Gleichgewichtspunkt

Der Punkt x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}

ist ein Gleichgewichtspunkt für die Differentialgleichung d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}

if f ( t , x ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }

für alle t {\displaystyle t}

.

Gleichermaßen ist der Punkt x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}

ist ein Gleichgewichtspunkt (oder Fixpunkt) für die Differenzgleichung x k + 1 = f ( k , x k ) {\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}

if f ( k , x ~ ) = x ~ {\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}

für k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots }

.

Die Gleichgewichte können klassifiziert werden, indem man die Vorzeichen der Eigenwerte der Linearisierung der Gleichungen um die Gleichgewichte betrachtet. Das heißt, durch Auswertung der Jacobi-Matrix an jedem Gleichgewichtspunkt des Systems und anschließende Ermittlung der sich daraus ergebenden Eigenwerte können die Gleichgewichte kategorisiert werden. Dann kann das Verhalten des Systems in der Umgebung jedes Gleichgewichtspunktes qualitativ (oder in einigen Fällen sogar quantitativ) bestimmt werden, indem man den/die Eigenvektor(en) findet, die mit jedem Eigenwert verbunden sind.

Ein Gleichgewichtspunkt ist hyperbolisch, wenn keiner der Eigenwerte einen Realteil von Null hat. Wenn alle Eigenwerte einen negativen Realteil haben, ist das Gleichgewicht eine stabile Gleichung. Wenn mindestens ein Eigenwert einen positiven Realteil hat, ist der Gleichgewichtspunkt ein instabiler Knoten. Hat mindestens ein Eigenwert einen negativen Realteil und mindestens einer einen positiven Realteil, so ist das Gleichgewicht ein Sattelpunkt.