Pi: Die wichtigste Zahl im Universum?

Von Edward B. Burger, Ph.D., Southwestern University

Eine der wichtigsten Zahlen in unserem Universum ist die Zahl Pi oder π. Erforschen Sie die Odyssee der Menschheit – die kulturübergreifenden Versuche im Laufe der Jahrhunderte, diese rätselhafte Zahl zu berechnen, zu approximieren und zu verstehen.

Eine Definition

Während die Ursprünge von π nicht mit Sicherheit bekannt sind, wissen wir, dass die Babylonier π um 1800 v. Chr. zur Basis 60 approximierten. Es ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser – eine Zahl, die nur etwas größer als drei ist.

Die Konstante π hilft uns, unser Universum mit größerer Klarheit zu verstehen. Die Definition von π inspirierte einen neuen Begriff für die Messung von Winkeln, eine neue Maßeinheit. Dieses wichtige Winkelmaß ist als „Bogenmaß“ bekannt und hat zu vielen wichtigen Erkenntnissen in unserer physikalischen Welt geführt. Was π selbst betrifft, so zeigte Johann Lambert 1761, dass π eine irrationale Zahl ist, und später, im Jahr 1882, bewies Ferdinand von Lindemann, dass π keine Lösung für eine Polynomgleichung mit ganzen Zahlen ist. Dennoch bleiben viele Fragen zu π unbeantwortet.

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Experimentieren mit Pi

Jede Diskussion über den Ursprung von Pi muss mit einem Experiment mit Kreisen beginnen, das wir alle ausprobieren können. Man nehme einen beliebigen Kreis und messe die Länge des Umfangs – das ist die Länge rundherum – in Bezug auf den Durchmesser, der die Länge quer dazu ist. Am Ende hat man drei Durchmesser und noch ein bisschen mehr, und wenn man genau hinschaut, ist es etwas mehr als 1/10 des Weges mehr. Dieses Experiment zeigt uns, dass das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eine Zahl ist, die ungefähr oder etwas größer als 3,1 ist. Unabhängig von der Größe des Kreises ist der Umfang etwas größer als das Dreifache des Durchmessers.

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Diesem festen, konstanten Wert wurde ein Name gegeben, und wir nennen ihn π. Wie kann man ihn genauer ausdrücken? Die Zahl π ist definiert als das Verhältnis des Umfangs eines beliebigen Kreises zu seinem Durchmesser. Dieses Verhältnis ist konstant. Egal, mit welcher Größe des Kreises wir es versuchen, diese Zahl ist immer gleich. Sie beginnt bei 3,141592653589 und geht immer weiter.

Das Symbol π stammt vom griechischen Buchstaben π ab, denn das griechische Wort für „Peripherie“ beginnt mit dem griechischen Buchstaben π. Die Peripherie eines Kreises war der Vorläufer des Umfangs eines Kreises, den wir heute Circumference nennen. Das Symbol π taucht zum ersten Mal in William Jones‘ 1709 erschienenem Text A New Introduction to Mathematics auf, und das Symbol wurde später von dem großen Schweizer Mathematiker des 18. Jahrhunderts Leonhard Euler um 1737 populär gemacht.

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Von Babylon bis zur Bibel

Von seinem Namen bis zu seinem Wert gibt es Belege dafür, dass die Babylonier π um 1800 v. Chr. zur Basis 60 annäherten. Sie glaubten sogar, dass π = 25/8 oder 3,125 sei – eine erstaunliche Annäherung für so früh in der Menschheitsgeschichte. Der altägyptische Schreiber Ahmes, der mit dem berühmten Rhind-Papyrus in Verbindung gebracht wird, lieferte den Näherungswert 256/81, was 3,16049 ergibt. Auch hier handelt es sich um eine beeindruckende Annäherung an diese Konstante. Sogar in der Bibel ist ein impliziter Wert für π angegeben. In 1. Könige 7,23 heißt es, dass ein rundes Becken einen Umfang von 30 Kubikmetern und einen Durchmesser von 10 Kubikmetern hat. In der Bibel steht also implizit, dass π gleich 3 (30/10) ist.

Es überrascht nicht, dass mit der Entwicklung des Zahlenverständnisses der Menschheit auch ihre Fähigkeit zunahm, π selbst besser zu verstehen und zu schätzen. Im Jahr 263 glaubte der chinesische Mathematiker Liu Hui, dass π = 3,141014 sei.

