MathBootCamps

Lineare Gleichungen mit einer Variablen sind Gleichungen, bei denen die Variable einen Exponenten von 1 hat, der normalerweise nicht angezeigt wird (er wird verstanden). Ein Beispiel wäre etwas wie \(12x = x – 5\). Um lineare Gleichungen zu lösen, gibt es ein Hauptziel: die Variable zu isolieren. In dieser Lektion werden wir uns anhand mehrerer Beispiele ansehen, wie man das macht.

Inhaltsverzeichnis

1. Beispiele zum Lösen von einschrittigen Gleichungen
2. Beispiele zum Lösen von zweistufigenSchritt-Gleichungen
3. Beispiele für Gleichungen, bei denen man zuerst vereinfachen muss
4. Unendlich viele oder keine Lösungen
5. Zusammenfassung

Beispiele für das Lösen einstufiger linearer Gleichungen

Nach all der harten Arbeit beim Lösen der Gleichung, wissen Sie, dass Sie eine endgültige Antwort wie \(x=5\) oder \(y=1\) haben möchten. In beiden Fällen ist die Variable isoliert, d.h. sie steht für sich allein.

Wir müssen also herausfinden, wie wir die Variable isolieren können. Wie wir das machen, hängt von der Gleichung selbst ab! Wenn sie mit etwas multipliziert wurde, müssen wir dividieren. Wenn etwas dazu addiert wurde, subtrahieren wir. Auf diese Weise erhalten wir langsam die Variable selbst.

Lassen Sie uns an einem Beispiel sehen, wie das funktioniert.

Beispiel

Lösen Sie die Gleichung: \(4x = 8\)

Lösung

In diesem Beispiel ist die 4 die Multiplikation von \(x\). Um \(x\) zu isolieren, musst du also diese Seite durch 4 teilen. Dabei musst du dir eine wichtige Regel merken: Was du mit einer Seite der Gleichung machst, musst du auch mit der anderen Seite machen. Wir werden also beide Seiten durch 4 teilen.

\(\begin{align}4x &= 8 \\\ \dfrac{4x}{\color{red}{4}} &= \dfrac{8}{\color{red}{4}}\end{align}\)

Vereinfachung:

\(x = \boxed{2}\)

Das ist es, ein Schritt und wir sind fertig. (Deshalb werden Gleichungen wie diese oft als „Ein-Schritt-Gleichungen“ bezeichnet)

Prüfen

Immer wenn du lineare Gleichungen löst, kannst du deine Antwort überprüfen, indem du sie wieder in die Gleichung einsetzt. Wenn du eine wahre Aussage erhältst, dann ist die Antwort richtig. Das ist nicht bei jedem Problem zu 100 % notwendig, aber es ist eine gute Angewohnheit, also werden wir es für unsere Gleichungen tun.

In diesem Beispiel war unsere ursprüngliche Gleichung \(4x = 8\). Um das zu überprüfen, prüfe, ob das Folgende wahr ist:

\(\begin{align}4x &= 8\\\ 4(2) &= 8 \\\ 8 &= 8\end{align}\)

Das ist eine wahre Aussage, also ist unsere Antwort richtig.

Für jede Gleichung gilt, dass jede Operation, die man auf einer Seite durchführt, auch auf der anderen Seite durchgeführt werden muss

Lassen Sie uns ein paar weitere Beispiele ausprobieren, bevor wir zu komplexeren Gleichungen übergehen.

Beispiel

Lösen Sie: \(3x=12\)

Lösung

Da \(x\) mit 3 multipliziert wird, ist der Plan, auf beiden Seiten durch 3 zu dividieren:

\(\begin{align}3x &=12\\\ \dfrac{3x}{\color{red}{3}} &=\dfrac{12}{\color{red}{3}}\\ x&= \boxed{4}\end{align}\)

Prüfen

Um unsere Antwort zu überprüfen, lassen wir \(x = 4\) und setzen es wieder in die Gleichung ein:

\(\begin{align}3x &= 12\\3(4) &= 12 \\\ 12 &= 12\end{align}\)

Da dies eine wahre Aussage ist, wissen wir, dass unsere Antwort richtig ist.

Im nächsten Beispiel wird die Variable nicht mit einem Wert multipliziert, sondern es wird ein Wert von der Variablen subtrahiert. Um dies „rückgängig“ zu machen, werden wir diesen Wert zu beiden Seiten addieren.

Beispiel

Lösen:

Lösung

Diesmal wird 9 von y subtrahiert. Also machen wir das rückgängig, indem wir 9 zu beiden Seiten addieren.

\(\begin{align}y-9&=21\\ y-9 \color{red}{+9}&=21\color{red}{+9}\y&=30\end{align}\)

Als Nächstes werden wir uns die sogenannten „zweistufigen“ Gleichungen ansehen. In diesen Gleichungen müssen wir zwei Operationen rückgängig machen, um die Variable zu isolieren.

