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The engineering principles of combining a transcriptional incoherent feedforward loop with negative feedback

On Januar 13, 2022 by admin

A model of incoherent feedforward transcriptional regulation

Es gibt vier Varianten der inkohärenten feedforward (FF)-Steuerung in einem Drei-Knoten-System . In dieser Arbeit untersuchen wir das Motiv der inkohärenten Feedforward-Schleife vom Typ 1 (I1-FFL), bei dem das Eingangssignal (X) sowohl das Zwischenprodukt (Y) als auch das Endprodukt (Z) aktiviert, während Y das Z unterdrückt (Abb. 1a). Unser Modell geht von einer Transkriptionsregulation aus, so dass X einen Input-Transkriptionsfaktor darstellt, der an die cis-regulatorischen Regionen von Y und Z mit der Affinität K1 binden kann (Abb. 1b). Dies führt zur Transkription und Translation von Y (Doppelpfeile in Abb. 1b), das ebenfalls ein Transkriptionsfaktor ist, der sich mit Affinität K2 an die regulatorische Region von Z bindet. In unserem Modell ist die Bindung von X und Y kooperativ (gestrichelte Linie in Abb. 1b), so dass ihre synergistische Bindung durch K12 = CK1K2 beschrieben wird. Eine kooperative Bindung kann auch zwischen anderen Komponenten stattfinden; eine andere Kooperativität als die zwischen X und Y ist jedoch nicht erforderlich (siehe Zusatzdatei 1 zur Analyse der Kooperativität). Daher behalten wir nur den einen notwendigen kooperativen Term bei, um unsere Hypothesen zu testen, und unsere Hauptanalyse geht davon aus, dass alle anderen Bindungsinteraktionen nicht kooperativ sind.

In der Prozesssteuerungstechnik wird X als eine Störung des Systems betrachtet; das Ziel der Standard-FF-Steuerung (die ein IFFL-Motiv verwendet) ist es, die Wirkung von X auf Z zu verwerfen. Wenn der FF-Regler richtig eingestellt ist, wird die Ausgangsvariable auf oder in der Nähe ihres gewünschten Wertes gehalten (z. B., innerhalb von 5 %), und zwar sowohl im Einschwingvorgang als auch bei der endgültigen Ausgabe (Abb. 1c). Im Gegensatz dazu wird X in biologischen Systemen als Eingangssignal betrachtet, und das I1-FFL-Motiv ist oft so ausgelegt, dass die Pegel von Z eine vorübergehende Reaktion zeigen und dann (fast) zu ihrem ursprünglichen Wert zurückkehren (Abb. 1d). Somit stellen die Höhe des Peaks und die Differenz zwischen dem Anfangs- und dem Endwert von Z Leistungskennzahlen dar (Abb. 1d).

Hier modellieren wir die I1-FFL als ein System von Verzögerungsdifferentialgleichungen, die eine Erweiterung des Modells aus (Gl. 1-3 in Methoden) darstellen. Man beachte, dass X sowohl Y als auch Z mit der Bindungsaffinität K1 aktiviert, während Y Z (selbst wenn X ebenfalls gebunden ist) mit der Bindungsaffinität K2 unterdrückt. Der letzte Term im Nenner von fz ist der Kooperativitätsterm (xy/K12 = xy/(CK1K2)). Siehe Methoden für weitere Details zur Modellableitung.

In dieser Arbeit halten wir x = x0 = 1 für t < 0, was zu einem anfänglichen stationären Zustand von y0 und z0 führt. Zum Zeitpunkt t = 0 erfährt x einen sprunghaften Anstieg: x(t ≥ 0) = x1 > 1, was zu einem anfänglichen Anstieg von y und z führt. Nach einer anfänglichen Einschwingphase beginnt der Anstieg von y jedoch auch z zu verdrängen. Für die meisten Werte der Parameter führt dies zu einem Spitzenwert von z (zpeak), gefolgt von einer Anpassung zurück zu einem neuen Steady-State-Wert, z1 (Abb. 1d). Hier haben wir den Spitzenwert und die Anpassungsmetrik als P ≡ (zpeak – z0)/z0 bzw. f = (z1 – z0)/z0 normiert (siehe Abb. 1d). Für den Rest der Arbeit nehmen wir τy = τz = 1 und θy = θz = 0,5.

