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Análisis de complejidad de un modelo de juego de duopolio de Cournot-Bertrand con información limitada

On noviembre 23, 2021 by admin

Resumen

Se considera un modelo de juego de duopolio mixto de Cournot-Bertrand con información limitada sobre el mercado y el oponente, donde el mercado tiene demanda lineal y dos empresas tienen el mismo coste marginal fijo. Los principios de toma de decisiones son racionales acotados. Una empresa elige la producción y la otra el precio como variable de decisión, con el supuesto de que existe un cierto grado de diferenciación entre los productos ofrecidos por las empresas para evitar que todo el mercado sea ocupado por la que aplica un precio más bajo. Se investiga la existencia del punto de equilibrio de Nash y su estabilidad local del juego. Las dinámicas complejas, como los escenarios de bifurcación y la ruta hacia el caos, se muestran mediante gráficos de cuenca de los parámetros por medio de un experimento numérico. Las influencias de los parámetros en el rendimiento del sistema se discuten desde la perspectiva de la economía.

1. Introducción

Un oligopolio es una estructura de mercado entre el monopolio y la competencia perfecta, en la que el mercado está completamente controlado por sólo un número de empresas que producen lo mismo o producciones homogéneas . Si hay dos empresas, se denomina duopolio, mientras que si hay tres competidores, se conoce como triopolio.

El oligopolio de Cournot y el oligopolio de Bertrand son los dos modelos más notables de la teoría del oligopolio. En el modelo de Cournot, las empresas controlan su nivel de producción, que influye en el precio del mercado, mientras que en el modelo de Bertrand, las empresas eligen el precio de una unidad de producto para afectar a la demanda del mercado.

Una gran cantidad de la literatura trata de la competencia de Cournot o Bertrand en el mercado oligopolístico , pero sólo hay un número considerablemente menor de trabajos dedicados a la competencia de Cournot-Bertrand, que se caracterizan por el hecho de que el mercado se puede subdividir en dos grupos de empresas, el primero de los cuales ajusta óptimamente los precios y el otro ajusta óptimamente su producción para asegurar el máximo beneficio .

El modelo de Cournot-Bertrand existe en la economía realista. Por ejemplo, en el mercado de duopolio, una empresa compite en posición dominante y elige la producción como variable de decisión, mientras que la otra está en desventaja y elige el precio como variable de decisión para ganar más cuota de mercado. Como hemos conocido hasta ahora, Bylka y Komar y Singh y Vives son los primeros autores que analizan los duopolios, donde una empresa compite en cantidades y la otra en precios. Häckner , Zanchettin , y Arya et al. señalaron que en algunos casos la competencia Cournot-Bertrand puede ser óptima. Recientemente, C. H. Tremblay y V. J. Tremblay analizaron el papel de la diferenciación del producto para las propiedades estáticas del equilibrio de Nash de un duopolio Cournot-Bertrand. Naimzada y Tramontana consideraron un modelo de duopolio Cournot-Bertrand, que se caracteriza por ecuaciones de diferencia lineales. También analizaron el papel de la dinámica de la mejor respuesta y del mecanismo de ajuste adaptativo para la estabilidad del equilibrio.

En este trabajo, establecemos un modelo de duopolio de Cournot-Bertrand, suponiendo que dos empresas eligen la producción y el precio como variable de decisión, respectivamente, y todas tienen expectativas racionales acotadas. El sistema de juego puede describirse mediante ecuaciones en diferencias no lineales, lo que modifica y amplía los resultados de Naimzada y Tramontana , que consideraban las empresas con expectativas estáticas y se describían mediante ecuaciones en diferencias lineales. La investigación conducirá a una buena guía para que los responsables de las empresas tomen las mejores decisiones.

