Gompertz-Funktion

Gompertz-KurveBearbeiten

Die Populationsbiologie beschäftigt sich insbesondere mit der Gompertz-Funktion. Diese Funktion ist besonders nützlich, um das schnelle Wachstum einer bestimmten Population von Organismen zu beschreiben, während sie auch in der Lage ist, die eventuelle horizontale Asymptote zu berücksichtigen, sobald die Tragfähigkeit bestimmt ist (Plateau Zell-/Populationszahl).

Sie wird wie folgt modelliert:

N ( t ) = N 0 exp ( ln ( N I / N 0 ) ( 1 – exp ( – b t ) ) ) {\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}

wobei:

• t ist die Zeit
• N0 ist die anfängliche Zellzahl
• NI ist die Plateau-Zellzahl/Populationszahl
• b ist die anfängliche Wachstumsrate des Tumors

Diese Funktion berücksichtigt die Plateau-Zellzahl und ist daher nützlich, um die Dynamik der realen Population genau nachzuahmen. Die Funktion hält sich auch an die Sigmoidfunktion, die die am meisten akzeptierte Konvention zur allgemeinen Beschreibung des Wachstums einer Population ist. Darüber hinaus macht die Funktion Gebrauch von der anfänglichen Wachstumsrate, die häufig in Populationen von Bakterien und Krebszellen zu sehen ist, die die log-Phase durchlaufen und zahlenmäßig schnell wachsen. Trotz ihrer Beliebtheit ist die Funktion Anfangsrate des Tumorwachstums angesichts der unterschiedlichen Mikrokosmen, die bei einem Patienten vorhanden sind, oder unterschiedlicher Umweltfaktoren im Falle der Populationsbiologie schwer vorherzubestimmen. Bei Krebspatienten spielen Faktoren wie Alter, Ernährung, ethnische Zugehörigkeit, genetische Veranlagung, Stoffwechsel, Lebensstil und Ursprung der Metastasierung eine Rolle bei der Bestimmung der Tumorwachstumsrate. Es ist zu erwarten, dass sich auch die Belastbarkeit in Abhängigkeit von diesen Faktoren ändert, so dass die Beschreibung solcher Phänomene schwierig ist.

StoffwechselkurveBearbeiten

Die Stoffwechselfunktion befasst sich insbesondere mit der Erfassung der Stoffwechselrate innerhalb eines Organismus. Diese Funktion kann zur Überwachung von Tumorzellen eingesetzt werden; die Stoffwechselrate ist dynamisch und sehr flexibel, so dass sie das Krebswachstum genauer beschreiben kann. Die Stoffwechselkurve berücksichtigt die Energie, die der Körper für die Erhaltung und den Aufbau von Gewebe bereitstellt. Diese Energie kann als Stoffwechsel betrachtet werden und folgt einem bestimmten Muster bei der Zellteilung. Die Energieerhaltung kann verwendet werden, um ein solches Wachstum zu modellieren, ungeachtet der unterschiedlichen Massen und Entwicklungszeiten. Alle Taxa weisen ein ähnliches Wachstumsmuster auf, und dieses Modell berücksichtigt daher die Zellteilung, die Grundlage für die Entwicklung eines Tumors.

B = ∑ C ( N C B C ) + ( E C d N C d t ) {\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)}

• B = Energie, die der Organismus in Ruhe verbraucht
• NC = Anzahl der Zellen im gegebenen Organismus
• BC= Stoffwechselrate einer einzelnen Zelle
• NCBC= Energie, die zur Erhaltung des vorhandenen
• EC= Energie, die benötigt wird, um aus einer einzelnen Zelle neues Gewebe zu bilden

Die Unterscheidung zwischen der Energie, die in Ruhe verbraucht wird, und der Stoffwechselrate Arbeit ermöglicht es dem Modell, die Wachstumsrate genauer zu bestimmen. Die Ruheenergie ist geringer als die Energie, die für die Erhaltung eines Gewebes verbraucht wird, und beide zusammen stellen die Energie dar, die für die Erhaltung des vorhandenen Gewebes erforderlich ist. Die Verwendung dieser beiden Faktoren zusammen mit der Energie, die zur Schaffung neuen Gewebes erforderlich ist, bildet die Wachstumsrate umfassend ab und führt darüber hinaus zu einer genauen Darstellung der Verzögerungsphase.