Die inkohärente Vorwärtsschleife vom Typ I kann für eine perfekte Anpassung abgestimmt werden

Vorangegangene Analysen des obigen Modells (Gleichungen 1-3) zeigten, dass die I1-FFL-Transkriptionsregulation unter den richtigen Bedingungen als Fold-Change-Detektor (FCD) fungieren kann. Eine der notwendigen Bedingungen für ein Modell, das als FCD fungieren kann, ist die nahezu perfekte Anpassung (NPA), die dann eintritt, wenn der Endzustand z1 innerhalb weniger Prozent des Anfangszustands z0 liegt (z. B. |f| ≤ ε = 0,05). Während frühere Arbeiten das Modell (Gleichungen 1-3) unter dem Gesichtspunkt der FCD analysierten, kann das Modell (und I1-FFLs im Allgemeinen) mehrere andere Phänotypen hervorbringen, einschließlich der weniger restriktiven Phänotypen der Anpassung und der Impulserzeugung.

Unsere Modellanalyse zeigt, dass es möglich ist, die FFL so einzustellen, dass eine perfekte Anpassung (PA) erreicht wird. Mit anderen Worten: z1 = z0 (blaue Kurve in Abb. 2a, b). Diese Bedingung ist gegeben, wenn bei gegebenem K1, K2 der Wert von C gleich CPA ist, der durch Gl. 5 gegeben ist (siehe Methoden). Wenn der Wert von C geringfügig von CPA abweicht, geht PA verloren, aber NPA kann beibehalten werden. Hier definieren wir CNPA+ und CNPA- als die Werte von C, bei denen f = + ε bzw. -ε (rote und goldene Kurven in Abb. 2a, b). Für den größten Teil dieser Arbeit haben wir ε = 0,05 gesetzt; unsere Ergebnisse werden jedoch durch den genauen Wert von ε nicht wesentlich beeinflusst (siehe Additional file 1).

Für x1 = 10 ist in Abb. 2c eine Heatmap der CPA-Werte als Funktion von K1, K2 dargestellt. Man beachte, dass Kooperativität erforderlich ist, um PA zu erreichen: CPA < 1, obwohl es sich für K1, K2 ≪ 1 nähert (siehe Zusatzdatei 1 und Abb. 2c). Da C einen Kooperativitätsparameter darstellt, bedeuten Werte von C < 1 eine positive Synergie: Wenn X an die regulatorische Region von Z gebunden ist, erhöht es die Fähigkeit von Y zu binden und umgekehrt. Eine untere Grenze für berichtete Werte von C in anderen Systemen liegt in der Größenordnung von 0,01 . Da Modelle biologischer Prozesse auf biologisch realistische Phänotypen beschränkt werden müssen, ist es daher unwahrscheinlich, dass PA in der oberen rechten Region des Parameterraums erreicht werden kann (Abb. 2c).

Moderate Werte des Parameterraums entsprechen biologisch realistischen Phänotypen

Angesichts der groben Untergrenze für C ist es sinnvoll zu fragen, welche anderen Beschränkungen dem Modell auferlegt werden können. Wir legen zwei zusätzliche biologisch realistische Einschränkungen für das Modell fest. Erstens sollte die relative Spitzengröße, P = (zpeak – z0)/z0, größer als 0,1 sein, um eine hochwertige Signalantwort zu gewährleisten. Eine Heatmap von P als Funktion von K1, K2 ist in Abb. 2d zu sehen. Die Kontur von P = 0,1 liegt ungefähr bei K1 = 0,25; dies bedeutet, dass, wenn X die regulatorische Region von Z zu stark bindet, eine 10-fache Erhöhung von x (von 1 auf 10) keinen starken Peak erzeugt, da der Z-Promotor bereits gesättigt ist, selbst bei niedrigen Werten von x.