El artículo está organizado de la siguiente manera el modelo de juego de Cournot-Bertrand con expectativas racionales acotadas se describe en la sección 2. En la sección 3 se estudia la existencia y estabilidad de los puntos de equilibrio. En la sección 4 se investigan los comportamientos dinámicos bajo algunos cambios en los parámetros de control del juego mediante simulaciones numéricas. Finalmente, se extrae una conclusión en la Sección 5.

2. El modelo de juego Cournot-Bertrand con expectativas racionales limitadas

Consideramos un mercado atendido por dos empresas y la empresa produce el bien , . Existe un cierto grado de diferenciación entre los productos y . La empresa 1 compite en producción como en un duopolio de Cournot, mientras que la empresa 2 fija su precio como en el caso de Bertrand. Supongamos que las empresas hacen sus elecciones estratégicas simultáneamente y que cada empresa conoce la producción y el precio de cada una de las otras empresas.

Las funciones de demanda inversa de los productos de la variedad 1 y 2 provienen de la maximización por parte del consumidor representativo de la siguiente función de utilidad: sujeta a la restricción presupuestaria y están dadas por las siguientes ecuaciones (la prueba detallada véase ): donde el parámetro denota el índice de diferenciación de productos o de sustitución de productos. El grado de diferenciación de los productos aumentará a medida que . Los productos y son homogéneos cuando , y cada empresa es un monopolio cuando , mientras que un valor negativo implica que los productos son complementarios. Supongamos que las dos empresas tienen el mismo coste marginal , y la función de costes tiene la forma lineal: Podemos escribir el sistema de demanda en las dos variables estratégicas, y : Las funciones de beneficio de la empresa 1 y 2 tienen la forma:

Suponemos que las dos empresas no tienen un conocimiento completo del mercado y del otro jugador, y construyen las decisiones sobre la base del beneficio marginal esperado. Si el beneficio marginal es positivo (negativo), aumentan (disminuyen) su producción o precio en el siguiente periodo; es decir, son jugadores racionales acotados. Entonces el sistema dinámico mixto Cournot-Bertrand puede ser descrito por las ecuaciones en diferencias no lineales: donde y representan la velocidad de ajuste de los dos jugadores en cada relación, respectivamente.

3. Puntos de equilibrio y estabilidad local

El sistema (6) tiene cuatro puntos de equilibrio: donde , . , , y son los puntos de equilibrio de la frontera, y es el único punto de equilibrio de Nash siempre que y , que requiere . En caso contrario, habrá una empresa fuera del mercado.

Para investigar la estabilidad local de los puntos de equilibrio, sea la matriz jacobiana del sistema (6) correspondiente a las variables de estado , entonces donde , . La estabilidad de los puntos de equilibrio estará determinada por la naturaleza de los valores propios de equilibrio de la matriz jacobiana evaluados en los puntos de equilibrio correspondientes.

Proposición 1. Los equilibrios de frontera , , y del sistema (6) son puntos de equilibrio inestables cuando .

Probación. Para el equilibrio , la matriz jacobiana del sistema (6) es igual a Estos valores propios que corresponden al equilibrio son los siguientes: Evidentemente , entonces el punto de equilibrio es inestable.
También en la matriz jacobiana se convierte en una matriz triangular Estos valores propios que corresponden al equilibrio son los siguientes: Cuando , evidentemente . Por tanto, el punto de equilibrio es inestable. Del mismo modo podemos demostrar que también es inestable.

Desde un punto de vista económico nos interesa más el estudio de las propiedades de estabilidad local del punto de equilibrio de Nash , cuyas propiedades han sido profundamente analizadas en .

