Komplexitätsanalyse eines Cournot-Bertrand-Duopolspielmodells mit begrenzter Information
On November 23, 2021 by adminAbstract
Es wird ein gemischtes Cournot-Bertrand-Duopolspielmodell mit begrenzter Information über den Markt und den Gegner betrachtet, bei dem der Markt eine lineare Nachfrage hat und zwei Unternehmen die gleichen festen Grenzkosten haben. Die Prinzipien der Entscheidungsfindung sind begrenzt rational. Ein Unternehmen wählt den Output und das andere den Preis als Entscheidungsvariable, wobei davon ausgegangen wird, dass ein gewisser Grad an Differenzierung zwischen den von den Unternehmen angebotenen Produkten besteht, um zu vermeiden, dass der gesamte Markt von dem Unternehmen besetzt wird, das einen niedrigeren Preis anwendet. Die Existenz eines Nash-Gleichgewichtspunktes und die lokale Stabilität des Spiels werden untersucht. Die komplexe Dynamik, wie z.B. Bifurkationsszenarien und der Weg ins Chaos, wird mit Hilfe von Parameterbeckenplots durch numerische Experimente dargestellt. Die Einflüsse der Parameter auf die Systemleistung werden aus der Perspektive der Ökonomie diskutiert.
1. Einleitung
Ein Oligopol ist eine Marktstruktur zwischen Monopol und vollkommenem Wettbewerb, bei der der Markt vollständig von nur wenigen Unternehmen kontrolliert wird, die die gleiche oder eine homogene Produktion herstellen. Bei zwei Unternehmen spricht man von einem Duopol, bei drei Wettbewerbern von einem Triopol.
Das Cournot-Oligopol und das Bertrand-Oligopol sind die beiden bekanntesten Modelle der Oligopoltheorie. Im Cournot-Modell kontrollieren die Unternehmen ihr Produktionsniveau, das den Marktpreis beeinflusst, während im Bertrand-Modell die Unternehmen den Preis für eine Produkteinheit wählen, um die Marktnachfrage zu beeinflussen.
Ein großer Teil der Literatur befasst sich mit dem Cournot- oder Bertrand-Wettbewerb auf einem oligopolistischen Markt, aber es gibt nur eine wesentlich geringere Anzahl von Arbeiten, die dem Cournot-Bertrand-Wettbewerb gewidmet sind, der dadurch gekennzeichnet ist, dass der Markt in zwei Gruppen von Unternehmen unterteilt werden kann, von denen die erste ihre Preise und die andere ihre Produktion optimal anpasst, um einen maximalen Gewinn zu gewährleisten.
Das Cournot-Bertrand-Modell existiert in der realistischen Wirtschaft. Auf einem Duopolmarkt beispielsweise hat ein Unternehmen eine beherrschende Stellung inne und wählt den Output als Entscheidungsvariable, während das andere Unternehmen benachteiligt ist und den Preis als Entscheidungsvariable wählt, um mehr Marktanteile zu gewinnen. Wie wir bisher wissen, sind Bylka und Komar sowie Singh und Vives die ersten Autoren, die Duopole analysieren, bei denen ein Unternehmen über die Menge und das andere über den Preis konkurriert. Häckner, Zanchettin und Arya et al. wiesen darauf hin, dass in einigen Fällen der Cournot-Bertrand-Wettbewerb optimal sein kann. Kürzlich analysierten C. H. Tremblay und V. J. Tremblay die Rolle der Produktdifferenzierung für die statischen Eigenschaften des Nash-Gleichgewichts eines Cournot-Bertrand-Duopols. Naimzada und Tramontana betrachteten ein Cournot-Bertrand-Duopolmodell, das durch lineare Differenzengleichungen gekennzeichnet ist. Sie untersuchten auch die Rolle der Best-Response-Dynamik und des adaptiven Anpassungsmechanismus für die Stabilität des Gleichgewichts.