Nahezu 200 Jahre später schätzte der indische Mathematiker und Astronom Aryabhata π mit dem Bruch 62.832/20.000, also 3,1416 – eine wirklich erstaunliche Schätzung. Um 1400 berechnete der persische Astronom Kashani π korrekt auf 16 Stellen.

Wie man mit Pi Winkel misst

Lösen wir uns von dieser historischen Jagd nach den Ziffern von π und betrachten π als wichtige Zahl in unserem Universum. Da π mit der Messung von Kreisumfängen in Verbindung steht, wurden Gelehrte inspiriert, es als Maß für den Winkelabstand zu verwenden. Betrachten wir einen Kreis mit dem Radius 1. Der Radius ist einfach das Maß vom Mittelpunkt zu den Seiten hin. Er ist die Hälfte des Durchmessers.

Die traditionellen Einheiten für Winkelmaße sind natürlich Grad. Mit Grad hat eine vollständige Umdrehung um den Kreis ein Maß von 360 Grad, was ungefähr der Anzahl der Tage in einem ganzen Jahr entspricht und vielleicht erklärt, warum wir uns unter einmal um 360 etwas vorstellen.

Anstatt das willkürliche Maß von 360 für einmal um den Kreis zu verwenden, sollten wir die tatsächliche Länge einer Reise um diesen speziellen Kreis, einen Kreis mit Radius 1, einmal um den Kreis herum ermitteln. Was ist die Länge und der Umfang dieses Kreises? Wenn wir einen Radius von 1 haben, dann ist unser Durchmesser doppelt so groß, also 2, und so wissen wir, dass die einmalige Umdrehung 2 mal π sein wird, weil der Umfang π mal der Durchmesser ist.

Eine einmalige Umdrehung wird 2π sein. Eine volle Umdrehung, also ein Winkel von 360 Grad, würde in diesem speziellen Kreis mit einer Umfangslänge von 2π ausgefeilt werden. Eine halbe Umdrehung wäre 180 Grad, und wir würden die Hälfte des Umfangs ausstreichen, was in diesem Fall π wäre. Neunzig Grad würden ein Viertel des Kreises ausstreichen, und für diesen speziellen Kreis hätte das die Länge π/2 oder die Hälfte von π.

Wir beginnen zu sehen, dass jeder Winkel einer Strecke entspricht, die teilweise oder ganz um diesen speziellen Kreis mit dem Radius 1 gemessen wird. Mit anderen Worten, für jeden Winkel können wir die Länge des Kreisbogens messen, der von diesem Winkel aufgespannt wird.

Diese Bogenlänge bietet eine neue Möglichkeit, das Maß eines Winkels darzustellen, und wir nennen dieses Winkelmaß „Bogenmaß“. Zum Beispiel sind 360 Grad = 2π Bogenmaß, das sind die Einheiten; 180 Grad entspricht π Bogenmaß, und 90 Grad entspräche π/2 Bogenmaß. Denken Sie daran, dass all diese Maße immer auf einem speziellen Kreis mit dem Radius 1 basieren.

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Bogenmaße und die Potenz von Pi

Es stellt sich heraus, dass dieses Bogenmaß bei der Messung von Winkeln für Mathematik und Physik viel nützlicher ist als das bekanntere Gradmaß. Diese Tatsache ist nicht überraschend. Das Bogenmaß ist auf natürliche Weise über die Umfangslänge mit dem Winkel verbunden, im Gegensatz zum willkürlichen Gradmaß, das keine mathematische Grundlage hat. Es stellt eine Annäherung durch ein ganzes Jahr dar.

Der Begriff Bogenmaß erschien erstmals in den 1870er Jahren im Druck, aber zu diesem Zeitpunkt hatten große Mathematiker, einschließlich des großen Mathematikers Leonhard Euler, bereits seit über hundert Jahren Winkel verwendet, die im Bogenmaß gemessen wurden.

Die Zahl π taucht in unzähligen wichtigen Formeln und Theorien auf, darunter die Heisenbergsche Unschärferelation und Einsteins Feldgleichung aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Sie ist eine wichtige Formel und Zahl auf der ganzen Welt.

Gebräuchliche Fragen zur Zahl Pi

Dieser Artikel wurde am 28. April 2020 aktualisiert