Wachstum von TumorenBearbeiten

In den 1960er Jahren verwendete A.K. Laird erstmals erfolgreich die Gompertz-Kurve, um Daten zum Wachstum von Tumoren anzupassen. Bei Tumoren handelt es sich nämlich um Zellpopulationen, die in einem begrenzten Raum wachsen, in dem die Verfügbarkeit von Nährstoffen eingeschränkt ist. Wenn man die Tumorgröße als X(t) bezeichnet, ist es nützlich, die Gompertz-Kurve wie folgt zu schreiben:

X ( t ) = K exp ( log ( X ( 0 ) K ) exp ( – α t ) ) {\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)}

wobei:

• X(0) ist die Tumorgröße zum Anfangsbeobachtungszeitpunkt;
• K ist die Tragfähigkeit, d.d. h. die maximale Größe, die mit den verfügbaren Nährstoffen erreicht werden kann. In der Tat ist es:
  lim t → + ∞ X ( t ) = K {\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}

  

unabhängig von X(0)>0. Man beachte, dass in Abwesenheit von Therapien etc. in der Regel X(0)<K ist, während bei Vorhandensein von Therapien X(0)>K sein kann;

• α ist eine Konstante, die sich auf die Proliferationsfähigkeit der Zellen bezieht.
• log() bezieht sich auf den natürlichen Logarithmus.

Es kann gezeigt werden, dass die Dynamik von X(t) durch die Gompertz-Differentialgleichung bestimmt wird:

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}

d.h. sie hat aufgeschlüsselt die Form:

X ′ ( t ) = F ( X ( t ) ) X ( t ) , mit F ′ ( X ) ≤ 0 , {\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,}

F(X) ist die momentane Vermehrungsrate der zellulären Population, deren abnehmender Charakter auf den Wettbewerb um die Nährstoffe infolge der Zunahme der Zellpopulation zurückzuführen ist, ähnlich wie bei der logistischen Wachstumsrate. Es gibt jedoch einen grundlegenden Unterschied: Im logistischen Fall ist die Proliferationsrate für eine kleine Zellpopulation endlich:

F ( X ) = α ( 1 – ( X K ) ν ) ⇒ F ( 0 ) = α < + ∞ {\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }

während im Gompertz-Fall die Vermehrungsrate unbeschränkt ist:

lim X → 0 + F ( X ) = lim X → 0 + α log ( K X ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty }

Wie von Steel und Wheldon festgestellt, ist die Proliferationsrate der Zellpopulation letztlich durch die Zellteilungszeit begrenzt. Dies könnte ein Hinweis darauf sein, dass die Gompertz-Gleichung nicht geeignet ist, das Wachstum kleiner Tumore zu modellieren. Darüber hinaus wurde in jüngster Zeit festgestellt, dass Gompertz und andere Gesetze, die durch unbegrenztes F(0) gekennzeichnet sind, die Möglichkeit der Immunüberwachung ausschließen würden, wenn man die Interaktion mit dem Immunsystem mit einbezieht.

Die theoretische Studie von Fornalski et al. zeigte die biophysikalische Grundlage der Gompertz-Kurve für das Krebswachstum mit Ausnahme der sehr frühen Phase, in der eine parabolische Funktion besser geeignet ist. Sie fanden auch heraus, dass die Gompertz-Kurve den typischsten Fall in der breiten Familie der Funktionen der Krebsdynamik beschreibt.

Gompertz-Wachstum und logistisches WachstumEdit

Die Gompertz-Differentialgleichung

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}

ist der Grenzfall der verallgemeinerten logistischen Differentialgleichung

X ′ ( t ) = α ν ( 1 – ( X ( t ) K ) 1 ν ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)}

(wobei ν > 0 {\displaystyle \nu >0}

eine positive reelle Zahl ist), da

lim ν → + ∞ ν ( 1 – x 1 / ν ) = – log ( x ) {\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}

.