Beispiele für zweistufige Gleichungen

In jedem der obigen Beispiele war ein einziger Schritt durchzuführen, bevor wir unsere Antwort hatten. In den nächsten Beispielen werden Sie sehen, wie man mit Gleichungen arbeitet, die stattdessen zwei Schritte haben. Wenn es mehr als eine Operation gibt, ist es wichtig, sich die Reihenfolge der Operationen zu merken, PEMDAS. Da Sie die Operationen an \(x\) rückgängig machen, arbeiten Sie von „außen nach innen“. Das ist leichter zu verstehen, wenn du es an einem Beispiel siehst.

Beispiel

Löse: \(2x-7=13\)

Lösung

Beachte die beiden Operationen, die mit \(x\) passieren: es wird mit 2 multipliziert und dann wird 7 subtrahiert. Diese Operationen müssen wir rückgängig machen. Da aber nur \(x\) mit 2 multipliziert wird, müssen wir zunächst 7 zu beiden Seiten addieren. Dann können wir beide Seiten durch 2 dividieren.

Die Addition von 7 zu beiden Seiten:

\(\begin{align} 2x-7 &= 13\\ 2x-7 \color{red}{+7} & =13 \color{red}{+7}\\ 2x&=20\end{align}\)

Nun teilen Sie beide Seiten durch 2:

\(\begin{align} 2x &=20 \\\ \dfrac{2x}{\color{red}{2}}&=\dfrac{20}{\color{red}{2}}\\ x&= \boxed{10}\end{align}\)

Check

Gleich wie bei einfacheren Aufgaben, kannst du deine Antwort überprüfen, indem du deinen Wert von \(x\) wieder in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

\(\begin{align}2x-7&=13\\\ 2(10) – 7 &= 13\\\ 13 &= 13\end{align}\)

Das ist richtig, also haben wir die richtige Antwort.

Lassen Sie uns ein weiteres zweistufiges Beispiel betrachten, bevor wir uns wieder in der Schwierigkeit steigern. Vergewissere dich, dass du jeden gezeigten Schritt verstanden hast und arbeite das Problem auch durch.

Beispiel

Löse: \(5w + 2 = 9\)

Lösung

Wie oben, gibt es zwei Operationen: \(w\) wird mit 5 multipliziert und dann wird 2 dazu addiert. Wir machen dies rückgängig, indem wir zuerst 2 von beiden Seiten subtrahieren und dann durch 5 dividieren.

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\\ 5w + 2 \color{red}{-2} &= 9 \color{red}{-2}\\ 5w &= 7\\\ \dfrac{5w}{\color{red}{5}} &=\dfrac{7}{\color{red}{5}}\\w=\boxed{\dfrac{7}{5}}\end{align}\)

Der Bruch rechts kann nicht vereinfacht werden, also ist das unsere endgültige Antwort.

Prüfen

Lassen Sie \(w = \dfrac{7}{5}\). Dann:

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\\\ 5\left(\dfrac{7}{5}\right) + 2 &= 9\\\ 7 + 2 &= 9\\\ 9 &= 9 \end{align}\)

So, wir haben wieder die richtige Antwort!

Vereinfachen vor dem Lösen

In den folgenden Beispielen gibt es mehr variable Terme und möglicherweise müssen einige Vereinfachungen vorgenommen werden. In jedem Fall werden wir zunächst beide Seiten vereinfachen und dann die Variable isolieren, wie wir es bereits getan haben. Wir werden uns zunächst ein Beispiel genauer ansehen, um zu sehen, wie das alles funktioniert.

Um diesen Abschnitt zu verstehen, sollten Sie mit dem Kombinieren gleicher Terme vertraut sein.

Beispiel

Lösen: \(3x+2=4x-1\)

Lösung

Da beide Seiten vereinfacht sind (es gibt keine Klammern, die wir herausfinden müssen, und keine gleichartigen Terme zum Kombinieren), besteht der nächste Schritt darin, alle x auf einer Seite der Gleichung und alle Zahlen auf der anderen Seite zu erhalten. Es gilt die gleiche Regel: Was immer du auf der einen Seite der Gleichung tust, musst du auch auf der anderen Seite tun!