In dieser Arbeit stellen wir ein Cournot-Bertrand-Duopolmodell auf, wobei wir davon ausgehen, dass zwei Unternehmen die Produktion bzw. den Preis als Entscheidungsvariable wählen, und dass sie alle begrenzte rationale Erwartungen haben. Das Spielsystem kann durch nichtlineare Differenzengleichungen beschrieben werden, was die Ergebnisse von Naimzada und Tramontana modifiziert und erweitert, die Unternehmen mit statischen Erwartungen betrachteten und durch lineare Differenzengleichungen beschrieben. Die Forschung wird zu einer guten Anleitung für die Entscheidungsträger der Unternehmen führen, um die besten Entscheidungen zu treffen.
Das Papier ist wie folgt organisiert: Das Cournot-Bertrand-Spielmodell mit begrenzten rationalen Erwartungen wird in Abschnitt 2 beschrieben. In Abschnitt 3 wird die Existenz und Stabilität von Gleichgewichtspunkten untersucht. In Abschnitt 4 wird das dynamische Verhalten bei einer Änderung der Kontrollparameter des Spiels durch numerische Simulationen untersucht. Schließlich wird in Abschnitt 5 eine Schlussfolgerung gezogen.
2. Das Cournot-Bertrand-Spielmodell mit beschränkten rationalen Erwartungen
Wir betrachten einen Markt, der von zwei Unternehmen bedient wird, und das Unternehmen produziert ein Gut , . Es besteht ein gewisser Grad an Differenzierung zwischen den Produkten und . Firma 1 konkurriert bei der Produktion wie in einem Cournot-Duopol, während Firma 2 ihren Preis wie im Bertrand-Fall festlegt. Nehmen wir an, dass die Unternehmen ihre strategischen Entscheidungen gleichzeitig treffen und jedes Unternehmen die Produktion und den Preis jedes anderen Unternehmens kennt.
Die inversen Nachfragefunktionen der Produkte der Sorte 1 und 2 ergeben sich aus der Maximierung der folgenden Nutzenfunktion durch den repräsentativen Verbraucher: unter der Budgetbeschränkung und sind durch die folgenden Gleichungen gegeben (der ausführliche Beweis siehe ): wobei der Parameter den Index der Produktdifferenzierung oder der Produktsubstitution bezeichnet. Der Grad der Produktdifferenzierung steigt mit . Die Produkte und sind homogen, wenn , und jedes Unternehmen ist ein Monopolist, wenn , während ein negativer Wert bedeutet, dass die Produkte sich ergänzen. Es wird angenommen, dass die beiden Unternehmen die gleichen Grenzkosten haben und die Kostenfunktion eine lineare Form aufweist: Wir können das Nachfragesystem in den beiden strategischen Variablen schreiben, und: Die Gewinnfunktionen von Unternehmen 1 und 2 haben die Form:
Wir nehmen an, dass die beiden Unternehmen keine vollständige Kenntnis des Marktes und des anderen Akteurs haben und ihre Entscheidungen auf der Grundlage des erwarteten Grenzgewinns treffen. Wenn der Grenzgewinn positiv (negativ) ist, erhöhen (senken) sie ihre Produktion oder ihren Preis in der nächsten Periode; das heißt, sie sind begrenzt rationale Spieler. Das gemischte dynamische Cournot-Bertrand-System kann dann durch die nichtlinearen Differenzengleichungen beschrieben werden: wobei und die Anpassungsgeschwindigkeit der beiden Spieler in jeder Beziehung darstellen.
3. Gleichgewichtspunkte und lokale Stabilität
Das System (6) hat vier Gleichgewichtspunkte: wobei , . , , und die Randgleichgewichtspunkte sind, und der einzige Nash-Gleichgewichtspunkt ist, vorausgesetzt, dass und , das erfordert. Andernfalls scheidet ein Unternehmen aus dem Markt aus.
Um die lokale Stabilität der Gleichgewichtspunkte zu untersuchen, sei die Jacobimatrix von System (6) entsprechend den Zustandsvariablen , wobei , . Die Stabilität der Gleichgewichtspunkte wird durch die Art der Gleichgewichtseigenwerte der Jacobimatrix bestimmt, die an den entsprechenden Gleichgewichtspunkten ausgewertet werden.
Proposition 1. Die Randgleichgewichte , , und des Systems (6) sind instabile Gleichgewichtspunkte, wenn .
