Does 1+2+3… Really Equal -1/12?

Um vídeo Numberphile postado no início deste mês afirma que a soma de todos os inteiros positivos é -1/12.

Eu geralmente sou um fã da equipe Numberphile, que faz um ótimo trabalho tornando a matemática excitante e acessível, mas este vídeo me decepcionou. Há uma forma significativa de associar o número -1/12 à série 1+2+3+4…, mas na minha opinião, é enganoso chamar-lhe a soma da série. Além disso, a forma como é apresentado contribui para uma concepção errada que muitas vezes encontro como educador de matemática de que os matemáticos estão mudando arbitrariamente as regras sem razão aparente, e os estudantes não têm esperança de saber o que é e o que não é permitido em uma determinada situação. Em um post sobre esse vídeo, o físico Dr. Skyskull diz: “uma parcela deprimente da população assume automaticamente que a matemática é alguma feitiçaria não-intuitiva e bizarra que só o super-inteligente pode possivelmente entender”. Mostrar um resultado tão louco sem qualificação só reforça essa visão e, na minha opinião, presta um mau serviço à matemática”

Adição é uma operação binária. Você coloca dois números, e obtém um número. Mas você pode estendê-lo a mais números. Se você tem, por exemplo, três números que você quer adicionar juntos, você pode adicionar quaisquer dois deles primeiro e depois adicionar o terceiro número à soma resultante. Podemos continuar fazendo isso para qualquer número finito de adendos (e as leis da aritmética dizem que teremos a mesma resposta não importa em que ordem os adicionamos), mas quando tentamos adicionar um número infinito de termos juntos, temos que fazer uma escolha sobre o que significa adição. A maneira mais comum de lidar com a adição infinita é usando o conceito de um limite.

Em termos gerais, dizemos que a soma de uma série infinita é um número L se, à medida que adicionamos mais e mais termos, nos aproximamos cada vez mais do número L. Se L é finito, chamamos a série de convergente. Um exemplo de uma série convergente é 1/2+1/4+1/8+1/16…. Esta série converge para o número 1. É muito fácil ver porquê: após o primeiro termo, estamos a meio caminho de 1. Após o segundo termo, estamos a metade da distância restante para 1, e assim por diante.

Zeno diz que nunca chegaremos a 1, mas de um ponto de vista limite, podemos chegar tão perto quanto quisermos. Essa é a definição de “soma” que os matemáticos geralmente significam quando falam de séries infinitas, e basicamente concorda com nossa definição intuitiva das palavras “soma” e “igual”

Mas nem todas as séries são convergentes nesse sentido (chamamos de divergentes as séries não convergentes). Algumas, como 1-1+1-1…, podem saltar entre valores diferentes à medida que continuamos a adicionar mais termos, e algumas, como 1+2+3+4… podem ficar arbitrariamente grandes. É bastante claro, então, que usando a definição limite de convergência para uma série, a soma 1+2+3… não converge. Se eu dissesse: “Eu acho que o limite desta série é algum número finito L”, eu poderia facilmente descobrir quantos termos adicionar para chegar tão acima do número L quanto eu queria.

Existem maneiras significativas de associar o número -1/12 à série 1+2+3…, mas eu prefiro não chamar -1/12 a “soma” dos números inteiros positivos. Uma maneira de resolver o problema é com a idéia de continuação analítica em análise complexa.

Vamos dizer que você tem uma função f(z) que é definida em algum lugar no plano complexo. Vamos chamar o domínio onde a função é definida U. Você pode descobrir uma maneira de construir outra função F(z) que é definida em uma região maior, tal como f(z)=F(z) sempre que z estiver em U. Então a nova função F(z) concorda com a função original f(z) em todos os lugares onde f(z) está definida, e é definida em alguns pontos fora do domínio de f(z). A função F(z) é chamada a continuação analítica de f(z). (“A” é o artigo apropriado para usar porque a continuação analítica de uma função é única.)

A continuação analítica é útil porque funções complexas são frequentemente definidas como séries infinitas envolvendo a variável z. Entretanto, a maioria das séries infinitas só convergem para alguns valores de z, e seria bom se pudéssemos ter funções a serem definidas em mais lugares. A continuação analítica de uma função pode definir valores para uma função fora da área onde sua definição de série infinita converge. Podemos dizer 1+2+3…=-1/12 ajustando a continuação analítica de uma função à sua definição original de série infinita, um movimento que deve vir com um piscar de olho estilo Lucille Bluth-.

A função em questão é a função zeta de Riemann, famosa por suas profundas conexões com questões sobre a distribuição de números primos. Quando a parte real de s é maior que 1, a função zeta de Riemann ζ(s) é definida para ser Σ∞n=1n-s. (Normalmente usamos a letra z para a variável em uma função complexa. Neste caso, usamos s em deferência a Riemann, que definiu a função zeta em um artigo de 1859). Esta série infinita não converge quando s=-1, mas você pode ver que quando colocamos em s=-1, obtemos 1+2+3…. A função zeta de Riemann é a continuação analítica desta função para todo o plano complexo menos o ponto s=1. Quando s=-1, ζ(s)=-1/12. Colando um sinal de igual entre ζ(-1) e a série infinita formal que define a função em algumas outras partes do plano complexo, obtemos a afirmação de que 1+2+3…=-1/12.

A continuação analítica não é a única forma de associar o número -1/12 à série 1+2+3…. Para uma explicação muito boa e profunda de uma forma que não requer uma análise complexa – completa com exercícios de lição de casa – verifique o post de Terry Tao sobre o assunto.

O vídeo Numberphile me incomodou porque eles tiveram a oportunidade de falar sobre o que significa atribuir um valor a uma série infinita e explicar diferentes formas de fazer isso. Se você já sabe um pouco sobre o assunto, você pode assistir o vídeo e um vídeo mais longo relacionado sobre o assunto e pegar notícias sobre o que realmente está acontecendo. Mas o fator “uau” do vídeo vem do fato de que não faz sentido um monte de números positivos somar a um número negativo se o público assumir que “soma” significa o que eles pensam que significa.

Se os Numerais fossem mais explícitos sobre formas alternativas de associar números a séries, eles poderiam ter feito mais do que apenas fazer as pessoas pensarem que os matemáticos estão sempre mudando as regras. No final do vídeo, o produtor Brady Haran pergunta ao físico Tony Padilla se, se você continuasse a adicionar inteiros para sempre na sua calculadora e pressionasse o botão “igual” no final, você teria -1/12. Padilla diz atrevidamente: “Você tem que ir ao infinito, Brady!” Mas a resposta deveria ter sido “Não!” Aqui, acho que eles perderam uma oportunidade de esclarecer que estão usando uma forma alternativa de atribuir um valor a uma série infinita que teria feito o vídeo muito menos enganador.

Outras pessoas escreveram coisas boas sobre a matemática neste vídeo. Depois de um post super crédulo no blog Slate sobre isso, Phil Plait escreveu uma explicação muito mais nivelada sobre as diferentes maneiras de atribuir um valor a uma série. Se você gostaria de trabalhar os detalhes da “prova” por conta própria, John Baez te deu cobertura. Blake Stacey e o Dr. Skyskull escrevem sobre como a substituição do número -1/12 pela soma dos inteiros positivos pode ser útil em física. Richard Elwes publica uma série infinita “aviso de saúde e segurança” envolvendo a minha antiga favorita, a série harmónica. Eu acho que a proliferação de discussão sobre o significado dessa série infinita é boa, embora eu desejasse que mais dessa discussão pudesse ter sido no vídeo, que tem mais de um milhão de visualizações no YouTube até agora!