Zudem, gibt es einen Wendepunkt im Graphen der verallgemeinerten logistischen Funktion, wenn

X ( t ) = ( ν ν + 1 ) ν K {\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K}

und eine im Graphen der Gompertz-Funktion, wenn

X ( t ) = K e = K ⋅ lim ν → + ∞ ( ν ν + 1 ) ν {\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }}

.

Modellierung von COVID-19-InfektionsverläufenBearbeiten

Verallgemeinerte logistische Funktion (Richards-Wachstumskurve) in der epidemiologischen Modellierung

Eine verallgemeinerte logistische Funktion, auch Richards-Wachstumskurve genannt, wird häufig bei der Modellierung von COVID-19-Infektionsverläufen verwendet. Die Infektionskurve ist eine tägliche Zeitreihe für die kumulative Anzahl von Infektionsfällen für ein bestimmtes Land, eine Stadt, einen Staat usw. In der Literatur gibt es verschiedene Neuparametrisierungen: eine der häufig verwendeten Formen ist

f ( t ; θ 1 , θ 2 , θ 3 , ξ ) = θ 1 1 / ξ {\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{^{1/\xi }}}}

wobei θ 1 , θ 2 , θ 3 {\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}

sind reelle Zahlen, und ξ {\displaystyle \xi }

eine positive reelle Zahl ist. Die Flexibilität der Kurve f {\displaystyle f}

ergibt sich aus dem Parameter ξ {\displaystyle \xi }

: (i) wenn ξ = 1 {\displaystyle \xi =1}

dann reduziert sich die Kurve auf die logistische Funktion, und (ii) wenn ξ {\displaystyle \xi }

gegen Null konvergiert, dann konvergiert die Kurve gegen die Gompertz-Funktion. In der epidemiologischen Modellierung wird θ 1 {\displaystyle \theta _{1}}

, θ 2 {\displaystyle \theta _{2}}

, und θ 3 {\displaystyle \theta _{3}}

stehen für die endgültige Größe der Epidemie, die Infektionsrate bzw. die Verzögerungsphase. Die rechte Tafel zeigt eine beispielhafte Infektionstrajektorie, wenn ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) {\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}

werden durch ( 10 , 000 , 0.2 , 40 ) {\displaystyle (10,000,0.2,40)} bezeichnet

.

Extrapolierte Infektionsverläufe von 40 Ländern, die stark von COVID-19 betroffen sind, und der große (Bevölkerungs-)Durchschnitt bis zum 14. Mai

Einer der Vorteile der Verwendung von Wachstumsfunktionen wie der verallgemeinerten logistischen Funktion in der epidemiologischen Modellierung ist die relativ einfache Ausweitung auf den Rahmen von Mehrebenenmodellen durch die Verwendung der Wachstumsfunktion zur Beschreibung von Infektionsverläufen von mehreren Subjekten (Länder, Städte, Staaten, usw.). Siehe die obige Abbildung. Ein solcher Modellierungsrahmen kann auch allgemein als nichtlineares Modell mit gemischten Effekten oder hierarchisches nichtlineares Modell bezeichnet werden.

Gomp-Ex-WachstumsgesetzBearbeiten

Auf der Grundlage der obigen Überlegungen schlug Wheldon ein mathematisches Modell des Tumorwachstums vor, das als Gomp-Ex-Modell bezeichnet wird und das Gompertz-Gesetz leicht modifiziert. Im Gomp-Ex-Modell wird davon ausgegangen, dass es anfangs keinen Wettbewerb um Ressourcen gibt, so dass sich die Zellpopulation nach dem Exponentialgesetz ausbreitet. Es gibt jedoch eine kritische Größenschwelle X C {\displaystyle X_{C}}

, so dass für X > X C {\displaystyle X>X_{C}}

. Die Annahme, dass es keinen Wettbewerb um Ressourcen gibt, trifft in den meisten Szenarien zu. Sie kann jedoch durch begrenzende Faktoren beeinflusst werden, was die Schaffung von Unterfaktormessgrößen erfordert.

Das Wachstum folgt dem Gompertz-Gesetz:

F ( X ) = max ( a , α log ( K X ) ) {\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)}

so dass:

X C = K exp ( – a α ) . {\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).}

Hier gibt es einige numerische Schätzungen für X C {\displaystyle X_{C}}