Ist 1+2+3… Ist 1+2+3… wirklich gleich -1/12?

In einem Video von Numberphile, das Anfang des Monats veröffentlicht wurde, wird behauptet, dass die Summe aller positiven ganzen Zahlen -1/12 ist.

Ich bin normalerweise ein Fan des Numberphile-Teams, das Mathematik spannend und zugänglich macht, aber dieses Video hat mich enttäuscht. Es gibt eine sinnvolle Möglichkeit, die Zahl -1/12 mit der Reihe 1+2+3+4… in Verbindung zu bringen, aber meiner Meinung nach ist es irreführend, sie als die Summe der Reihe zu bezeichnen. Darüber hinaus trägt die Art und Weise, wie sie dargestellt wird, zu einem Missverständnis bei, dem ich als Mathematiklehrer oft begegne: Mathematiker ändern die Regeln willkürlich und ohne ersichtlichen Grund, und die Schüler haben keine Chance zu wissen, was in einer bestimmten Situation erlaubt ist und was nicht. In einem Beitrag zu diesem Video sagt der Physiker Dr. Skyskull: „Ein deprimierend großer Teil der Bevölkerung geht automatisch davon aus, dass Mathematik eine nicht-intuitive, bizarre Zauberei ist, die nur Superintelligente begreifen können. Ein solch verrücktes Ergebnis ohne Qualifikation zu zeigen, verstärkt nur diese Ansicht und erweist der Mathematik meiner Meinung nach einen schlechten Dienst.“

Addition ist eine binäre Operation. Man gibt zwei Zahlen ein und erhält eine Zahl heraus. Aber man kann sie auf mehr Zahlen ausdehnen. Wenn man zum Beispiel drei Zahlen hat, die man addieren möchte, kann man zuerst zwei beliebige Zahlen addieren und dann die dritte Zahl zu der resultierenden Summe hinzufügen. Wir können dies für eine beliebige endliche Anzahl von Summanden tun (und die Gesetze der Arithmetik besagen, dass wir immer die gleiche Antwort erhalten, egal in welcher Reihenfolge wir sie addieren), aber wenn wir versuchen, eine unendliche Anzahl von Termen zu addieren, müssen wir eine Entscheidung darüber treffen, was Addition bedeutet. Die gebräuchlichste Art, mit unendlicher Addition umzugehen, ist die Verwendung des Konzepts des Grenzwerts.

Grob gesagt, sagen wir, dass die Summe einer unendlichen Reihe eine Zahl L ist, wenn wir uns bei der Addition von immer mehr Begriffen der Zahl L immer mehr annähern. Wenn L endlich ist, nennen wir die Reihe konvergent. Ein Beispiel für eine konvergente Reihe ist 1/2+1/4+1/8+1/16…. Diese Reihe konvergiert gegen die Zahl 1. Es ist ziemlich einfach zu erkennen, warum: Nach dem ersten Term sind wir auf halbem Weg zur 1. Nach dem zweiten Term sind wir die Hälfte des verbleibenden Abstands zu 1, und so weiter.

Zenos Paradoxon besagt, dass wir nie wirklich auf 1 kommen werden, aber von einem Grenzwert aus gesehen, können wir so nahe kommen, wie wir wollen. Das ist die Definition von „Summe“, die Mathematiker gewöhnlich meinen, wenn sie über unendliche Reihen sprechen, und sie stimmt im Wesentlichen mit unserer intuitiven Definition der Worte „Summe“ und „gleich“ überein.

Aber nicht jede Reihe ist in diesem Sinne konvergent (wir nennen nicht-konvergente Reihen divergent). Einige, wie 1-1+1-1…, können zwischen verschiedenen Werten hin- und herspringen, wenn wir weitere Terme hinzufügen, und einige, wie 1+2+3+4…, können beliebig groß werden. Es ist also ziemlich klar, dass die Summe 1+2+3… nicht konvergiert, wenn man die Grenzwertdefinition der Konvergenz für eine Reihe verwendet. Wenn ich sagen würde: „Ich denke, der Grenzwert dieser Reihe ist eine endliche Zahl L“, könnte ich leicht herausfinden, wie viele Terme ich hinzufügen muss, um so weit über die Zahl L zu kommen, wie ich will.

Es gibt sinnvolle Möglichkeiten, die Zahl -1/12 mit der Reihe 1+2+3… zu assoziieren, aber ich ziehe es vor, -1/12 nicht die „Summe“ der positiven ganzen Zahlen zu nennen. Eine Möglichkeit, das Problem anzugehen, ist die Idee der analytischen Fortsetzung in der komplexen Analysis.