Zweitens muss der absolute Peak in z größer als 0,01 sein (Abb. 2e). Da unser Modell so skaliert ist, dass der maximal mögliche Wert von z 1 ist, entspricht dies 1 % der maximal möglichen Konzentration von z, wenn man die Promotorstärke und die Abbaurate berücksichtigt. Wir nehmen zpeak = 0,01 als Mindestwert an, um ein biologisch nachweisbares Signal zu erhalten; man kann diesen Mindestwert jedoch etwas lockern, was unsere Ergebnisse nicht wesentlich beeinflussen würde. Unter Berücksichtigung dieser drei Einschränkungen für CPA, P und zpeak wird ein kleiner Bereich des K1, K2-Parameterraums als „biologisch realistisch“ angesehen. Zur Veranschaulichung sind alle drei Konturen in Abb. 2e eingezeichnet. Auch dieser Bereich könnte geändert werden, wenn andere Werte für die „biologisch realistischen“ Randbedingungen gewählt werden. Es sei auch darauf hingewiesen, dass der biologisch realistische Bereich auch den Bereich des Parameterraums abgrenzt, in dem der I1-FFL als Impulsgenerator oder perfekter Adapter fungieren kann (siehe Zusatzdatei 1).

Sensitivität der NPA in Bezug auf die I1-FFL-Parameter

Robustheit ist ein zusätzliches Ziel, das biologischen Systemen oft auferlegt wird. Daher haben wir den Wertebereich C um CPA untersucht, für den die NPA erhalten bleibt. Wir definieren ΔCFF ≡ CNPA+ – CNPA- und zeichneten eine Heatmap von ΔCFF/CPA in Abb. 2f auf (siehe Zusatzdatei 1 für die Herleitung von CNPA+ und CNPA-). Es gibt zwei Regionen des K1, K2-Parameterraums, in denen NPA unabhängig vom Wert von C erreicht wird (siehe Zusatzdatei 1 und Abb. 2f), die beide nicht in der biologisch realistischen Region des Parameterraums liegen (weiß gestrichelte Region in Abb. 2f). In Region I ist der Wert von K1 ausreichend niedrig, so dass selbst bei x0 = 1 die regulatorischen Bereiche von Y und Z mit X gesättigt sind und Y und Z daher relativ unempfindlich gegenüber X sind (siehe Zusatzdatei 1). Darüber hinaus ist K2 in Region I groß genug, dass Y nur einen geringen Einfluss auf Z hat. Eine Erhöhung von x ändert also den Wert von z nicht nennenswert, was bedeutet, dass, während z1 ≈ z0 (so dass |f| < ε), es keine Spitze im Wert von z gibt (siehe Zusatzdatei 1: Abbildung S1). Dieses Szenario kann nicht wirklich als NPA bezeichnet werden. Tatsächlich sind die Knoten der IFFL in diesem Bereich entkoppelt, so dass der biologische Phänotyp oder die Funktion der IFFL nicht von zwei unabhängig voneinander agierenden Knoten zu unterscheiden ist.

Region II wurde zuvor nicht nur als der Bereich beschrieben, in dem NPA leicht erreicht werden kann, sondern auch als der Bereich, in dem die I1-FFL als Detektor für Fold-Change fungieren kann (Additional file 1: Abbildung S2A). In diesem Bereich, in dem K1 ≫ 1, K2 ≪ 1 und K1K2 < 1 ist, liegt die Bindung von X im linearen Bereich, und z hängt vom Verhältnis x/y ab. Andererseits ist die absolute Reaktion von Z auf 0,01% seines Maximums begrenzt (Additional file 1: Figure S2B).

Im Gegensatz dazu ist ΔCFF im biologisch realistischen Bereich des Parameterraums auf 13% – 65% von CPA begrenzt (Abb. 2f). Zum Beispiel kann das System für K1 = 1, K2 = 0,1 nur eine Störung von ∼ 30 % der CPA tolerieren, um das Ziel der NPA zu erreichen. Mit anderen Worten: Das I1-FFL-Modell reagiert relativ empfindlich auf Änderungen von C, wenn es um NPA geht. Um die Robustheit des Systems zu erhöhen, haben wir ein kombiniertes Feedforward/Feedback-System (FF/FB) in Betracht gezogen.

