar los números a las series, podrían haber hecho algo más que hacer creer a la gente que los matemáticos siempre están cambiando las reglas. Al final del vídeo, el productor Brady Haran le pregunta al físico Tony Padilla si, si siguieras sumando números enteros para siempre en tu calculadora y pulsaras el botón «igual» al final, obtendrías -1/12. Padilla responde descaradamente: «¡Tienes que llegar al infinito, Brady!». Pero la respuesta debería haber sido «¡No!» Aquí, creo que han perdido la oportunidad de aclarar que están utilizando una forma alternativa de asignar un valor a una serie infinita que habría hecho el vídeo mucho menos engañoso.

Otras personas han escrito cosas buenas sobre las matemáticas de este vídeo. Después de una entrada en el blog de Slate demasiado crédula al respecto, Phil Plait escribió una explicación mucho más sensata de las diferentes formas de asignar un valor a una serie. Si quieres trabajar en los detalles de la «prueba» por tu cuenta, John Baez te tiene cubierto. Blake Stacey y el Dr. Skyskull escriben sobre cómo sustituir la suma de los enteros positivos por el número -1/12 puede ser útil en física. Richard Elwes publica una «advertencia de salud y seguridad» sobre las series infinitas que involucra a mi vieja favorita, la serie armónica. Creo que la proliferación de la discusión sobre lo que significa esta serie infinita es buena, aunque me hubiera gustado que hubiera más de esa discusión en el vídeo, que hasta ahora tiene más de un millón de visitas en YouTube

.