Beweis. Für das Gleichgewicht , ist die Jacobimatrix des Systems (6) gleich Diese Eigenwerte, die dem Gleichgewicht entsprechen, sind wie folgt: Offensichtlich ist dann der Gleichgewichtspunkt instabil.
Auch bei der Jacobimatrix wird eine Dreiecksmatrix Diese Eigenwerte, die dem Gleichgewicht entsprechen, sind wie folgt: Wenn , offensichtlich . Der Gleichgewichtspunkt ist also instabil. In ähnlicher Weise können wir beweisen, dass auch instabil ist.
Aus ökonomischer Sicht sind wir mehr an der Untersuchung der lokalen Stabilitätseigenschaften des Nash-Gleichgewichtspunktes interessiert, dessen Eigenschaften in
Die Jacobimatrix, die am Nash-Gleichgewichtspunkt ausgewertet wird, ist wie folgt
Die Spur und die Determinante von werden als und bezeichnet. In Bezug auf den Punkt , , und , ist es nun schwieriger, die Eigenwerte explizit zu berechnen, aber es ist immer noch möglich, die Stabilität des Nash-Gleichgewichtspunktes zu bewerten, indem man die folgenden Stabilitätsbedingungen verwendet, die als Jury-Bedingungen bekannt sind: Die oben genannten Ungleichungen definieren eine Region, in der der Nash-Gleichgewichtspunkt lokal stabil ist. Außerdem können wir durch numerische Simulationen mehr über die Stabilitätsregion erfahren. Um die komplexe Dynamik von System (6) zu untersuchen, ist es zweckmäßig, die Parameterwerte wie folgt anzunehmen: Abbildung 1 zeigt in der Parameterebene die Stabilitäts- und Instabilitätsbereiche. Aus der Abbildung geht hervor, dass eine zu hohe Anpassungsgeschwindigkeit dazu führt, dass der Punkt des Nash-Gleichgewichts an Stabilität verliert. Wir finden auch, dass die Anpassungsgeschwindigkeit des Preises ist empfindlicher als die Geschwindigkeit der Produktion, und wenn über , der Nash-Gleichgewichtspunkt wird die Stabilität zu verlieren, während über den Nash-Gleichgewichtspunkt wird das tun.
Die Stabilitäts- und Instabilitätsregion.
4. Die Auswirkungen von Parametern auf die Systemstabilität
Die Parameterbecken-Diagramme (auch 2D-Bifurkationsdiagramme genannt) sind ein leistungsfähigeres Werkzeug bei der numerischen Analyse nichtlinearer Dynamik als die 1D-Bifurkationsdiagramme, die stabilen Zyklen verschiedener Perioden unterschiedliche Farben in einem 2D-Parameterraum zuweisen. In diesem Abschnitt werden die Parameterbecken-Diagramme verwendet, um die Auswirkungen der Anpassungsgeschwindigkeit der Spieler und des Index der Produktdifferenzierung auf die Systemstabilität zu analysieren. Wir setzen und die Anfangswerte werden als .
4.1 gewählt. Die Auswirkungen der Anpassungsgeschwindigkeit der Spieler auf die Systemstabilität
Abbildung 2 zeigt das Parameterbecken in Bezug auf die Parameter, wenn und weist den stabilen stationären Zuständen (dunkelblau) verschiedene Farben zu; stabile Zyklen der Perioden 2 (hellblau), 4 (violett) und 8 (grün) (die ersten vier Zyklen in einer Periodenverdopplungsbifurkation auf dem Weg zum Chaos) und die Perioden 3 (rot), 5 (orange) und 7 (rosa) (stabile Zyklen niedriger Ordnung mit ungerader Periode); Chaos (gelb); Divergenz (weiß) (was bedeutet, dass einer der Akteure aus dem Markt in der Wirtschaft ausscheidet).
Das Parameterbecken für .