Transkriptionelle negative Rückkopplungszyklen

In der Technik kann die Empfindlichkeit des Feedforward-Regelalgorithmus gegenüber Modellparametern durch die Wirkung einer negativen Rückkopplungsschleife abgeschwächt werden (siehe Gleichungen 6-8 in Methoden). Es hat sich gezeigt, dass die negative Rückkopplung in einem vereinfachten Modell der Genregulation die Robustheit der I1-FFL-Leistungsziele, wie z. B. die Anstiegs- und Abklingzeit, erhöht. Im Gegensatz zur großen Häufigkeit von transkriptionellen FFL-Motiven wurde jedoch zuvor berichtet, dass im Modellorganismus E. coli keine transkriptionellen Zyklen (über die Autoregulation hinaus) existieren. Weitere Studien deuten darauf hin, dass transkriptionelle negative Rückkopplungen selten sind, was möglicherweise auf die träge Natur von doppelt transkriptionellen Schleifen zurückzuführen ist, wobei die weit verbreitete Verwendung gemischter negativer Rückkopplungsschleifen anerkannt wird, bei denen ein Zweig transkriptionell ist und der andere Zweig auf Protein-Protein-Wechselwirkungen beruht. Zur weiteren Untersuchung analysierten wir einen kürzlich aktualisierten Datensatz von E. coli-Transkriptionsinteraktionen und fanden 17 Fälle von Zyklen der Länge 2, von denen fünf positive Rückkopplungen, neun negative Rückkopplungen und drei gemischte sind. Von diesen Interaktionen war einer der Zyklen mit negativer Rückkopplung in mehrere I1-FFL-Strukturen eingebettet (siehe Zusatzdatei 2).

Ein kombiniertes Feedforward/Feedback-System ist robuster als eines mit Feedforward allein

Angesichts der Vorhersage bezüglich der Wirksamkeit einer FB-Schleife zur Erweiterung der Robustheit von NPA in einem IFFL-Motiv haben wir ein kombiniertes FF/FB-System untersucht. Wir fügten einen vierten Knoten, W, hinzu, der durch Z aktiviert wird und Z unterdrückt (Abb. 3a, b). Diese Interaktionen führen mehrere neue Parameter in das Modell ein (siehe Methoden), darunter zwei Affinitätsbindungsparameter (K3, K4) und eine Transkriptions-/Translationsverzögerung in W (θw; siehe Abb. 3b).

Um die beiden Systeme direkt zu vergleichen, haben wir das Verhältnis ΔCFFFB/ΔCFF in Abb. 3f aufgetragen. Für den Bereich der biologisch realistischen Werte ist ΔCFFFB um 21% bis 54% größer als ΔCFF (Verhältnisse von 1,21 bis 1,54). (Beachten Sie, dass der in Abb. 3e, f gezeigte biologisch realistische Bereich für das FF/FB-System gilt; siehe Additional file 1: Abbildung S3.) Mit Ausnahme eines kleinen Bereichs des K1, K2-Parameterraums (nahe Region II) ist das FF/FB-System dem reinen FF-System immer überlegen (Verhältnis größer als eins). Angesichts des Vorteils des FF/FB-Systems in Bezug auf die NPA-Ziele untersuchten wir als Nächstes, ob die dynamischen Eigenschaften des FF/FB-Systems ebenfalls vorteilhaft waren.

Wie bereits erwähnt, versuchten wir in unserer Analyse, nur die Wechselwirkungen zu erhalten, die notwendig waren, um die Robustheit des NPA-Phänotyps zu erklären. So wurden nur die Interaktionen zwischen X und Y als kooperativ eingestuft. Wir können auch die Kooperativität zwischen X und W oder Y und W einbeziehen, was sich qualitativ nicht auf unser Ergebnis auswirkt, dass das Hinzufügen des FB-Moduls zum I1-FFL die Robustheit des Systems erhöht (Zusatzdatei 1: Abbildung S4). Außerdem hängen unsere Ergebnisse nicht von der genauen Wahl von ε ab (Zusätzliche Datei 1: Abbildung S5).

