Orthonormale Vektoren

Was ist ein orthonormaler Vektor?

Ein Vektor gilt als normal, wenn er die Länge eins hat. Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn sie im rechten Winkel zueinander stehen (ihr Punktprodukt ist Null). Eine Menge von Vektoren wird als orthonormal bezeichnet, wenn sie alle normal sind und jedes Vektorpaar in der Menge orthogonal ist.

Orthonormale Vektoren werden normalerweise als Basis in einem Vektorraum verwendet. Die Festlegung einer orthonormalen Basis für Daten macht Berechnungen wesentlich einfacher; zum Beispiel ist die Länge eines Vektors einfach die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten dieses Vektors relativ zu einer orthonormalen Basis.

QR-Zerlegung

Eine QR-Zerlegung einer reellen quadratischen Matrix A ist der Prozess, zwei solche Matrizen Q und R zu finden, dass:

• A = QR

• Q ist eine orthogonale Matrix

• R ist eine obere Dreiecksmatrix

(wenn A eine komplexe quadratische Matrix oder eine rechteckige Matrix ist, dann ist Q eine unitäre Matrix.)

Es gibt eine Reihe von Methoden zur Berechnung einer QR-Zerlegung für eine Matrix, darunter das Gram-Schmidt-Verfahren, Householder-Transformationen oder Givens-Drehungen. Jede Methode hat Vor- und Nachteile, so dass Implementierer jeden dieser Algorithmen für ein bestimmtes Problem sorgfältig prüfen sollten.

Die QR-Zerlegung wird häufig bei der Lösung des Problems der linearen kleinsten Quadrate verwendet. Sie ist auch die Grundlage eines Algorithmus zur Bestimmung von Eigenvektoren, der treffend QR-Algorithmus genannt wird (obwohl die moderne Form des Algorithmus ironischerweise nicht die Berechnung einer QR-Zerlegung beinhaltet).