Es ist möglich, entweder das \(3x\) oder das \(4x\) zu verschieben. Nehmen wir an, du bewegst das \(4x\). Da es positiv ist, würde man dies tun, indem man es von beiden Seiten subtrahiert:

\(\begin{align}3x+2 &=4x-1\\\ 3x+2\color{red}{-4x} &=4x-1\color{red}{-4x}\\ -x+2 & =-1\end{align}\)

Jetzt sieht die Gleichung so aus wie die, die wir vorher bearbeitet haben. Der nächste Schritt ist, 2 von beiden Seiten abzuziehen:

\(\begin{align}-x+2\color{red}{-2} &= -1\color{red}{-2}\\-x=-3\end{align}\)

Schließlich, da \(-x= -1x\) (das ist immer wahr), teile beide Seiten durch \(-1\):

\(\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &=\dfrac{-3}{\color{red}{-1}}\\ x&=3\end{align}\)

Prüfen

Sie sollten sich einen Moment Zeit nehmen und überprüfen, ob die folgende Aussage wahr ist:

\(3(3)+ 2 = 4(3) – 1\)

Im nächsten Beispiel müssen wir vor dem Lösen die Distributiv-Eigenschaft anwenden. Es ist leicht, hier einen Fehler zu machen, also achte darauf, dass du die Zahl vor der Klammer auf alle Terme innerhalb der Klammer verteilst.

Beispiel

Löse: \(3(x+2)-1=x-3(x+1)\)

Lösung

Zuerst verteilen Sie die 3 und -3, und sammeln Sie gleiche Terme.

\(\begin{align} 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)\\\ 3x+6-1&=x-3x-3 \\\ 3x+5&=-2x-3\end{align}\)

Nun können wir 2x zu beiden Seiten addieren. (Denken Sie daran, dass Sie die gleiche Antwort erhalten, wenn Sie stattdessen 3x von beiden Seiten subtrahieren)

\(\begin{align} 3x+5\color{red}{+2x} &=-2x-3\color{red}{+2x}\\ 5x+5& =-3\end{align}\)

Ab hier können wir lösen, wie wir es bei anderen zweistufigen Gleichungen getan haben.

\(\begin{align}5x+5\color{red}{-5} &=-3\color{red}{-5}\\ 5x &=-8\\\ \dfrac{5x}{\color{red}{5}}&=\dfrac{-8}{\color{red}{5}}\\ x &= \dfrac{-8}{5} \\ &=\boxed{-\dfrac{8}{5}}\end{align}\)

Prüfen

Das war eine schwierige Aufgabe, also vergiss nicht, deine Antwort zu überprüfen und sicherzustellen, dass du keinen Fehler gemacht hast. Dazu musst du sicherstellen, dass die folgende Aussage wahr ist:

\(3\links(-\dfrac{8}{5}+2\rechts)-1=\links(-\dfrac{8}{5}\rechts)-3\links(-\dfrac{8}{5}+1\rechts)\)

(Hinweis: Es funktioniert – aber du musst sehr vorsichtig mit Klammern sein!)

Unendlich viele Lösungen und keine Lösungen

Es kann vorkommen, dass man alle diese Schritte befolgt und eine wirklich seltsame Lösung erhält. Wenn man zum Beispiel die Gleichung \(x+2=x+2\) mit den obigen Schritten löst, erhält man \(0=0\). Das ist sicherlich richtig, aber was nützt das?

Wenn man eine Aussage wie diese erhält, bedeutet das, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat. Jedes \(x\), das man sich vorstellen kann, würde die Gleichung \(x+2=x+2\) erfüllen. Die richtige Antwort in diesem Fall ist „unendlich viele Lösungen“.

Die andere Situation tritt auf, wenn man eine Gleichung zu einer Aussage vereinfacht, die niemals wahr ist, wie \(3=4\) oder \(0=1\). Dies geschieht mit der Gleichung \(x+5=x-7\), die zu \(5= -7\) führt, etwas, das mit Sicherheit niemals wahr ist. Das bedeutet, dass kein \(x\) diese Gleichung erfüllen würde. Mit anderen Worten „keine Lösung“. Zusammengefasst:

• Wenn man eine Aussage erhält, die immer wahr ist wie \(5 = 5\) oder \(0 = 0\), dann gibt es unendlich viele Lösungen.
• Wenn man eine Aussage erhält, die immer falsch ist wie \(10 = 11\) oder \(1 = 5\), dann gibt es keine Lösungen.

Zusammenfassung

Beim Lösen linearer Gleichungen geht es darum, die Variable zu isolieren. Je nach Gleichung kann dies in einem einzigen Schritt oder in mehreren Schritten geschehen. Überprüfe immer zuerst, ob du eine oder beide Seiten der Gleichung vereinfachen musst, und überprüfe immer deine Antwort.

Abonniere unseren Newsletter!

Wir stellen immer neue kostenlose Lektionen ein und fügen weitere Studienanleitungen, Taschenrechneranleitungen und Aufgabenpakete hinzu.

Melde dich an, um gelegentlich E-Mails zu erhalten (alle zwei oder drei Wochen), die dich über Neuigkeiten informieren!