La matriz jacobiana evaluada en el punto de equilibrio de Nash es la siguiente

La traza y el determinante de se denotan como y , respectivamente. Con respecto al punto , , y , ahora es más difícil calcular explícitamente los valores propios, pero todavía es posible evaluar la estabilidad del punto de equilibrio de Nash utilizando las siguientes condiciones de estabilidad, conocidas como condiciones de Jury : Las desigualdades anteriores definen una región en la que el punto de equilibrio de Nash es localmente estable. Además, podemos aprender más sobre la región de estabilidad mediante simulaciones numéricas. Para estudiar la dinámica compleja del sistema (6), es conveniente tomar los valores de los parámetros como sigue: La figura 1 muestra en el plano de los parámetros las regiones de estabilidad e inestabilidad. A partir de la figura, podemos encontrar que una velocidad de ajuste demasiado alta hará que el punto de equilibrio de Nash pierda estabilidad. También encontramos que la velocidad de ajuste del precio es más sensible que la velocidad de la producción, y cuando alrededor de , el punto de equilibrio de Nash perderá la estabilidad, mientras que alrededor del punto de equilibrio de Nash lo hará.

Figura 1

La región de estabilidad e inestabilidad.

4. Los efectos de los parámetros en la estabilidad del sistema

Los gráficos de cuenca de parámetros (también llamados diagramas de bifurcación 2D) son una herramienta más poderosa en el análisis numérico de la dinámica no lineal que los diagramas de bifurcación 1D , que asigna diferentes colores en un espacio de parámetros 2D a ciclos estables de diferentes períodos. En esta sección, los diagramas de cuenca de parámetros se utilizarán para analizar los efectos de la velocidad de ajuste de los jugadores y el índice de diferenciación del producto en la estabilidad del sistema. Establecemos y los valores iniciales se eligen como .

4.1. Los efectos de la velocidad de ajuste de los jugadores sobre la estabilidad del sistema

La figura 2 presenta la cuenca de parámetros con respecto a los parámetros cuando y asigna diferentes colores a los estados estables (azul oscuro); ciclos estables de períodos 2 (azul claro), 4 (púrpura) y 8 (verde) (los cuatro primeros ciclos en una ruta de bifurcación de período doble hacia el caos) y los períodos 3 (rojo), 5 (naranja) y 7 (rosa) (ciclos estables de bajo orden de período impar); caos (amarillo); divergencia (blanco) (que significa que uno de los jugadores estará fuera del mercado en economía).

Figura 2

La cuenca de parámetros para .

Podemos encontrar que cuando los parámetros pasan a través de las fronteras como las flechas negras y , el sistema (6) pierde su estabilidad a través de la bifurcación de volteo (llamada bifurcación de período-doble en el sistema continuo), como se muestra en las figuras 3 y 4. Pero cuando los parámetros cruzan las fronteras como la flecha , el comportamiento dinámico del sistema es más complicado, y primero entra en el caos a través de la bifurcación de Neimark-Sacker (llamada bifurcación de Hopf en sistema continuo) , segundo entra en el período 2, y luego evoluciona hacia el caos a través de la bifurcación de volteo por separado, como se muestra en la Figura 5. También observamos que en la región amarilla (caos) hay una línea roja y puntos naranjas (ciclo impar); es decir, hay un ciclo impar intermitente en el caos, como se muestra en las figuras 3 a 5. Es bien sabido que, para los mapas continuos 1D, un ciclo con periodo impar implica un comportamiento dinámico caótico (el llamado caos topológico) según el famoso resultado «periodo 3 implica caos» de Li y Yorke .

Figura 3

Diagrama de bifurcación para y varía de 1,5 a 3,5.

Figura 4

Diagrama de bifurcación para y varía de 1,5 a 2,8.

Figura 5

Diagrama de bifurcación para y varía de 1,8 a 2,8.

Desde el punto de vista de la economía, la velocidad de ajuste de las empresas y debe estar en un cierto rango; de lo contrario, el sistema saldrá de la fluctuación del ciclo, y luego en el caos, lo que significa irregular, sensible a los valores iniciales, impredecible y malo para la economía. También encontramos que el rango ajustable de es mayor que el de , lo que significa que el ajuste del precio es más sensible que el de la producción, y la guerra de precios es más fácil que el mercado entre en el caos.