Angenommen, Sie haben eine Funktion f(z), die irgendwo in der komplexen Ebene definiert ist. Wir nennen den Bereich, in dem die Funktion definiert ist, U. Man könnte einen Weg finden, eine andere Funktion F(z) zu konstruieren, die in einem größeren Bereich definiert ist, so dass f(z) = F(z) ist, wann immer z in U liegt. Die neue Funktion F(z) stimmt also mit der ursprünglichen Funktion f(z) überall dort überein, wo f(z) definiert ist, und sie ist an einigen Punkten außerhalb des Bereichs von f(z) definiert. Die Funktion F(z) wird die analytische Fortsetzung von f(z) genannt. (

Die analytische Fortsetzung ist nützlich, weil komplexe Funktionen oft als unendliche Reihen mit der Variablen z definiert sind. Die meisten unendlichen Reihen konvergieren jedoch nur für einige Werte von z, und es wäre schön, wenn wir Funktionen an mehr Stellen definieren könnten. Die analytische Fortsetzung einer Funktion kann Werte für eine Funktion definieren, die außerhalb des Bereichs liegen, in dem die Definition der unendlichen Reihe konvergiert. Wir können sagen, dass 1+2+3…=-1/12 ist, indem wir die analytische Fortsetzung einer Funktion in ihre ursprüngliche Definition der unendlichen Reihe einfügen, was mit einem Augenzwinkern im Stil von Lucille Bluth geschehen sollte.

Bei der fraglichen Funktion handelt es sich um die Riemannsche Zeta-Funktion, die für ihre tiefen Verbindungen zu Fragen über die Verteilung von Primzahlen berühmt ist. Wenn der Realteil von s größer als 1 ist, ist die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) definiert als Σ∞n=1n-s. (Normalerweise verwenden wir den Buchstaben z für die Variable in einer komplexen Funktion. In diesem Fall verwenden wir s in Anlehnung an Riemann, der die Zeta-Funktion in einem Aufsatz aus dem Jahr 1859 definiert hat.) Diese unendliche Reihe konvergiert nicht, wenn s=-1 ist, aber Sie können sehen, dass, wenn wir s=-1 einsetzen, wir 1+2+3 erhalten…. Die Riemannsche Zeta-Funktion ist die analytische Fortsetzung dieser Funktion auf die gesamte komplexe Ebene abzüglich des Punktes s=1. Wenn s=-1 ist, ist ζ(s)=-1/12. Wenn man ein Gleichheitszeichen zwischen ζ(-1) und die formale unendliche Reihe setzt, die die Funktion in einigen anderen Teilen der komplexen Ebene definiert, erhält man die Aussage, dass 1+2+3…=-1/12.

Die analytische Fortsetzung ist nicht die einzige Möglichkeit, die Zahl -1/12 mit der Reihe 1+2+3 zu verbinden…. Eine sehr gute und ausführliche Erklärung für einen Weg, der keine komplexe Analyse erfordert – komplett mit Hausaufgaben – finden Sie in Terry Taos Beitrag zu diesem Thema.

Das Video von Numberphile hat mich gestört, weil sie die Gelegenheit hatten, darüber zu sprechen, was es bedeutet, einer unendlichen Reihe einen Wert zuzuordnen, und verschiedene Möglichkeiten zu erklären, wie man dies tut. Wenn man sich schon ein wenig mit dem Thema auskennt, kann man sich das Video und ein längeres, verwandtes Video zum Thema ansehen und ein paar Leckerbissen aufschnappen, was wirklich los ist. Aber der „Wow“-Faktor des Videos ergibt sich aus der Tatsache, dass es keinen Sinn macht, wenn ein Haufen positiver Zahlen eine negative Zahl ergibt, wenn das Publikum annimmt, dass „Summe“ das bedeutet, was sie denken, dass es bedeutet.

Wenn die Numberphiles expliziter über alternative Möglichkeiten der Verknüpfung von Zahlen mit Reihen gesprochen hätten, hätten sie mehr tun können, als die Leute glauben zu lassen, dass Mathematiker ständig die Regeln ändern. Am Ende des Videos fragt der Produzent Brady Haran den Physiker Tony Padilla, ob man -1/12 erhält, wenn man auf dem Taschenrechner ewig lange Zahlen addiert und am Ende die „Gleich“-Taste drückt. Padilla sagt frech: „Du musst bis ins Unendliche gehen, Brady!“ Aber die Antwort hätte lauten müssen: „Nein!“ Hier haben sie meiner Meinung nach eine Gelegenheit verpasst, klarzustellen, dass sie eine alternative Methode verwenden, um einer unendlichen Reihe einen Wert zuzuweisen, die das Video viel weniger irreführend gemacht hätte.

Andere Leute haben gute Sachen über die Mathematik in diesem Video geschrieben. Nach einem allzu leichtgläubigen Slate-Blog-Beitrag darüber hat Phil Plait eine viel nüchternere Erklärung der verschiedenen Möglichkeiten, einer Reihe einen Wert zuzuweisen, geschrieben. Wenn Sie die Details des „Beweises“ selbst durcharbeiten möchten, finden Sie bei John Baez eine entsprechende Anleitung. Blake Stacey und Dr. Skyskull schreiben darüber, wie das Ersetzen der Summe der positiven ganzen Zahlen durch die Zahl -1/12 in der Physik nützlich sein kann. Richard Elwes veröffentlicht eine „Gesundheits- und Sicherheitswarnung“ für unendliche Reihen, die meinen alten Favoriten, die harmonische Reihe, betrifft. Ich denke, dass die Verbreitung der Diskussion über die Bedeutung dieser unendlichen Reihe gut ist, auch wenn ich mir wünschte, dass mehr von dieser Diskussion in das Video hätte einfließen können, das bis jetzt mehr als eine Million Aufrufe auf YouTube hat!