Die dynamische Analyse zeigt, dass das FF/FB-System dem System mit FB allein überlegen ist

Negative Rückkopplungsschleifen sind mit mehreren Nachteilen behaftet. Erstens führt die proportionale Rückkopplung (der häufigste Mechanismus, der in biologischen Systemen natürlich vorkommt) immer zu einem Offset (siehe Abb. 4a). Mit anderen Worten: Nachdem eine Störung das System aus dem Gleichgewicht gebracht hat, kehrt der Ausgang nicht zu seinem ursprünglichen Wert zurück. Um dies abzumildern, kann man die Stärke der negativen Rückkopplung erhöhen. Dies führt jedoch oft zum zweiten großen Nachteil der negativen Rückkopplung: Dynamische Instabilitäten und/oder Ringing-Schwingungen können aus einer starken negativen Rückkopplung resultieren, insbesondere in Systemen mit erheblichen Verzögerungen (Abb. 4b) . Kann hingegen die primäre Störung teilweise oder vollständig durch eine FFL unterdrückt werden, lassen sich beide Nachteile vermeiden (Abb. 4a, b). Um diese Prinzipien in einem Genregulationssystem zu untersuchen, haben wir das Verhalten eines reinen FB-Modells mit einem kombinierten FF/FB-Modell verglichen. Zur Veranschaulichung der dynamischen Instabilität setzten wir den Hill-Koeffizienten für alle DNA-Bindungsinteraktionen auf n = 2 (siehe Additional file 1).

Um die Stabilität sowohl des reinen FB- als auch des kombinierten FF/FB-Systems zu bestimmen, berechneten wir α, den Realteil des Haupteigenwerts (siehe Zusatzdatei 1), für unterschiedliche Werte von K3, K4 (für das FF/FB-System setzten wir K1 = 1, K2 = 0,1; Abb. 4c, d). Während keines der beiden Systeme dem anderen eindeutig überlegen ist, führt eine starke negative Rückkopplung (K3 < 0,1) bei mäßiger Aktivierung von W durch Z (K4 ≈ 0,1 oder größer) tendenziell zu einem instabilen reinen FB-System, während das FF/FB-System immer stabil ist. In der Tat ist αFB – αFFFB > 0 für diesen Bereich der mäßigen Aktivierung von W (Abb. 4e). Selbst wenn beide Systeme stabil sind, bedeutet αFFFB < αFB, dass das FF/FB-System schneller einen stabilen Zustand erreicht (siehe z. B. Abb. 4a). Das Hinzufügen einer zweiten Steuerungsebene kann jedoch häufig zu Kompromissen führen, bei denen ein Vorteil in einem Bereich zu einem Nachteil in einem anderen führt. Daher werden wir die Leistung des reinen FB-Modells und des kombinierten FF/FB-Modells im Hinblick auf zwei andere Ziele vergleichen: den normalisierten Spitzenwert P und den absoluten Spitzenwert zpeak.

Ein kombiniertes FF/FB-System erreicht einen Kompromiss in Bezug auf mehrere Ziele

Um die Leistung des FF/FB-Systems mit der des reinen FB-Systems zu vergleichen, berechneten wir den Spitzenwert von z in beiden Systemen und variierten dabei K3, K4 von 0,01 bis 1. Zunächst stellten wir fest, dass der normalisierte Spitzenwert P des reinen FB-Systems zwischen etwa 0,7 und 1 lag (Abb. 5a). Andererseits ist der normalisierte Peak für das FF/FB-System nahezu unabhängig von den K3- und K4-Werten und beträgt ungefähr 1,256 (siehe Zusatzdatei 1: Abbildung S6). Daher übertrifft das FF/FB-System das reine FB-System auch bei dieser Metrik: Das FF/FB-System ist eine 30-80%ige Verbesserung gegenüber dem reinen FB-System (Abb. 5b).

Ein großer Nachteil des kombinierten Systems besteht darin, dass die Ausgangspegel (in Bezug auf die maximal möglichen Pegel) bei zwei Verdichtern des Ausgangs (Y und W) niedrig sind. Bei den gewählten Parameterwerten (K1 = 1, K2 = 0,1) bleibt zpeak oberhalb der unteren Grenze von 0,01 (siehe Abb. 2e). Dies ist jedoch deutlich niedriger als der Wert von zpeak im reinen FB-System (Abb. 5d). Insgesamt ist das kombinierte FF/FB-System in Bezug auf die Dynamik und den normalisierten Spitzenwert überlegen, während es beim absoluten Spitzenwert Kompromisse eingeht.

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