4.3: Compresibilidad y Expansividad

Derivar una expresión para una derivada parcial (Tipo I): La regla recíproca

Consideremos un sistema descrito por tres variables, y para el que se puede escribir una restricción matemática sobre las mismas

\Nen estas circunstancias, se puede especificar el estado del sistema variando sólo dos parámetros de forma independiente porque el tercer parámetro tendrá un valor fijo. Así, se podrían definir dos funciones \(z(x, y)\N y \N(y(x,z)\Nque se pueden definir dos funciones.)

Esto permite escribir las diferenciales totales para \(dz\) y \(dy\) de la siguiente manera

\N

y

\N

Sustituyendo la expresión de la ecuación \ref{eq6} en la ecuación \ref{eq5}:

\N- Izquierda( \Ndrac{parcial z}{parcial x}{derecha})_y dx + \N- Izquierda( \Ndrac{parcial z}{parcial y}{derecha})_x \N- Izquierda( \N-parcial y}{parcial x}{derecho)_z dx + \left( \dfrac{parcial z}{parcial y}{derecho)_x \left( \dfrac{parcial y}{parcial z}{derecho)_x dz \label{eq7} \end{align}]

Si el sistema experimenta un cambio siguiendo un camino en el que \(x\) se mantiene constante (\(dx = 0\)), esta expresión se simplifica a

\\Npara los cambios para los que \(dz \neq 0\),

\Nesta regla recíproca es muy conveniente en la manipulación de las derivadas parciales. Pero también se puede derivar de una manera sencilla, aunque menos rigurosa. Comience por escribir la diferencial total para \(z(x,y)\N-) (Ecuación \ref{eq5}):

\NAhora, dividir ambos lados por \N(dz\) y restringir a la constante \N(x\). aunque no es matemáticamente riguroso. Sin embargo, funciona para el tipo de derivadas parciales que se encuentran en termodinámica porque las variables son variables de estado y las diferenciales son exactas.