Wenn die Parameter die Grenzen wie die schwarzen Pfeile und überschreiten, verliert das System (6) seine Stabilität durch eine Flip-Bifurkation (in kontinuierlichen Systemen als Periodenverdopplungsbifurkation bezeichnet), wie in den Abbildungen 3 und 4 dargestellt. Aber wenn die Parameter die Grenzen wie der Pfeil überschreiten, ist das dynamische Verhalten des Systems komplizierter, und es tritt zuerst ins Chaos durch Neimark-Sacker-Bifurkation (genannt Hopf-Bifurkation in einem kontinuierlichen System) ein, geht dann in die Periode 2 über und entwickelt sich dann separat ins Chaos durch Flip-Bifurkation, wie in Abbildung 5 gezeigt. Wir stellen auch fest, dass es in der gelben Region (Chaos) eine rote Linie und orangefarbene Punkte (ungerader Zyklus) gibt; das heißt, es gibt einen intermittierenden ungeraden Zyklus im Chaos, wie in Abbildung 3 bis Abbildung 5 dargestellt. Es ist bekannt, dass bei kontinuierlichen 1D-Karten ein Zyklus mit ungerader Periode ein chaotisches dynamisches Verhalten (das so genannte topologische Chaos) impliziert, gemäß dem berühmten Ergebnis „Periode 3 impliziert Chaos“ von Li und Yorke.
Bifurkationsdiagramm für und variiert von 1,5 bis 3,5.
Bifurkationsdiagramm für und variiert von 1,5 bis 2,8.
Bifurkationsdiagramm für und variiert von 1,8 bis 2,8.
Aus der Sicht der Wirtschaftswissenschaften sollte die Anpassungsgeschwindigkeit der Unternehmen und in einem bestimmten Bereich liegen; andernfalls wird das System die Zyklusfluktuation hervorbringen und dann ins Chaos stürzen, was bedeutet, dass es unregelmäßig, empfindlich gegenüber den Anfangswerten, unberechenbar und schlecht für die Wirtschaft ist. Wir stellen auch fest, dass der anpassbare Bereich von größer ist als der von , was bedeutet, dass die Anpassung des Preises empfindlicher ist als die des Outputs, und dass ein Preiskrieg den Markt leichter ins Chaos stürzen kann.
4.2. Die Auswirkungen des Indexes der Produktdifferenzierung auf die Systemstabilität
Um die Einflüsse des Indexes der Produktdifferenzierung auf die Systemstabilität zu finden, geben die Abbildungen 6, 7, 8 und 9 die Parameterbecken für , , und separat an.
Das Parameterbecken für .
Das Parameterbecken für .
Das Parameterbecken für .
Das Parameterbecken für .
Aus dem Vergleich können wir ersehen, dass der dunkelblaue Bereich größer und der gelbe Bereich kleiner wird, wenn der Index der Produktdifferenzierung zunimmt, d.h. der Grad der Produktdifferenzierung ist kleiner, und der anpassbare Bereich der Parameter wird größer, um das System stabil zu halten, was mehr Wettbewerb zwischen den Produkten der beiden Unternehmen bedeutet.
5. Schlußfolgerungen
In dieser Arbeit schlagen wir ein gemischtes Cournot-Bertrand-Spielmodell vor, das davon ausgeht, daß die Unternehmen nicht über vollständige Informationen über den Markt und den Gegner verfügen und ihre Entscheidungen nach ihrem eigenen Grenzgewinn treffen. Es wird davon ausgegangen, dass die Nachfrage- und Kostenfunktion linear ist und das Modell durch Differenzengleichungen beschrieben werden kann. Das Randgleichgewicht ist immer instabil und die Existenz und lokale Stabilität des Nash-Gleichgewichts werden analysiert. Darüber hinaus werden die Auswirkungen der Parameter (Anpassungsgeschwindigkeit und der Index der Produktdifferenzierung) auf die Systemstabilität analysiert und verschiedene Bifurkationen und Wege zum Chaos werden mit Hilfe von Parameter-Basin-Plots untersucht. Die Cournot-Bertrand-Spielmodelle unter verschiedenen Marketingumgebungen müssen berücksichtigt werden und sind ein interessantes Thema für zukünftige Studien.
Danksagungen
Die Autoren danken den Gutachtern für ihre sorgfältige Lektüre und ihre sachdienlichen Vorschläge. Die Forschung wurde von der National Natural Science Foundation of China (Nr. 61273231) unterstützt.
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